МАТЕМАТИКА. ЛЕКЦИЯ №7

1.1 Кривые второго порядка

1.1.1 Окружность – геометрическое место точек, равноудалённых от одной данной точки (центра). Пусть С(a,b)– центр окружности, R– её радиус, а М(х,у) – произвольная точка окружности. R = СМ. Тогда

СМ = , или

= R² – уравнение окружности

В частным случае, если С (a,b)= О (0,0), то уравнение окружности примет вид:

х² +у² = R² (1)

Для точки М(х,у), лежащей внутри окружности получим:

< R²

для точки М(х,у), лежащей вне окружности:

> R²

1.1.2 Эллипс

И з формулы (1) следует: . Знак «+» соответствует верхней полуокружности,

«-» - нижней.

Будем сжимать окружность следующим образом: из точки

М(х; ) будем получать точку

N(x, . Тогда ордината точки N будет составлять некоторую часть от ординаты точки М (b< a). Так, например, точка (0; а) перейдёт в точку (0; ) = (0; b). Все точки N образуют геометрическое место точек эллипса. Построение эллипса – сжатие окружности к горизонтальному диаметру. Из построения получим, что точки эллипса должны удовлетворять уравнению:

– каноническое уравнение эллипса

a – большая полуось, b – малая. Оси симметрии эллипса называются его осями, точки пересечения осей с эллипсом – вершинами эллипса.

О форме эллипса говорит эксцентриситет:

При b = a e =0. Т.е. окружность – это эллипс с нулевым эксцентриситетом.

Эллипс можно задать, как геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F и F₁ (фокусов) постоянно и равно 2а (рисунок 1).

Рисунок 1.

При этом расстояния

Если a < b, т.е. большой полуосью является b, то фокусы находятся на оси Оу и при этом:

Директрисы эллипса – прямые, определяемые формулами:

(если a > b) и

1.1.3 Гипербола

Гипербола - геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек F и F₁ (фокусов) постоянно и равно 2а (рисунок 2). 0<2a<FF₁.

– каноническое уравнение гиперболы (2)

Рисунок 2.

Осями симметрии гиперболы, заданной уравнением (2) являются оси координат, а – вещественная (действительная) полуось, b – мнимая. Ось Ох пересекает гиперболу в точках А(а;0) и А₁(-а;0) – вершинах гиперболы. с = OF=OF₁

>1 – эксцентриситет гиперболы

Прямые - асимптоты гиперболы

Ветви гиперболы подходят к асимптотам бесконечно близко, но не пересекаются с ними.

Фокальные радиус-векторы произвольной точки М(х; у) определяются формулами:

Гиперболы и называются сопряжёнными. Если гипербола задана уравнением , директрисы гиперболы – прямые, заданные уравнениями:

Если гипербола задана уравнением , директрисы гиперболы задаются уравнениями:

1.1.4 Парабола

Парабола – геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от данной точки F (фокуса) и от данной прямой (директрисы).

Канонические уравнения:

1). Для параболы, симметричной относительно Ох (рисунок 3)

(3)

Фокус параболы F лежит на оси Ох, директриса имеет уравнение

---

Фокальный радиус-вектор точки М (х; у)

2). Для параболы, симметричной относительно Оу (рисунок 4) каноническое уравнение: (4)

Фокус параболы F лежит на оси Оу, директриса имеет уравнение

Фокальный радиус-вектор точки М (х; у)

Рисунок 3. Рисунок 4.

Каноническое уравнение задаёт параболу, вершина которой находится в начале координат.

1.2 Плоскость и прямая в пространстве

1.2.1 Всякое уравнение I степени относительно x,y,z является уравнением плоскости:

Ах + Ву + Сz + D = 0 – общее уравнение плоскости (5)

Рассмотрим точки .

