Файл: Быстрай Г.П. Термодинамика открытых систем Часть 2 (2006).pdf

Термодинамика открытых систем

Переменный параметр γ = Γ( X ) является параметром диссипа-

τr

ции. Последнее и означает, что элементарный фазовый объем такой диссипативной системы в условиях локального неравновесия сжимается экспоненциально во времени dV / dt < 0 :

Система уравнений Лоренца. В качестве аналогичной диссипативной системы можно рассмотреть систему уравнений Лоренца

•

X = −σX + σY ,

•

Y = −XZ + rX −Y ,

•

Z = XY −bZ ,

для которой фазовый объем сжимается во времени: dVdt = −(σ +1+b)V < 0 , (σ > 0,b > 0).

Если ввести новую переменную z =( u + x2 ) / 2σ , то легко показать, что система уравнений

•

u = −bu +( 2σ − b )x2

эквивалентна системе уравнений Лоренца. Будем предполагать что u=const. Тогда уравнение второго порядка примет вид

гдеγ = σ +1 − параметр диссипации. Потенциальная функция для такой задачи имеет вид симметричного двухямного потенциала:

85

Термодинамика открытых систем

(см.рис.2.2а). Однако u не является параметром, а переменной. Хаотическую динамику системы уравнений Лоренца можно представить как хаотические колебания в одной из потенциальных ям с перебросом время от времени в другую яму благодаря изменению величины u, и, соответственно, формы потенциала.

5.4. Показатели Ляпунова

Наблюдаемое во времени хаотическое поведение возникает не из-за внешних источников шума (их нет в записанных выше уравнениях), не из-за бесконечного числа степеней свободы (в системе уравнений их 3). Настоящая первопричина нергулярности определяется свойством нелинейных систем экспоненциально быстро разводить первоначально близкие траектории в ограниченной области фазового пространства.

Как измерить хаос? Ответ тривиален − по показателям Ляпунова. Хаос в детерминированных системах подразумевает чувствительную зависимость от начальных условий. Это означает, что две траектории, близкие друг к другу в фазовом пространстве в некоторый начальный момент времени, экспоненциально расходятся за малое в среднем время [31].

Такие системы в нелинейной динамике называются системами с перемешиванием, если с течением времени (tr) информация о начальных условиях в них полностью утрачивается. О перемешивании мы судим по показателю Ляпунова, точнее по наибольшему из них.

Как вычисляются показатели Ляпунова в наиболее простых задачах нелинейной динамики? Если в системе δη0 − мера начального расстояния между двумя исходными точками для параметра порядка (переменной) η, то, спустя малое время, расстояние между траекториями η(t)/ и η(t)//, выходящими из этих точек, становится равным

86

Термодинамика открытых систем

где λ − показатель Ляпунова (рис.5.3).

а1 .10 7

Рис.5.3. Хаос и эволюция “расстояния” между двумя расчетными траекториями уравнения (5.7) при заданных отличающихся начальных условиях. Расстояние между двумя соседними

λ=0.018>0. tr – характерное время, за которое система забывает начальные условия.

87

Термодинамика открытых систем

При этом расстояние между двумя расчетными соседними траекториями определяется величиной δη(t)= η/ − η// .

На рис. 5.3а представлены регулярные колебания δη(t) (показатель Ляпунова λ<0), на рис. 5.3б − хаотические пульсации (λ>0). Детерминированный хаос имеет место вблизи двух аттракторов. В этом случае время жизни детерминированной траектории (tr) является ограниченным.

2.5

2

Zηn+1

n + 2 , 1

1

а

0.5

2.5

2

Z n + 30 , 1

ηn+30 1

Рис.5.4. Псевдофазовые портреты решений уравнения

(5.7) для ∆=1 (а) и ∆=30 (б).

Для системы можно указать область параметров, в ко-

88

Термодинамика открытых систем

торой решения ведут себя хаотически, это − область детерминированного хаоса λ>0. При λ>0 соответствующий режим является локально неустойчивым и хаотическим; при λ=0 – нейтрально устойчивым; при λ<0 режим является устойчивым и периодическим. Для хаотических состояний решения ДУ (5.7) являются необратимыми, т.к. за время tr система полностью забывает начальные условия.

В углах рисунков находятся расчетные значения траекторий η(t)/.

О необратимости описываемых физических процессов говорят и псевдофазовые портреты ηn+∆ = f (ηn ) , представлен-

ные на рис.5.4. На них приводятся зависимости каждого последующего значения от предыдущего; с каждым шагом расчета n зависимость становится более размытой, хотя по-прежнему детерминированной и детерминированной достаточно сложным образом.

Таким образом, поведение термодинамической хаотической системы во времени оказывается сложным. Система объединяет в себе локальную неустойчивость – малые погрешности начальных данных нарастают и близкие траектории расходятся, и глобальную устойчивость, когда траектория не уходит из некоторой области фазового пространства.

5.5. Энтропия Колмогорова

Энтропия Колмогорова (Колмогоров, 1954) – важнейшая характеристика хаотического движения в фазовом пространстве произвольной размерности.

Вспомним, что термодинамическая энтропия S есть мера беспорядка в данной системе. Простой пример системы, в которой S растет, − молекулы газа, которые вначале помещены в одну половину куба и которым затем внезапно открывается возможность заполнить весь сосуд. Беспорядок в системе нарастает, так как молекулы больше не отделены от другой половины куба. Этот беспорядок связан с ростом нашего незнания о состоянии системы (до того как была убрана перегородка, о расположении

89

Термодинамика открытых систем

молекул мы знали больше).

