Файл: matan.docx

Пара последовательностей , где называется рядом (а также бесконечной суммой) и обозначается или . Элементы последовательности называются членами ряда, а элементы последовательности - его частичными суммами. Если существует конечный предел , то он называется суммой ряда. В этом случае ряд называется сходящимся и пишут . Если последовательность частичных сумм не стремится к конечному пределу, то ряд называется расходящимся. Очевидно, что . Каждая из последовательностей и однозначно определяет другую. Таким образом, чтобы задать ряд, достаточно задать одну из последовательностей или . В этом случае изучение рядов равносильно изучению последовательностей.

Теорема (необходимое условие сходимости ряда): Если ряд сходится, то последовательность его членов стремится к нулю.

Доказательство: Если ряд сходится, т. е. Существует конечный предел его частичных сумм, то из равенства следует, что .

2. Критерий Коши сходимости знакопостоянного ряда.

Теорема:

Для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало такое , что для всех и всех целых имеет место неравенство

Доказательство: Это утверждение следует из критерия Коши существования конечного предела последовательности, примененного к последовательности частичных сумм данного ряда,

Замечание: при p=0 из теоремы следует, что если ряд сходится, то для любого существует такоей номер , что для всех выполняется неравенство , а это означается, что . Таким образом, получаем еще одно доказательство теоремы.

3. Признаки сравнения знакопостоянных рядов.

Теорема: Пусть , тогда

1)Если ряд сходится, то и ряд сходится;

Если ряд расходится, то расходится и ряд .

Следствие. Пусть и . Тогда:

Если ряд сходится и , то сходится и ряд ;
Если ряд расходится и , то расходится и ряд .

В частности, если , то ряды и сходятся и расходятся одновременно.

Доказательство теоремы: Если ряд сходится, т. е. Имеет конечную сумму , и , то для любого n=1,2,... выполняется неравенство . Следовательно, , а это означает, что ряд сходится. Если ряд расходится, то и расходится и ряд , так как, если бы он сходился, то в силу уже доказанного расходился бы и ряд .

4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда.

Если последовательность убывает и стремится к нулю, т. е. (1), то ряд сходится, причем, если , , то при любом n=1,2,... выполняется неравенство . Из условия (1) следует, что , в силу чего члены ряда поочередно . Ряды вида при называются знакочередующимися.

Абсолютно сходящиеся ряды:

Ряд , называется абсолютно сходящимся, если ряд, членами которого являются абсолютные величины членов данного ряда, т. е. сходится.

Критерий Коши абсолютной сходимости ряда: Для того, чтобы ряд абсолютно сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало такое , что для всех номеров и всех выполнялось бы неравенство .

Теорема: Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.

Доказательство:

Следует из неравенства . В самом деле, в силу критерия Коши абсолютной сходимости ряда для любого существует такое , что для всех и всех правая часть неравенства меньше . Следовательно, и левая часть этого неравенства окажется меньше , т. е. для ряда выполняется критерий Коши сходимости рядов и потому он сходится.

Условно сходящиеся ряды:

Сходящийся, но не абсолютно сходящийся ряд называется условно сходящимся рядом. Для ряда с действительными членами обозначим через и соответственно его неотрицательные и отрицательные члены, взятые в том же порядке, в котором они расположены в ряде. Если одно из множеств или окажется конечным, то, отбросив в ряде соответствующее конечное число первых членов, получим остаток ряда, члены которого будут неотрицательны или неположительны и, следовательно, во втором случае неотрицательны после умножения всех членов на -1. В обоих случаях, если исходный ряд сходится, то он очевидным образом абсолютно сходится. Таким образом, если ряд условно сходится, то оба множества и бесконечны, т. е. являются последовательностями. Рассмотрим ряды , . Согласно определению члены этих рядов неотрицательны, поэтому, если они расходятся, то , .

Лемма: Если ряд условно сходятся, то ряды и расходсятся.

5. Признаки Лейбница, Абеля и Дирихле сходимости знакопеременных рядов.

Теорема (Лейбниц): Если последовательность убывает и стремится к нулю, т. е. (1), то ряд сходится, причем, если , , то при любом n=1,2,... выполняется неравенство .