Из компланарности соответствующих векторов получим:

(6)

(6) – уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

По свойствам определителя из (6) можно получить второе уравнение плоскости по координатам трёх данных точек:

(7)

Если в уравнении (5) D = 0, то плоскость проходит через начало координат. Плоскость Ву + Сz + D = 0 (А = 0) параллельна Ох. Аналогично при В = 0 и С = 0 получим плоскости, параллельные Оу и Оz соответственно.

Пусть А = 0 и В = 0. Тогда из (5) следует Сz + D = 0 или - плоскость, параллельная плоскости z = 0.

Уравнение плоскости, отсекающей от координатных осей соответствующие отрезки: (8)

Нормальное уравнение плоскости:

(9)

- направляющие косинусы перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость (т.е. косинусы углов между этим перпендикуляром и положительными направлениями соответствующих осей координат). р – длина перпендикуляра.

Общее уравнение плоскости (5) можно привести к виду (9), умножив его на нормирующий множитель М:

М = (10)

Расстояние от любой точки К пространства до плоскости можно вычислить по формулам:

(11)

или = (12)

1.2.2 Угол между двумя плоскостями

Рассмотрим плоскость , заданную уравнением (4). Вектор (А,В,С) называется вектором нормали к плоскости : = (А,В,С). Тогда угол между двумя плоскостями и ₁, заданной уравнением А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0, будет равен углу между их нормалями и ₁:

(13)

Тогда, если плоскости перпендикулярны, то , если плоскости параллельны, то координаты их нормалей должны быть пропорциональны: .

1.2.3 Прямая в пространстве

Пусть Ах + Ву + Сz + D = 0 – уравнение плоскости , а А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0 – уравнение плоскости ₁. Если плоскости не являются параллельными, то система этих двух уравнений задаёт прямую l - линию пересечения и ₁,. Следовательно, прямую можно задать системой:

(14)

Рассмотрим точки . Из коллинеарности векторов , где С(х, у, z) - произвольная точка прямой (АВ), аналогично уравнению прямой на плоскости получим

(15)

(15) - уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Из него следует каноническое уравнение прямой:

(16)

Здесь (m, n, p) – вектор, параллельный прямой l, лежит на прямой.

Пусть известны канонические уравнения прямых, параллельных векторам соответственно (m, n, p) и . Тогда угол между прямыми можно определить, как угол между векторами :

---

(17)

Если (18)

. (19)

Может оказаться, что координаты вектора (m, n, p) - нулевые, тогда в записи уравнения (16) допускаются нули в знаменателе. Так, например, если m = 0, то получим из первого равенства уравнения (15), что n(x-x₁)=0(y-y₁)=0, т.е. получим, что x = x₁ для любых точек прямой. Следовательно, прямая перпендикулярна Ох. (Аналогично для n = 0: и для р = 0: ). Если m = 0, и n = 0, то прямая параллельна Оz и т.д.

Пусть прямые l и l₁ заданы уравнениями: соответственно. Тогда необходимым и достаточным условием пересечения прямых будет условие:

(20)

Здесь .

Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку А₁, параллельно векторам :

(21)

1.3 Поверхности второго порядка

В таблице 1.3 представлены уравнения поверхностей второго порядка.

Таблица 1.3

Уравнение	Поверхность	Примечание
(…)	сфера с центром в точке S (a,b,с)	Параметры . Если точка М(х, у, z) – произ-вольная точка сферы, то
(…)	сфера с центром в начале координат
(…)	действительный эллипсоид	При получим уравнение окружности (…)
(…)	мнимый эллипсоид
(…)	однополостный гиперболоид	Поверхность «вытянута» вдоль оси, которая соответствует слагаемому со знаком «минус»
(…)	двуполостный гиперболоид
	действительный конус
	эллиптический цилиндр	Поверхность «вытянута» вдоль оси Оz (z - любое)
	гиперболический цилиндр
	параболические цилиндры
	эллиптический параболоид
	гиперболический параболоид

Изображения поверхностей приведены на рисунках 1-4.

Эллипсоид

Рисунок 5.

