Файл: Дойч. Структура Реальности.doc

Следующая глава, вероятно, приведет в ярость многих математи­ков. С этим ничего не поделаешь. Математика — это не то, чем они ее считают.

(Читатели, не знакомые с традиционными допущениями относи­тельно определенности математического знания, могут посчитать глав­ный вывод этой главы таковым, что наше знание математической ис­тины зависит от нашего знания физического мира, и не более надежно, чем это знание является очевидным. Возможно, эти читатели предпочтут только просмотреть эту главу и сразу же перейти к обсуждению времени в главе 11).

Глава 10. Природа математики.

«Структура реальности», которую я описывал до сих пор, была структурой физическойреальности. Тем не менее, я свободно ссылал­ся на такие категории, которых нет нигде в физическом мире, —аб­стракции, такие как числа и бесконечные множества компьютерных программ. Да и сами законы физики нельзя отнести к физическим ка­тегориям в том смысле, в каком к ним относятся камни и планеты, Как я уже сказал, «Книга Природы» Галилео —всего лишь метафора. И кроме того, существует вымысел виртуальной реальности, несущест­вующие среды, законы которых отличаются от реальных физических законов. За пределами этих сред находится то, что я назвал средами «Кантгоуту», которые невозможно передать даже в виртуальной реаль­ности. Я сказал, что существует бесконечно много таких сред для каж­дой среды, которую можно передать. Но что значит сказать, что такие среды «существуют»? Если они не существуют ни в реальности, ни да­же в виртуальной реальности, то где они существуют?

А существуют ли абстрактные нефизические категории вообще? Являются ли они частью структуры реальности? В данной ситуации меня не занимают проблемы простого использования слов. Очевидно, что числа, физические законы и т. д. действительно «существуют» в не­котором смысле и не существуют в другом. Независимо от этого воз­никает следующий вопрос: как мы должны понимать такие категории? Какие из них являются всего лишь удобной формой слов, которые, в ко­нечном счете, ссылаются на обычную физическую реальность? Какие из них всего лишь преходящие особенности нашей культуры? Какие из них произвольны, как правила банальной игры, которые нужно толь­ко посмотреть в приложении? А какие, если такие вообще есть, мож­но объяснить только, если приписать им независимое существование? Все, что относится к последнему виду,должнобыть частью структуры реальности, как она определяется в этой книге, потому что это необхо­димо понять, чтобы понять все, что понято.

Это говорит о том, что нам снова следует воспользоваться критери­ем доктора Джонсона. Если мы хотим знать, действительно ли сущест­вует данная абстракция, мы должны спросить, «дает ли она ответную реакцию» сложным, автономным образом. Например, математики ха­рактеризуют «натуральные числа» 1, 2, 3,... —прежде всего —точным определением:

1 —это натуральное число.

За каждым натуральным числом следует только одно число, кото­рое также является натуральным.

1не следует ни за каким натуральным числом.

Подобные определения —это попытки абстрактного выражения интуитивногофизическогопонятия последовательных значений дис­кретной величины. (Точнее, как я объяснил в предыдущей главе, в дей­ствительности это понятие является квантово-механическим). Ариф­метические действия, например, умножение и сложение, а также по­следующие понятия, подобные понятию простого числа, в этом случае определяют, ссылаясь на «натуральные числа». Но создав абстрактные «натуральные числа» через это определение и поняв их через эту ин­туицию, мы обнаруживаем, что осталось гораздо больше того, что мы все еще не понимаем о них. Определение простого числа раз и навсегда устанавливает, какие числа являются простыми, а какие не являются. Нопонимание того,какие числа являются простыми, —например, про­должается ли последовательность простых чисел бесконечно, как они сгруппированы, насколько и почему они «случайны», —влечет за со­бой новое понимание и изобилие новых объяснений. В действительнос­ти оказывается, что сама теория чисел —это целый мир (этот термин используют часто). Для более полного понимания чисел мы должны определить множество новых классов абстрактных категорий и посту­лировать много новых структур и связей между этими структурами. Мы обнаруживаем, что некоторые подобные структуры связаны с ин­туицией другого рода, которой мы уже обладаем, но которая вопреки этому не имеет ничего общего с числами —например,симметрия, вра­щение, континуум, множества, бесконечностьи многое другое. Таким образом, абстрактные математические категории, с которыми, как нам кажется, мы знакомы, тем не менее, могут удивить или разочаровать нас. Они могут неожиданно возникнуть в новых нарядах или масках. Они могут быть необъяснимы, а впоследствии подойти под новое объяснение. Таким образом, они являются сложными и автономными, и, сле­довательно, по критерию доктора Джонсона, мы должны сделать вывод об их реальности. Поскольку мы не можем понять их ни как часть себя, ни как часть чего-либо еще, что мы уже понимаем, номожемпонять их как независимые категории, следует сделать вывод, что ониявляются реальными, независимыми категориями.

Тем не менее, абстрактные категории неосязаемы. Они не дают ответной физической реакции так, как это делает камень, поэтому экс­перимент и наблюдение не могут играть в математике такую же роль, какую они играют в науке. В математике такую роль играет доказа­тельство.Камень доктора Джонсона оказал ответное воздействие тем, что в его ноге появилась отдача. Простые числа оказывают ответное воздействие, когда мы доказываем что-то неожиданное относительно них, особенно, если мы можем пойти дальше и объяснить это. С тра­диционной точки зрения ключевое различие между доказательством и экспериментом состоит в том, что доказательство не ссылается на физический мир. Мы можем осуществить доказательство в своем соб­ственном разуме или внутри генератора виртуальной реальности, ко­торый передает среду с неправильной физикой. Единственное условие заключается в том, что мы следуем правилам математического вывода, а потому должны получить тот же самый ответ, что и кто-либо еще.IIвновь широко распространено мнение, что, не считая возможности появления грубых ошибок, когда мы доказали что-либо, мыабсолютно определеннознаем, что это истина.