Лемма (Абель): Если для всех j = 1,2,...,n-1 выполняются неравества , и для всех j = 1,2,...,n — неравенства . то .

Доказательство:

мы воспользовались здесь равенством .

Теорема( признак Дирихле):

Если последовательность монотонная и , а последовательность частичных сумм ряда ограничена, то ряд сходится.

Доказательство: Из ограниченности последовательности частичных сумм , ряда следует, что существует такое число , что для всех n=1,2,... выполняются неравенства и, следовательно, для всех n=2,3,... и всех p=0,1,... - неравенства . Зафиксируем произвольно . В силу условия существуется такой номер , что для всех имеет место неравенство . Поэтому для всех и всех p=0,1,... будем иметь , т. е. ряд удолетворяет критерию Коши схоидмости рядов и, следовательно сходится.

Теорема( признак Абеля): Если последовательность ограничена и монотонна, а ряд сходится, то сходится и ряд .

Доказательство: Из ограниченности и монотонности последовательности следует существование конечного предела , и потому последовательность монотонная и стремится к нулю. Из сходимости же ряда следует, что последовательность его частичных сумм ограниченная. Теперь имеем . Второй ряд в правой части равенства сходится по условию теоремы, а первый — в силу признака Дирихле. Поэтому и сходится ряд в левой части равенства.

6. Действия над рядами. Сумма и произведение рядов.

Теорема: Линейная комбинация абсолютно сходящихся рядов является абсолютно сходящимся рядом.

Доказательство: Если ряды и абсолютно сходится, а , то сходится и ряд . Отсюда в силу неравенств , по признаку сравнения следует сходимость ряда , т. е. абсолютная сходимость ряда .

Если ряд абсолютно сходится, то любой ряд , составленный из тех же членов, что и данный ряд, но взятый в другом порядке также абсолютно сходится и имеет ту же сумму

Если ряды , абсолютно сходятся, то ряд, составленный из всевозможных попарных произведений членов этих рядов, также абсолютно сходится, причем его сумма s равна произведению сумм данных рядов: если , , то , т. е. абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать почленно.

7. Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда.

Пусть на некотором множестве X задана последовательность функций , принимающих числовые значения. Элементы множества X будем называть точками. Последовательность называется ограниченной на множестве X, если существует такое число C > 0, что для всех n= 1,2,... и всех точек выполняется неравенство . Последовательность называется сходимостью на множестве X, если при любом фиксированном числовая последовательность сходится. Если последовательность сходится на множестве X, то функция f, определенная при каждом равенством называется пределом последовательности .

Пусть на множестве X задана последовательность числовых функций Множество всех числовых рядов в каждом из которых точка произвольно фиксирована, называется рядом на множестве X, а функции ,-его членами.

Аналогично случаю числовых рядов сумма , называется частичной суммой ряда n-го порядка, а ряд - его n-м остатком.

Ряд называется сходящися на множестве X, если последовательность его частичных сумм сходится на этом множестве. При этом предел частичных сумм называется суммой ряда. В этом случае пишут и говорят, что функция s(x) раскладывается в ряд . Если ряд При любом фиксированном сходится абсолютно, то он называется абсолютно сходящимся на множестве X.

8. Равномерная сходимость. Мажорантный признак Вейерштрасса.

Функциональная последовательность называется равномерно сходящейся к функции f на множестве X, если для любого существует такой номер , что для всех точек и всех номеров выполняется неравенство . Очевидно, что если последовательность равномерно сходится на множестве X к функции f, то пишут , если последовательность сходится равномерно к f на указанном множестве, то пишут . Если последовательность только сходится к функции f на множестве X, то для каждой точки существует свой номер , для которого при выполняется неравенство и может оказаться, что для всех точек невозможно подобрать общий номер , обладающий указанным свойством. Равномерная же сходимосто последовательности к функции f означает, что, какое бы число ни задать, можно подобрать такой номер , что в любой точке значение функции будет отличаться от значения функции f меньше, чем на .

Ряд называется равномерно сходящимся на множестве x, если на x равномерно сходится последовательность его частичных сумм.