Однополостный Двуполостный

гиперболоид гиперболоид

Рисунок 6. Рисунок 7.

Параболоид Гиперболический

параболоид

Рисунок 8. Рисунок 9.

2 ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ

2.1 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ (2; 4; -3) и отсекающей на осях Ох, Оу и Оz отрезки, длины которых находятся в соотношении 2:3:5 соответственно.

Решение:

Пусть - искомая плоскость, и пусть от оси Ох отсекает отрезок, равный 2а. Тогда от оси Оу будет отсекать отрезок 3а, а от оси Oz – отрезок, равный 5а. Составим уравнение плоскости с помощью формулы (8):

.

Найдём значение а, подставив координаты точки М в полученное уравнение:

.

Тогда уравнение запишем в виде:

-искомое уравнение.

Ответ: .

2.2 Уравнение прямой записать в каноническом виде.

Построить прямую.

Решение:

( Из второго уравнения исключаем х). Получили зависимость у = у (z). Теперь найдём зависимость у = у(х), исключая z:

Получили: - каноническое уравнение прямой (формула (16)). Прямая проходит через точку с координатами (-2; 0; 5), параллельно вектору (1; 1; -1). Прямая изображена на рисунке 5.

---

Ответ: . Рисунок 10.

3. Найти угол прямой с плоскостью 2х + у + z - 4 = 0.

Решение:

Найдём каноническое уравнение прямой:

П олучили, что прямая, заданная в условии системой двух уравнений, параллельна вектору (2; 6; -3). Пусть уравнение 2х + у + z - 4 = 0 задаёт плоскость . Тогда угол между прямой и плоскостью будет равен углу , где - угол между прямой и нормалью к плоскости (рисунок 6).

Рисунок 11.

Из 1.2.2 следует, что = (2; 1; 1) - вектор нормали к плоскости .

С помощью формулы (4) найдём угол между векторами и (он и будет равен углу ):

Тогда .

Ответ:

2.4 Найти центр и радиус сферы 1). x² + y² +z² -3x +5y – 4z = 0

2). x² + y² +z² = 2 az. Построить изображение сфер.

Решение:

1). x² + y² +z² -3x +5y – 4z = 0

Получили уравнение сферы с центром в точке S и радиусом

R = - рисунок 7.

Рисунок 12.

2). x² + y² +z² = 2 az - уравнение сферы с центром в точке (0; 0; а) и радиусом R = a – рисунок 13.

Рисунок 8.

Рисунок 13.

Ответ: 1). Сфера имеет центр в точке S и радиус R = ; 2). Сфера имеет центр в точке (0; 0; а) и радиус R = a.

2.6 Написать уравнение поверхности, образованной вращением эллипса вокруг оси Oz.

Решение:

В плоскости у = 0 сечением поверхности является эллипс с полуосями: а и с. Вращая его вокруг оси Oz, получаем поверхность, сечение которой плоскостью x = 0 – так же эллипс. Т.к. при вращении точка с координатами (а; 0; 0) переходит в точку с координатами (0; а; 0), а точка с координатами (0; 0; с) остаётся на месте, то уравнение эллипса в сечении плоскостью х = 0 имеет вид:

. Т.о. искомая поверхность – эллипсоид вращения с полуосями а, а и с. Следовательно, искомое уравнение можно записать в виде: .

Рисунок 14.

Ответ: - уравнение эллипсоида вращения.

2.5 Какому условию должны удовлетворять координаты точки M, если она одинаково удалена от точек А(7; -3) и В(-2; 1)?

Решение:

Пусть точка М имеет координаты (x; y). Найдём координаты векторов :

. Из условия имеем: АМ = ВМ, а следовательно, . Запишем квадраты длин отрезков АМ и ВМ, используя свойства скалярного произведения:

Т.к. квадраты длин равны, получим уравнение:

.

Получили, что точка М, удовлетворяющая условию задачи, лежит на прямой .