Математики весьма гордятся этой абсолютной определенностью, а ученые склонны немного этому завидовать. Дело в том; что в науке невозможно быть определенным относительно какого-либо высказыва­ния. Неважно, насколько хорошо чьи-либо теории объясняют существу­ющие наблюдения, в любой момент кто-то может предоставить новое, необъяснимое наблюдение, которое поставит под сомнение всю сущест­вующую объяснительную структуру. Хуже того, кто-то может достичь лучшего понимания, которое объясняет не только все существующие наблюдения, но и то, почему предыдущие объяснения казались подхо­дящими, но, несмотря на это, были весьма ошибочными. Галилео, на­пример, обнаружил новое объяснение векового наблюдения, что земля под нашими ногами находится в состоянии покоя, объяснение, которое влекло за собой идею о том, что в действительности земля движется. Виртуальная реальность —которая может сделать так, что одна среда будет казаться другой —подчеркивает тот факт, что когда наблюдение выступает как высший судья теорий, никогда не может возникнуть хоть какая-то определенность, что существующее объяснение, каким бы очевидным оно ни было, хотя бы отдаленно является истиной. Но когда в качестве судьи выступает доказательство, определенность счи­тается возможной.

Говорят, что правила логики впервые сформулировали, надеясь, что они обеспечат объективный и обоснованный метод разрешения всех споров. Эту надежду невозможно оправдать. Изучение самой ло­гики открыло, что область действия логической дедукции как сред­ства раскрытия истины жестко ограничена. При наличии существу­ющих допущений о мире можно сделать выводы дедуктивно; но эти выводы ничуть не более обоснованны, чем допущения. Единственные высказывания, которые может доказать логика, не прибегая к допу­щениям, —это тавтологии —такие утверждения, как «все плане­ты —это планеты», которые ничего не утверждают. В частности, все реальные научные вопросы находятся за пределами той области, где можно уладить споры с помощью одной логики. Однако счита­ется, что математика находитсяв пределахэтой области. Таким об­разом, математики ищут абсолютную, но абстрактную истину, в то время как ученые утешают себя мыслью, что они могут обрести ре­альное и полезное знание физического мира. Но они должны при­нять, что это знание не имеет гарантий. Оно вечно экспериментально и вечно подвержено ошибкам. Идея о том, что науку характеризу­ет «индукция», метод доказательства, который считается аналогом дедукции, но чуть более подверженным ошибкам, —это попытка извлечь все возможное из этого постижимого второсортного стату­са научного знания. Вместо дедуктивно доказанных определенностей, возможно, мы удовольствуемся индуктивно доказанными «почти-определенностями».

Как я уже сказал, не существует такого метода доказательст­ва как «индукция». Идея доказательства каким-то образом достигну­той «почти-определенности» в науке —миф. Каким образом я мог бы «почти-определенно» доказать, что завтра не опубликуют удивитель­ную новую физическую теорию, опровергающую мои самые неоспори­мые допущения относительно реальности? Или то, что я не нахожусь внутри генератора виртуальной реальности? Но я говорю все это не для того, чтобы показать, что научное знание действительно «второсортно». Ибо идея о том, что математика дает определенности -это тоже миф.

С древних времен идея о привилегированном статусе математи­ческого знания часто ассоциировалась с идеей о том, что некоторые абстрактные категории, по крайней мере, не просто являются частью структуры реальности, но даже более реальны, чем физический мир. Пифагор считал, что регулярности в природе есть выражение матема­тических отношений между натуральными числами. «Все вещи есть числа» —таков был его девиз. Он не имел это в виду буквально, одна­ко Платон пошел еще дальше и отрицал реальность физического мира вообще. Он считал, что наши мнимые ощущения этого мира ничего не стоят и вводят в заблуждение, и доказывал, что физические объекты и явления, которые мы понимаем, —всего лишь «тени» несовершен­ных копий их истинных сущностей («Форм» или «Идей»), существую­щих в отдельной области, которая и есть истинная реальность. В этой области, кроме всего прочего, существуют Формы чистых чисел, таких, как 1, 2, 3, ... ,и Формы математических действий, таких, как сложе­ние и умножение. Мы можем воспринять некоторые тени этих Форм, когда кладем на стол одно яблоко, потом еще одно и видим, что на столе два яблока. Однако яблоки выражают «наличие одного» и «наличие двух» (и, в данном случае, «наличие яблок») несовершенно. Они не являются совершенно идентичными, а потому, в действительности на столе ни­когда нетдвухпримеров чего-либо. На это можно возразить, что число два можно также представить, положив на стол дваразличныхобъекта. Но и такое представление несовершенно, потому что в этом случае мы должны допустить, что на столе также есть клетки, отпавшие от яблок, пыль и воздух. В отличие от Пифагора. Платон занимался не только на­туральными числами. Его реальность содержала Формы всех понятий. Например, она содержала Форму совершенного круга. «Круги», которые мы видим, никогда не являются действительно кругами. Они не совер­шенно круглые, не совершенно плоские; у них есть конечная толщина и т.д. Все они несовершенны.