Теорема(признак Вейерштрасса): Если числовой ряд , сходится и для всех и для всех n = 1,2,... выполняется неравенство , то ряд абсолютно и равномерно сходится на множестве X.

9. Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости. Ряд Тейлора.

Степенным рядом называется ряд вида числа , называются коэффициентами ряда. С помощью замены ряд может быть преобразован к виду .

Число R= sup X (конечно или бесконечное) называется радиусом сходимости ряда , а круг - его кругом сходимости.

Пусть R — радиус сходимости ряда . Тогда если |z|>R, то ряд сходится абсолютно, если |z|>R, то ряд расходится, а если , то в круге ряд сходится равномерно.

Функция f называется аналитической в точке , если в некоторой окрестности этой точки функция f раскладывается в степенной ряд .

Лемма: Радиусы сходимости соответственно рядов , равны.

Теорема: Если функция f раскладывается в окрестности в степенной ряд с радиусом сходимости R, то

1)Функция f имеет на интервале производные всех порядков, которые могут быть найдены из ряда почленным дифференцированием:

2)Для любого

3)Эти ряды имеют одинаковые радиусы сходимости. В целом, внутри интервала сходимости степенного ряда ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз.

Теорема: Если функция f раскладывается в некоторой окрестности точки в степенной ряд , то , следовательно, справедлива формула

Пусть действительная функция f определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производные всех порядков. Тогда ряд называется её рядом Тейлора в точке .

10. Ряд Фурье. Условие поточечной сходимости.

Ряд вида называются тригонометрическими рядами Фурье, где - коэффициенты Фурье ф-ции f.

Лемма: Если функция f абсолютно интегрируема на отрезке , то интегралы сходятся или расходятся одновременно.

Теорема (признак Дини): Пусть функция f - - периодическая и абсолютно интегрируемая на периоде. Тогда если x является точкой непрерывности или точкой разрыва первого рода функции f и интеграл абсолютно сходится, то ряд Фурье функций f сходится в точке X к значению , в частности, в точке непрерывности — к значению f(x) функции f в этой точке.

Следствие 1: Если f - - периодическая абсолютно интегрируемая на периоде функция и в точке x существует конечные односторонние производные и , то ряд Фурье функции f сходится в точке x к значению .

Следствие 2: Ряд Фурье кусочно дифференцируемой на отрезке функции f сходится в каждой точке интервала к значению , а в точках - к значению . Отсюда следует, что ряд Фурье непрерывной кусочно дифференцируемой и - периодической функции сходится во всех точках числовой оси к самой функции.

11.Ряд Фурье. Условие равномерной сходимости.

Теорема: Если непрерывная и кусочно-гладкая на отрезке [-l,l] функция f(x) имеет равные значения на концах этого отрезка f(-l)=f(l), то её тригонометрический ряд Фурье

, где ,

, сходится равномерно на этом отрезке, причем S(x)=f(x) в каждой точке отрезка [-l,l].

Замечание: Равенство значений ф-ции f(x) на концах отрезка [-l,l] является необходимым условием того, что тригонометрический ряд Фурье функции f(x) сходился к ней на концах этого отрезка.

Теорему можно сформулировать иначе. Заметим, что если ф-я f(x) непрерывна на отрезке [-l,l] и имеет равные значения на его концах, то при её периодическом продолжении с периодом 2l получается ф-я, непрерывная на все оси x. Назовем ф-ю f(x) кусочно-гладкой на все оси x, если она является кусочно-гладкой на каждом конечном отрезке оси x. Сформулируем теорему: Если периодическая ф-я f(x) с периодом 2l являтся непрерывной и кусочно-гладкой на все оси x, то ее тригонометрический ряд Фурье сходится к ней равномерно на все оси.

12.Представление функции в виде интеграла Фурье

Пусть функция F задана на всей числовой прямой R и абсолютно интегрируема на ней. Сопоставим функции f интеграл , где , . Интеграл аналогичен ряду Фурье периодической функции(суммирование заменено интегрированием). Функции a(y) и b(y) в подынтегральном выражении аналогичны коэффициентам Фурье. Подставив коэф-ты в подынтегральное выражение получим