Более строго, энтропия S, определенная как

S ≈ −∑Pi ln Pi ,

i

где {Pi} − вероятности для системы оказаться в состояниях {i},

есть мера информации, необходимая для определения местоположения системы в некотором состоянии i, т. е. S есть мера незнания о системе (Shanonn, 1949). Если при определениии S(t) перейти от натурального логарифма к десятичному, то S будет измеряться в бит.

Этот пример из статистичесчкой механики показывает, что по существу беспорядок есть понятие из теории информации. Г.Шустер [27] отмечает, что энтропию Колмогорова K0, показывающую “насколько динамическая система хаотична”, также можно определить формулой Шенона, так что K0 пропорциональна скорости потери информации о состоянии динамической системы с течением времени. Для одномерных отображений K0 является также и показателем Ляпунова. Итак, энтропия Колмогорова (метрическая энтропия) пропорциональна скорости потери информации о состоянии системы с течением времени и является мерой экспоненциальной скорости разбегания траекторий динамической системы. Определение метрической энтропии является необходимым элементом комплексного анализа на детерминированный хаос, она может быть использована в анализе фазовых переходов в различных системах.

Время, за которое система забывает начальные усло-

вия. При определении информационной энтропии в виде S(t)=K0t (t→∞) со сколь угодно большой точностью огрубления фазового пространства µ→0 энтропия максимума не достигает. Анализ существенно упрощается, если зафиксировать конечный порядок огрубления фазового пространства µ0, тогда за время tr область

∆Γ=µ0 расширяется до предельного значения ∆ Γ_ = δη , послед-

нее связано с размером описываемого аттрактора. В результате время жизни фазовой траектории связано с метрической энтропией К0 = λ точной формулой:

90

Термодинамика открытых систем

отметим что в формуле Г.М. Заславского предельное значение нормировано: δη = 1 [32]. На рис.5.3б расстояние между двумя

траекториями меньше этого значения.

Другими словами, точное предсказание состояний нелинейной системы возможно только на интервале времени tr, а на временах, больших tr, возможны лишь статистические предсказания. Для одномерного отображения энтропия Колмогорова равна положительным значениям показателя Ляпунова: K0=λ>0 [27].

Вычислив, таким образом K0, можно определить время разбегания двух соседних траекторий за время tr≡tr/t0. При полной неустойчивости различие в траекториях растет со временем экспоненциально. Для конкретно заданной термодинамической системы с фазовыми переходами, таким образом, можно определить будет ли ее движение неустойчивым.

Небольшой сбой с таких траекторий приводит к практически непредсказуемому поведению фазовой траектории и анализ таких явлений является чрезвычайно важным, как мы видели выше, для понимания необратимости, так как начальные условия для физических систем задаются всегда с ограниченной точностью. Именно это и обуславливает невозможность долгосрочного динамического прогноза состояния динамической системы. Энтропия Колмогорова (на самом деле производство энтропии

K0 = dS / dt >0) может служить своеобразным индикатором пе-

риодического (квазипериодического) поведения параметра порядка (K0=0), хаотического (K0>0) и случайного (K0→∞). Для регулярного движения первоначально близкие точки остаются близкими. Для хаотического движения первоначально близкие точки расходятся экспоненциально. Для случайного движения первоначально близкие точки распределяются с равной вероятностью по всем возможным интервалам.

91

Термодинамика открытых систем

5.6.Переход от непрерывных термодинамических уравнений к дискретным (отображениям)

Дискретный характер протекающих процессов возникает при решении некоторых частных задач фазовых переходов в межфазном слое в системе жидкость−пар, при химических реакциях [30,33] и др., т.е. там, где можно выделить прямой процесс и обратный ему. Системе дифференциальных уравнений, но более высокого порядка (содержащую большее число переменных) можно сопоставить отображение – уравнение в дискретной форме для одной или двух переменных.

Метод дискретных отображений в последнее время широко используется при моделировании нелинейных систем. Первое отличие его от непрерывных моделей, в том числе и для теплофизических систем, состоит в том, что отслеживаются значения динамических переменных ηk (k=1,2,3,….m, m − номер временного шага) в определенные моменты времени, при этом ин-

тервалы времени ∆t = tk +1 −tk не малы и что происходит с пере-

менными в промежуточные моменты времени не исследуется. Второе отличие связано с тем, что вместо дифференциальных уравнений используются рекурентные соотношения (отображения), связывающие значения переменных со значением их в момент времени tk . Например, при химических реакциях, так и при процессах испарения и конденсации в пространственно протяженном межфазном слое реализуются промежуточные стадии, когда за время ∆t процесс повторяется. В системе жидкость−пар

при испарении ηk = ρ*kL − ρ*0 >0 – отклонение плотности жидкости ρ*kL от среднего значения ρ*0 в центре межфазного слоя в k−й

момент, ηk+1 − в следующий момент. При этом промежуточный режим конденсации при феноменологическом описании в дискретной модели не фигурирует, однако в ДУ он должен учиты-

o

ваться, например различные знаки у η и η в уравнении (5.7)

описывают или процессы испарения, или процессы конденсации. Может быть предложен следующий алгоритм перехода к

92