Файл: matan.docx

Отображение F, ставящее в соответствие абсолютно интегрируемой на всей числовой оси функции f функцию, обозначаемую F f или и задаваемую равенством называется преобразованием Фурье, а отображение , ставящее в соответствие абсолютно интегрируеомй на все оси функции f функцию f, задаваемую равенством

- обратным преобразованием Фурье. Функция Ff называется образом Фурье функции f. Если функция принимает только действительные значения, то оба преобразования фурье принимают комплексные значения. Оба интеграла абсолютно сходятся, поскольку то , а интеграл по условию сходится.

Свойства преобразований Фурье:

1)Если функция f абсолютно интегрируема на всей числовой оси R, то её преобрахование Фурье Ff является ограниченной непрерывной на R функцией, стремящейся к нулю, когда её аргумент стремится к бесконечности; при этом для любого выполняется неравенство

Следствие: Если последовательность абсолютно интегрируемых функций сходится в среднем на числовой оси R к абсолютно интегрируемой функции, то последовательность пребразований Фурье функций сходится равномерно на всей числовой оси R к преобразованию Фурье Ff функции f.

2)Если

-функция f непрерывна и абсолютно интегрируема на числовой оси

-её производная f' кусочно непрерывна на любом конечном отрезке и также абсолютно интегрируема на числовой оси;

то (Ff')(y)=iy(Ff)(y)

3)Если функция f(x) непрерывна, а функции f(x), xf(x),....,f(x) абсолютно интегрируемы на всей числовой оси, то преобразование Фурье функции f(x) является n раз дифференцируемой на всей числовой оси функцией и

14. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Предельный переход под знаком интеграла.

Пусть на множестве Y определены функции и , , а на множестве - функция f(x,y).

Определение: Интегралы вида (1)в частности, интегралы (2), называются интегралами, зависящими от параметра y. Подстановка сводит интеграл вида (1) к виду (2).

Теорема: Пусть функции и непрерывна на отрезке [c,d], . Если функция f(x,y) непрерывна на множестве , то функция непрерывна на отрезке [c,d]. Таким образом, в этом случае для любой точки имеет место равенство

Теорема: Если функция f(x,y) определена на прямоугольнике , если она при любом фиксированном непрерына по x на отрезке [a,b] и , то . Эта теорема представляет собой достаточное условие, при котором возможен предельный переход под знаком интеграла.

15.Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла

Теорема: Если функция f(x,y) непрерывна на прямоугольнике , то

Теорема (правило Лейбница): Если функция f(x,y) и ее частная производная непрерывны на прямоугольнике P, то .

16. Г- и В- функции Эйлера и их основные свойства.

Интеграл зависящий от параметра s, называется гамма-функцией, а интеграл зависящий от параметров p и q, называется бета-функцией. Гамма-функция и бета-функция называются эйлеровыми интегралами. Разобьем интеграл на два и заметим, что при . Так как интеграл сходится при s > 0 и расходится при , а интеграл сходится, то формула для определения гамма-функции Г(s) имеет смысл только при S>0. Иначе говоря, если S > 0, то интеграл Г(s) сходится, если же , то интеграл расходится. Аналогично , где . Поскольку интеграл сходится при p>0 и расходится при , а интеграл сходится при q>0 и расходится при , то формула для определения B(p,q) имеет смысл только при q>0 и p>0, т.е. при этих значениях параметров интеграл сходится, а при иных — расходится.

17.Двойной интеграл. Теорема о среднем.

Пусть в области (P) определена функция f(x,y). Разобьем область (P) сетью кривых на конечное число областей. В пределах i-й элементарной области возьмем произвольные точки , значение функции в этой точке умножим на площадь соответствующей области и все подобные произведения сложим. Полученную сумму будем называть интегральной суммой для функции f(x,y) в области (P). Обозначим через наибольший из диаметров частичных областей . Двойным интегралом называется предел , если он существует, конечен и не зависит от количества разбиений и выбора промежуточных точек.

Теорема о среднем: Если интегрируема в (P) функция f(x,y) удовлетворяет неравенству , то . Если через обозначить среднее отношение, то получим другую запись неравенства . Должна найтись такая точка , что , тогда формула принимает вид .

18. Сведение двойного интеграла к повторному.

Если функция f задана на множестве и при каждом интегрируема по y на отрезке , то функция называется интегралом, зависящим от параметра, а интеграл называется повторным интегралом.

