ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.12.2021
Просмотров: 1813
Скачиваний: 3
Теоретично момент інерції маятника Максвелла можна визначити як суму моментів інерції його складових елементів, тобто:
(11)
де Iо – момент інерції осі маятника ;
Ip–момент інерції ролика;
Iк– момент інерції змінного кільця.
Вісь маятника являє собою циліндр (диск), тому її момент інерції дорівнює:
(12)
де Dо – діаметр осі маятника.
Ролик являє собою диск з отвором, тому його момент інерції вираховується за формулою:
, (13)
де Dp – зовнішній діаметр ролика.
Змінне кільце, як і ролик, теж диск з отвором, тому:
(14)
де Dк – зовнішній діаметр кільця.
Таким чином, момент інерції маятника Максвелла, визначений експериментально та вирахований теоретично може служити основою дослідження справедливості закону збереження механічної енергії в умовах виконання лабораторної роботи.
Ця лабораторна робота виконується на приладі, загальний вигляд якого зображений на рис.1. До основи приладу прикріплена колонка 1 з верхнім нерухомим 2 та нижнім рухомим 3 кронштейнами. На верхньому кронштейні знаходиться електромагніт 4, фотоелектричний датчик 5 та корбочка 6 для закріплення і регулювання довжини біфілярного підвісу маятника.
Маятник 7 — це ролик, закріплений на осі і підвішений біфілярним способом, на нього накладаються змінні кільця 8, що змінюють момент інерції системи.
В верхньому положенні маятник утримується електро-магнітом. Довжина його визна-чається за міліметровою шкалою на колонці приладу. Для під-вищення точності вимірювань нижній кронштейн має червоний покажчик, що розташований на висоті оптичної осі нижнього фотоелектричного датчика.
Порядок виконання роботи:
-
Нижній кронштейн приладу зафіксувати в крайньому ниж-ньому положенні.
-
На ролик маятника накласти довільно вибране кільце.
-
Пересвідчитись, що край кільця при опусканні маятника перетинає оптичну вісь нижнього фотоелек-тричного датчика.
-
Натиснути клавішу "Пуск".
-
Намотати нитку підвісу на вісь маятника і зафіксувати його з допомогою електромагніта.
-
Повернути маятник в напрямку його руху на кут близько 50.
-
Натиснути клавішу "Сброс".
-
Натиснути клавішу "Пуск" і записати виміряний час падіння маятника.
-
Дослід повторити 5 разів.
-
З допомогою шкали на колонці приладу визначити довжину маятника .
-
Записати маси всіх елементів маятника: осі, ролика, кільця.
-
Виконати заміри діаметрів осі маятника, нитки, ролика і кільця.
-
Дані всіх вимірювань занести в таблицю:
№ п/п |
m0, кг |
mp, кг |
mk, кг |
D0, м |
DН, м |
t, c |
h, м |
DP, м |
DK, м |
I0, кгм2 |
IМ, кгм2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обробка результатів експерименту та їх аналіз
-
Визначити середнє значення часу падіння маятника за формулою
-
Використовуючи формулу (10) визначити момент інерції маятника за даними експерименту.
-
За формулою (11) визначити момент інерції цього ж маятника теоретичним способом.
-
Визначити абсолютну і відносну похибки.
-
Проаналізувати одержані результати роботи та зробити висновки.
Контрольні запитання
-
Сформулюйте закон збереження та перетворення механічної енергії.
-
Що таке момент інерції та від чого він залежить?
-
В чому полягає теорема Штейнера?
-
Доведіть вірність теореми Штейнера для стержня, використавши дані з таблиці.
-
Запропонуйте метод визначення втрат механічної енергії маятника Максвелла протягом одного періоду,
Визначення кінематичних характеристик гіроскопа
л.1.§§ 33,34,35
Мета роботи: поглиблене вивчення понять моменту сили та моменту імпульсу; практичне визначення кутової швидкості прецесії, моменту імпульсу і моменту інерції.