II способ:

Т.к. точка М равноудалена от А и В, то она находится на серединном перпендикуляре прямой (АВ). Найдём середину отрезка АВ:

Пусть N(х₀; у₀) середина отрезка АВ, тогда

.

Будем искать уравнение прямой (MN). Т.к. (MN) (АВ), угловой коэффициент (MN) найдём из уравнения прямой (АВ). По формуле уравнения прямой, проходящей через две известные точки, для точек А и В получим:

Из последнего уравнения следует, что угловой коэффициент прямой (АВ) равен , тогда прямая (MN) имеет угловой коэффициент равный . Тогда уравнение (MN) можно записать в виде: . Свободный член получим, подставив в уравнение (MN) координаты точки N :

Последнее уравнение – уравнение прямой (MN) – выражает условие, при котором точка M будет равноудалена от точек А и В.

---

Ответ: .

2.6 Даны точки М₁ (-1, -2 , 0) и М₂ (1, 1 , 2). Написать уравнение плоскости, проходящей через М₁ и М₂ и перпендикулярной к плоскости х + 2у + 2z – 4 = 0.

Решение:

Пусть - искомая плоскость, задаваемая уравнением Ах + Ву + Сz + D = 0. Вектор (А,В,С) - вектор нормали к плоскости : = (А,В,С).

Пусть уравнение х + 2у + 2z – 4 = 0 задаёт плоскость ₁, вектор нормали которой ₁ будет иметь координаты (1; 2; 2). Т.к. плоскости перпендикулярны, ₁= 0. Тогда по свойству скалярного произведения векторов получим уравнение: А + 2В + 2С = 0. Ещё два уравнения получим, подставив координаты точек М₁ и М₂ в уравнение плоскости :

-А – 2В + С + D = 0 и А + В + 2С + D = 0.

Составим систему линейных уравнений:

. Система содержит три уравнения и четыре неизвестных, следовательно, одну переменную можно считать свободной, например D, и выражать через неё остальные. Составим расширенную матрицу системы и с помощью метода Гаусса (1.3) получим её решение:

Из последнего уравнения следует: , из второго уравнения получим, что В = D. Из первого выражаем А:

Тогда искомое уравнение плоскости можно записать в виде:

Ответ: .

2.7 Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которого находятся на оси Ох, проходит через точку М (-4; ) и имеет эксцентриситет е = ¾. Написать уравнение эллипса и найти фокальные радиус – векторы точки М. Написать уравнения директрис.

Решение:

Будем искать уравнение эллипса в виде: .

a и b найдём, подставив в уравнение эллипса координаты точки М: .

Т.к. , получим второе уравнение: .

Решим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Тогда искомым уравнением эллипса будет уравнение: , при этом а = 8, b= .

По формулам для радиус-векторов точки М получим:

Уравнения директрис при а = 8 можно записать в виде:

Ответ: , , , уравнения директрис: .

2.8 Написать уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, проходящей через точку (2р, р ), у которой е = . Найти уравнения асимптот и директрис.

Решение:

Будем искать уравнение гиперболы в виде: .

Параметры a и b найдём, подставив в уравнение гиперболы координаты точки (2р, р ): .

Т.к. , получим второе уравнение: .

Решим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Тогда искомым уравнением гиперболы будет уравнение: , при этом, а=b=p.

Асимптоты гиперболы можно записать в виде: . Т.о. асимптотами гиперболы являются биссектрисы координатных углов. Директрисами гиперболы являются прямые х = .

3 ОБЩИЕ ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬОЙ РАБОТЫ

Контрольная работа оформляется, согласно Стандарту организации СТО 01.04 – 2005: «Работы студентов. Общие требования и правила оформления», выполняется на листах формата А4 и состоит из

• титульного листа,

• задания,

• листа для замечаний,

• основной части.

Титульный лист оформляется на специальном бланке, согласно установленной форме. Основная часть содержит решение задач, при необходимости рисунки, поясняющие решение.

---