Теорема: Если функция f непрерывна на множестве E, то . Если множество E удолетворяет относительно y условиям, аналогичным x, - непрерывные на отрезке [c,d] функции, то в случае непрерывности на множестве E функции f будем иметь

19. Приложения двойного интеграла.

Все геометрические и механические величины, связанные с плоским непрерывным распределением масс вдоль некоторой области выражаются двойными интегралами, распространенными на эту фигуру. В частности, величина распространенной массы выражается по заданной плотности распределения , так .

Выделяя элементарную часть dP фигуры P, которое позволяет дать для элемета dQ искомой величины Q приближенное значение вида dQ=q(M)dP. Тогда точное значение выразится формулой . В силу этого:
Статические моменты сил:

Моменты инерции

Координаты центра тяжести фигуры:

В случае однородной фигуры:

20. Замена переменных в двойном интеграле.

Рассмотрим двойной интеграл где область (D) ограничена кусочно-гладким контуром (S), а функция f(x,y) непрерывна в этой области. Предположим, что область (D) связана формулами . Интегральная сумма , , где - некоторая определенная точка области . Получим . Точка берется в области произвольно, пользуясь этим получим: . Тогда сумма примет вид , которая, очевидно, является интегральной суммой для интеграла . Таким образом, .

21.Тройной интеграл. Приложения тройного интеграла.

Пусть в некоторой пространственной области (V) задана функция f(x,y,z). Разобьем эту область на конечное число частей . В пределах i-го элемента возьмем произвольные точки , значение ф-ции в этой точке умножим на объем и составим интегральную сумму . Конечный предел этой суммы при стремлении к нулю наибольшего из диаметров всех областей называется тройным интегралом функции в области (V), если он непрерывен, конечен и не зависит от количества и диаметра разбиений. Обозначение .

Св-ва тройных интегралов:

1)Существование и величина тройного интеграла не зависят от значений, принимаемых фунецией вдоль конечного числа поверхностей с объемом 0.

2)Если (V)=(V')+(V''), то , причем из существования интеграла слева вытекает существование интегралов справа и наоборот.

3)Если k=const, то

Если выполняется неравенство , то
Имеет место неравенство
Если функция удовлетворяет неравенству , то ,

иными словами, имеет место теорема о среднем значении .

Механические приложения:

Обозначим через плотность распределения масс в произвольной точке тела (V), явл. Функцией от координат точки. Для величины всей массы будем иметь .

Статические моменты: .

Координаты центра тяжести: , , .

В случае однородного тела: , , .

Моменты инерции относительно осей координат: , , .

Относительно координатных плоскостей: , , .

Пусть массы, заполняющие тело (V), оказывают притяжение на точку по закрну Ньютона. Сила притяжения со стороны элемента dm массы имеет на оси координат проекции , , , где - расстоение элемента до точки A. Получим: , , . Аналогично определяется и потенциал тела на точку: .

22.Сведение тройного интеграла к повторному.

Если функция f(x,y,z) определена в области (V), то вместо неё следует ввести функцию f*(x,y,z), определенную в объемлющем (V) прямоугольном параллелепипеде (T), полагая f*(x,y,z)=f(x,y,z) в (V) и f*(x,y,z)=0 вне (V). Пусть тело (V) содержится между плоскостями и каждой параллельною им плоскостью, отвечающей фиксированному значению x, пересекается по некоторой фигуре, имеюшей площадь, обозначим её проекцию на плоскость yz . Пусть, далее, тело ограничено снизу и сверху пов-тями проектирубщимися на пл-ть xy в некоторую фигуру (D), ограниченной кривой (K). Имеем: . Если область (D) представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную кривыми и прямыми , то, заменяя двойной интеграл повторным, получим

23.Замена переменных в тройном интеграле.

Пусть между областями (D) и пространств xyz и существует соответствие. Покажем, что имеет место равенство: где . Разложив кусочно-гладкими поверхностями области (D) и на элементарные части , получим , где - некоторая точка области , не зависящая от нашего выбора. Возьмем соответствующую точку области , т. е. положим и составим интегральную сумму для первого из интегралов . Подставив соответствующие значения, придем к сумме , которая, очевидно, является условием для второго интеграла.

24.Криволинейные интегралы первого и второго рода.