Прилади і матеріали: гіроскопічна установка з мілісекундоміром та тахометром; переміщуване тіло.
Теоретичні відомості
Слово "гіроскоп" із грецької мови означає буквально прилад для виявлення обертання. Гіроскопом називається тверде тіло, що швидко обертається, вісь обертання якого може змінювати свій напрямок в просторі.
Найбільше значення в науці і техніці мають симетричні гіроскопи. Симетричним називають гіроскоп, що має симетрію обертання відносно певної осі, яка називається геометричною віссю або віссю фігури гіроскопа. Здебільшого одна з точок осі фігури гіроскопа закріплюється і називається точкою опори гіроскопа.
Щоб вісь фігури гіроскопа могла вільно повертатися в просторі, гіроскоп закріплюється в так званому кардановому підвісі (рис. 1).
Рис.1 Рис.2
Маховик гіроскопа 1 закріплюється на осі фігури АА , що може обертатись з малим тертям в підшипниках, які утримують кінці діаметра внутрішнього кільця. Внутрішнє кільце, в свою чергу, може обертатись навколо перпендикулярної осі ВВ , яка проходить через підшипники на кінцях діаметра зовнішнього кільця. Нарешті, зовнішнє кільце може здійснювати рух навколо третьої осі ДД, що проходить через нерухомі підшипники підставки. Всі три осі перетинаються в одній точці, яка називається центром карданового підвісу. Гіроскоп у кардановому підвісі має три ступені вільності і може здійснювати любі повороти навколо центра підвісу. В елементарній теорії гіроскопа кінетична енергія та моменти імпульсу кілець не враховуються, як дуже малі в порівнянні з відповідними величинами маховика гіроскопа. Якщо центр карданового підвісу або точка опори співпадає з центром мас гіроскопа, то його називають зрівноваженим чи астатичним.
Гіроскоп має цікаві властивості, наприклад, має здатність чинити опір зовнішнім діям, що намагаються змінити напрямок його осі обертання. Якщо вдарити по кільцю карданового підвісу, то можна помітити, що гіроскоп практично не піддається дії цього удару, його вісь майже не змінює попереднього напрямку. У результаті удару виникають лише незначні коливання або дрижання осі гіроскопа, які швидко затухають. Ця властивість гіроскопа використовується в приладах орієнтації, та навігації авіаційних і космічних літальних апаратів, суден, підводних човнів та інших рухомих об’єктів. Слід звернути увагу, що така стійкість властива лише гіроскопам з трьома ступенями вільності, вона зовсім зникає, якщо гіроскоп позбавити хоч би однієї ступені вільності.
Щ е одна властивість гіроскопа проявляється, коли на його вісь починає діяти сила чи пара сил, які намагаються привести вісь у рух. Під дією сили Р (рис.2) кінець А осі АА гіроскопа буде відхилятися не в бік дії сили Р, а в напрямку, перпендикулярному цій силі. У результаті гіроскоп повернеться не навколо осі ВВ, а навколо осі ДД, причому не прискорено, а з постійною кутовою швидкістю. Це обертання називають прецесією. Звідси випливає висновок, що внаслідок прецесії гіроскоп розвиває певний момент, який зрівноважує повертаючий момент сили тяжіння. Виникнення гіроскопічного моменту, зв'язаного з прецесією гіроскопа носить назву гіроскопічного ефекту.
Властивості гіроскопа притаманні також елементарним частинкам, атомам та молекулам завдяки наявності в них моментів імпульсу орбітального і спінового обертання. Звичайно, ці та інші явища мікросвіту повинні розглядатись на основі законів квантової механіки, але між властивостями атомних і макроскопічних систем є багато спільного. Тому теорія гіроскопа виявляється корисною і при вивченні атомної фізики, фізики елементарних частинок і атомного ядра.
Розглянемо рух твердого тіла, що має одну закріплену точку. Основною характеристикою дії сили на таке тіло є момент сили -це векторний добуток радіус-вектора точки прикладання сили на вектор сили:
. (1)
Запишемо другий закон Ньютона для поступального руху:
. (2)
Д омножимо векторно це рівняння, на радіус-вектор r :
.
