Файл: Пространственная решетка и ее свойства.doc

По величине упругая сила F_упр равна внешней силе F, приложенной вдоль верхнего основания цилиндра, площадь которого S. Поэтому напряжение сдвига (касательное напряжение):

(2)

По закону Гука (справедливому при малых напряжениях) относительный сдвиг φ пропорционален касательному напряжению:

_, (3)

где модуль сдвига для чугуна равен н/м², а для свинца н/м².

Поскольку размеры чугунного и свинцового цилиндров, и силы, приложенные к ним, одинаковы то из (2) следует равенство касательных напряжений для этих цилиндров, поэтому, используя (3):

или

,



Для абсолютного сдвига из (1) получаем соотношение:

.

Таким образом, как относительный сдвиг φ так и абсолютный сдвиг для свинцового цилиндра в 8 раз больше, чем для чугунного. Болты применяются для скрепления (стягивания) металлических конструкций, при этом, конечно же, возникает сдвиг, деформирующий болт. И чем меньше эта деформация, тем надежнее и крепче такая конструкция. Поэтому для изготовления болтов из этих двух металлов надо выбрать тот, у кого мала деформация при сдвиге, т.е. чугун.

Задача 3*

Плоская продольная упругая волна распространяется в положительном направлении оси x в среде с плотностью г/см³ и модулем Юнга E = 100Гпа. Найти проекцию скорости частиц среды в точках, где относительная деформация среды

---

.

Анализ и решение

Колебание смещений частиц в плоской произвольной упругой волне, распространяющейся в положительном направлении оси x, можно записать:

,

где ω – частота звука, k – волновое число, а - фазовая скорость звуковой волны или скорость звука.

Скорость смещения частиц в среде вдоль оси xнайдется дифференцированием функции S(x,t) по времени:

.

Относительная деформация среды будет:

.

Связь между и такова:

.

Т.к. фазовая скорость произвольных волн в упругой среде равна:

,

то для получаем:

.

Подставляя данные из условия задачи:





получаем:

.

1. 
   Какое нормальное напряжение σ_n необходимо приложить к концам алюминиевого стержня, чтобы при его нагревании на ∆Т=1К длина стержня не изменилась? Коэффициент линейного растяжения алюминия ,( модуль Юнга для алюминия Е=6,9 10¹⁰Па.
   

Решение

Согласно закону линейного теплового расширения кристаллов относительное изменение длины стержня при его нагревании на ∆Т определяется формулой

.

(3.1)

---

В соответствии с законом Гука для однородного стержня такая деформация наблюдается при приложении к концам стержня растягивающего усилия с нормальным напряжением

,

(3.2)

где Е – модуль Юнга материала стержня.

Из формул (3.1) и (3.2) следует, что для предотвращения теплового расширения стержня к его концам необходимо приложить сжимающее усилие с нормальным напряжением

Па .

(3.3)

Ответ: .

Таблица 1 – Варианты заданий для решения Пример№1

Вариант	,	∆Т=1К	Е=6,9 1010Па.
1	2,8	2	=
2	2,9	4	=
3	3	6	=
4	2,5	8	=
5	2,4	10	=
6	2,8	1	=
7	2,8	12	=
8	2,9	2	=
9	3	4	=
10	2,5	6	=
11	2,4	8	=
12	2,8	10	=
13	2,8	1	=
14	2,9	12	=

---

Вопросы к практическому занятию:

Напишите конспективно ответы на вопросы:

Вопрос 1. Какие бывают деформации?

Вопрос 2. В каких случаях закон Гука справедлив для упругих стержней?

Вопрос 3. Как направлена сила упругости?

Вопрос 4. Какую природу имеет сила упругости?

Вопрос 5. От чего зависит коэффициент жесткости k? Модуль Юнга E?

---