Зададим кривую f(x,y). Разобьем кривую на n отрезков и выберем на каждом из них произвольную точку . Обозначим - наибольший из диаметров всех отрезков . Тогда, интегральная сумма равна , где длина отрезка . Криволинейным интегралом I рода называется , если он существует конечен и не зависит от диаметра разбиения и длин отрезков. Если f(x,y)- непрерывная функция, y(x) — непрерывно дифференцируема на [a,b], то . Для случая параметрически заданной кривой: .

Криволинейные интегралы второго рода:

Пусть дана непрерывная и незамкнутая кривая (AB), вдоль которой задана функция f(x,y). Выберем на отрезке кривой произвольную точку , вычислим в ней значение функции , это значение умножим на проекцию дуги на ось x, т. е. на , составим сумму: , если при стремлении к нулю эта сумма имеет конечный предел I, не зависящий ни от способа дробления кривой, ни от выбора промежуточных точек, то такой предел называется криволинейным интегралом от f(M)dx, взятым по пути (AB), обозначается , аналогично получаем для оси y . Если вдоль кривой (AB) определены две функции P(M)=P(x,y), Q(M)=Q(x,y) и существуют интегралы , то их сумму называют криволинейным интегралом общего вида и полагают .

25.Теорема Грина.

Теорема: Пусть ф-ции P,Q, - непрерывны в области D, Г — граница области D. Тогда справедлива формула: - формула Грина.

Доказательство:

, . Рассмотрим область D, ограниченную контуром Г, состоящим из кривых

(PQ):

(SR): , вычислим двойной интеграл

Видим, что ,

. Для рассмотрения интеграла по всему контуру Г области D, прибавим к правой части полученного равенства еще интегралы , равные нулю, так как отрезки (PS) и (RQ) перпендикулярны к оси x, получим, . Аналогично для . Таким образом, теорема доказана.

26.Поверхностные интегралы первого и второго рода.

Первого рода: Пусть в точках некоторой двусторонней гладкой поверхности (S), ограниченной контуром, определена функция f(M)=f(x,y,z). Разобьем поверхность (S) с помощью сети произвольно проведенных кривых на части, взяв в каждой части по произволу точку , вычислим в этой точке значение функции, и, умножив на площадь соответствующей части пов-ти, составим интегральную сумму . Поверхностным интегралом первого рода называется предел этой суммы при стремлении диаметров всех частей поверхноси к нулю, если этот предел существует, конечен и не зависит от количества разбиений и выбора промежуточных точек. Обозначение: . Формулы для вычисления:

где - первая квадратичная форма поверхности,

Второго рода:

Пусть дано векторное поле a=(P,Q,R), двухсторонняя поверхность S с выбранным направлением нормали n, разобьем S на k частей, выберем k точек , составим интегральную сумму , где . Поверхностным интегралом второго рода называется предел интегральной суммы при стремлении наибольшего диаметра разбиений к нулю, если он существует, конечен и не зависит от количества разбиений и выбора промежуточных точек. Обозначение: .

27.Теоремы Остроградского-Гаусса и Стокса.

Рассмотрим тело (V), ограниченное куочно-гладкими поверхностями

и цилиндрической поверхностью , образующие которой параллельны оси Z. Пусть в области (V) определена некоторая функция R(x,y,z), непрерывная вместе со своей производной во всей области (V), включая ее границу, тогда имеет место формула , причем (S) – поверхность, ограничивающая тело и интеграл справа распространен на внешнюю её сторону. Аналогично, имеют место формулы

, . Сложив все три формулы мы придем к общей формуле Остроградского-Гаусса:

. В случае поверхностного интеграла . Стоящее под знаком тройного интеграла выражение называется дивергенцией вектора A. Тогда, формула Остроградского-Гаусса перепишется в виде .

Ф-ла Стокса: Пусть S – простая гладкая поверхность, ограниченная контуром Г, n – нормаль к поверхности. Если a=(P,Q,R), тогда - ф-ла Стокса.

Или .

28.Элементы теории поля. Дифференциальные векторные операции.

Если каждой точке M некоторой области пространства поставлено в соответствие число u, то говорят, что в этой области задано скалярное поле. U(x,y,z)

Векторное поле — отображение, которое каждой точке пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. a(r) (a=(P,Q,R))

Потенциальное векторное поле: a – потенциальное поле, если .

Теорема: Если а — гладкое векторное поле и rot a = 0, то a – потенциальное поле.

Соленоидальное векторное поле: Поле называется соленоидальным, если div a = 0. В солеоидальном поле поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Дифференциальные векторные операции:

Оператор Набла