або: . (3)
Вектор
, (4)
називають моментом імпульсу точки відносно вибраного початку координат. Тому вираз (3) запишемо в вигляді:
,
або .(5)
Співвідношення (5) є основним законом динаміки обертового руху тіла з однією закріпленою точкою. Він формулюється так: швидкість зміни моменту імпульсу абсолютно твердого тіла за величиною та напрямком рівна сумі моментів сил, які діють на тіло.
Т еорія гіроскопа базується на рівнянні (5). Якщо момент зовнішніх сил М рівний нулеві, то гіроскоп називається вільним. Для вільного гіроскопа
, (6)
а це значить, що
(7)
Це рівняння виражає закон збереження моменту імпульсу вільного гіроскопа.
Р озглянемо тепер рух гіроскопа, коли в якійсь точці А осі фігури гіроскопа АА підвісити невеликий вантаж Р .
У цьому випадку на гіроскоп почне діяти момент сили М, що напрямлений вздовж осі ВВ (рис. 2 ) і рівний
M = P l . (8)
д е l – плече сили Р.
П ротягом часу dt момент імпульсу гіроскопа одержує приріст dL= Mdt
я кий за напрямком співпадає з моментом сили М.
Т епер момент імпульсу гіроскопа буде дорівнювати результуючому вектору, L=L+dL , що лежить у площині, перпендикулярній площині рисунка (рис. 2 ). Напрямок цього вектора співпадає з новим напрямком осі гіроскопа, тобто, вісь гіроскопа протягом часу dt повернеться на кут d. З рис. 2 видно, що
(9)
Звідси можна знайти кутову швидкість повертання осі гіроскопа:
(10)
О держана формула виражає зв'язок кутової швидкості прецесії гіроскопа з моментом зовнішніх сил, які діють на нього, та з моментом імпульсу гіроскопа. Звернемо увагу, що вектори М , l i взаємно перпендикулярні.
Позначимо кутову швидкість обертання гіроскопа відносно осі АА через , а його момент інерції через I, тоді останню формулу можна переписати так:
(11)
звідки видно, що кутова швидкість прецесії гіроскопа обернено пропорційна кутовій швидкості обертання маховика гіроскопа.
Характерною особливістю прецесії гіроскопа є те, що вона безінерційна, тобто прецесійний рух припиняється в момент припинення дії моменту сил. Тому поведінка прецесії подібна не швидкості, а прискоренню, так як прискорення теж припиняється одночасно з припиненням дії сили.
Слід підкреслити, що формули (10) та (11) справджуються при виконанні умови . У техніці застосовують гіроскопи з частотою обертання =20000 50000 обертів за хвилину, а величина у мільйони разів менша.
Необхідно звернути увагу, що тут ми розглянули наближену теорію гіроскопа. Згідно із строгою теорією поряд з прецесією гіроскопа відбуваються коливання осі гіроскопа в вертикальній площині, які носять назву нутації. Із збільшенням частоти обертання гіроскопа амплітуда нутацій зменшується. Крім цього нутація гаситься тертям в опорах, тому в даній роботі вона не враховувалась.
Теорія гіроскопа сьогодні являє собою важливий розділ теоретичної механіки, який інтенсивно розвивається і є теоретичною основою найважливішої галузі сучасного приладобудування. Основи прикладної теорії гіроскопа розвинені в працях великої кількості видатних вітчизняних та закордонних вчених – М.Є.Жуковського, О.М.Крилова, Б.В.Булгакова, Г.Клейна, А.Зоммерфельда, М.Мулера та інших. Сучасний розвиток прикладна теорія гіроскопа одержала в роботах А.Ю.Ішлінського, Я.Н.Ройтенберга, В.І.Кошлякова, В.І.Назарова, М.А.Павловського та інших.
Опис лабораторної установки
Гіроскоп, що використовується в даній роботі, являє собою масивний диск, закріплений на роторі електродвигуна, На підставці з чотирма гвинтовими ніжками закріплена колонка з кронштейном, на якому розміщені фотоелектричний датчик та зовнішня втулка поворотного з’єднувача.
Поворотний з’єднувач дає можливість гіроскопу повертатись навколо вертикальної осі та забезпечує живлення струмом фотоелектричного датчика і електричного двигуна.
Електричний двигун змонтований на кронштейні таким чином, щоб була можливість повороту на обмежений кут в вертикальній площині.
На валу двигуна закріплений диск з екраном захисту. З корпусом двигуна з’єднаний важіль, з метричною шкалою, вздовж якої може переміщуватись вантаж для зрівноваження гіроскопа.
Кут повороту гіроскопа навколо вертикальної осі можна виміряти з допомогою лічильника, розташованого на передній панелі приладу. Диск має на ободі отвори для визначення частоти обертання вала електродвигуна фотоелектричним датчиком.
Порядок виконання роботи
-
Ввімкнути прилад в електричну мережу.
-
Натиснути клавішу "Сеть" і переконатись, чи всі індикатори висвічують цифру нуль та чи світяться лампочки фотоелектричних датчиків.
-
Повертаючи ручку потенціометра "Рег.скорости" переконатись, що двигун працює і стрілка вимірювача частоти обертання його вала відхиляється.
-
З допомогою переміщування вантажу встановити важіль гіроскопа горизонтально.
-
Ввімкнути двигун і встановити частоту обертання його вала біля 6000 об/хв.
-
Змістити вантаж на 2 см вліво чи вправо.
-
Натиснути клавішу "Сброс" і після повороту гіроскопа не менше, як на 300, натиснути клавішу "Стоп".
-
Записати покази лічильників кута і часу t, а також масу переміщуваного вантажу.
Обробка результатів вимірювань
Завдання 1. Визначення кутової швидкості прецесії гіроскопа.
-
За формулою = / t вирахувати кутову швидкість прецесії гіроскопа.
-
Результат співставити зі швидкістю обертання вала двигуна.
-
Знайти абсолютну та відносну похибки вимірювання кутової швидкості прецесії.
Завдання 2. Визначення моменту імпульсу гіроскопа.
-
За формулою (8) знайти результуючий момент сил, що діє на гіроскоп.
-
Виходячи з формули (10) знайти момент імпульсу L гіроскопа.
-
Визначити абсолютну та відносну похибки вимірювання моменту імпульсу гіроскопа.
Завдання 3. Визначення моменту інерції гіроскопа.
-
Знаючи момент імпульсу гіроскопа L і частоту його обертання , вирахувати момент інерції гіроскопа.
-
Вирахувати момент інерції гіроскопа за формулою (11). Результати співставити.
-
Визначити абсолютну та відносну похибки знаходження моменту інерції гіроскопа.
Контрольні запитання
1. Момент сили і момент імпульсу тіла відносно точки та відносно осі.
2. Основні властивості гіроскопа і їх використання в техніці.
3. В чому полягає суть гіроскопічного ефекту?
4. Рівняння обертового руху твердого тіла. Основний закон динаміки обертового руху.
Лабораторна робота № 1-13
Визначення коефіцієнта тертя кочення
л.1.§§ 11, 12, 13, 14
Мета роботи: експериментальне вивчення основних закономірностей тертя кочення.
Прилади і матеріали: спеціальна установка; набір досліджуваних тіл.
Опис установки
Установка для вимірювань являє собою похилий маятник, зображений на рис.1. До підставки 2, що має чотири гвинтових ніжки, прикріплені мілісекундомір 1 та труба 3 з змонтованим на ній корпусом 4, з’єднаним через черв’ячну передачу з кронштейном 5, який має дві шкали 6 та 7. До кронштейна прикріплена колонка 8, на якій підвішується з допомогою нитки куля з водилкою 9, та є пристрій 10 для закріплення досліджуваних зразків. Фотоелектричний датчик 12 служить для підрахунку коливань маятника.