Файл: пензенский государственный университет политехнический институт.docx

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Диссертация

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.11.2023

Просмотров: 91

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

Содержание

Введение

Основные положения, выносимые на защиту:

Эквивалентные преобразования моделей задач линейного программирования

Анализ моделей и алгоритмов решения задач о назначениях

Анализ эквивалентных преобразований моделей задач о назначениях

Выводы

Модель и алгоритм решения задачи с приоритетными назначениями

Выводы

Алгоритм решения простейшей линейной многокритериальной задачи о назначениях Многообразие многокритериальных задач в сочетании с отсутствием единого принципа оптимальности порождает огромное число методов их решению. Использование того или иного подхода к решению конкретной задачи может оказать существенное влияние на трудоемкость вычислений. Это относится особенно к специальным классам задач, для которых при скалярном критерии качества разработаны эффективные алгоритмы, использующие специфику ограничений и критериальной функции. Одной из таких задач является задача о назначениях.В основе подавляющего большинства методов решения многокритериальных задач лежит понятие веса критерия, характеризующего его сравнительную важность. Наиболее распространенные методы решения многокритериальных задач основаны на свертке набора исходных целевых функций (с учетом их веса) в один обобщенный скалярный критерий [71]. Такой подход позволяет получить оптимальное по Парето решение и при этом характеризуется вычислительной эффективностью. Использование свертки обеспечивает возможность применения для решения многокритериальной задачи о назначениях специально разработанные для однокритериального случая методы – венгерский и метод Мака.Свертка частных критериев разного смыслового содержания не позволяет интерпретировать значение взвешенного обобщенного критерия, поэтому в общем случае использование операторов свертки требует предварительного нормирования матриц затратСl,l 1, k, т.е. приведения их к единой безразмерной шкале. Часто используемый способ нормирования – минимакс-нормализация.Предлагается следующий алгоритм решения простейшей многокритериальной линейной задачи о назначениях (70) – (75). Нормировать матрицы затрат Сl, l 1, k: cl clсl ijmin . c  cijl maxlmin Составить целевые функции безразмерными коэффициентами: f1(X), f2 (X),..., fk(X) с n nlfl(X)  сijxij, l 1, ki1 j1 Составить вектор   (1, 2,..., k)весовых коэффициентов относительной важности целевых функцийf1(X), f2 (X),..., fk(X) ,l 0 , l 1.k, l 1. В том случае, если все критерии имеют одинаковуюl1 важность,l 1, l 1.k. Составить скалярную целевую функция (обобщенный критерий) g(X)   ) ,( f1(X), f2 (X),..., fk(X),где  – оператор свертки. Перейти к однокритериальной задаче о назначениях вида g(X)  min, (76) n xij 1, j 1, n,i1 (77) n xij 1, i 1, n,j1 (78) xij{0,1}, i, j 1, n. (79) Решить задачу (76) – (79) венгерским методом или методом Мака. Результатом является получение решения, оптимального по Парето. Решая задачу многократно и с изменением весовых коэффициентов, можно получить множество Парето-оптимальных решений. Вид свертки в каждом конкретном случае отражает приемлемую для ЛПР форму компромисса между частными критериями. Наиболее часто используемыми свертками являются линейная свертка, мультипликативная свертка и свертка на основе отклонения от идеальной точки. 1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   21

Решение простейшей линейной многокритериальной задачи о назначениях с использованием свертки на основе отклонения от идеальной точки Под идеальной точкой в многокритериальной задаче о назначениях вида (71) – (76) понимают такой векторF*(X)  Rk, компоненты которого являются минимумами целевых функцийf1(X), f2 (X),..., fk(X) по отдельности, т.е.fl*(X)  min fl(X),XDl 1, k. В практических задачах идеальная точка является недостижимой [73]. Свертка на основе идеальной точкиF*(X)имеет вид: g(X)  (F(X), F*(X)) , где  – некоторая метрика вRk. Наиболее часто используются взвешенная чебышевская метрика g(X)  maxlfl(X)  fl* l (80) и взвешенная евклидова метрика kg(X)  ( fl(X)  fl*)2.l1 (81) Предлагается следующий алгоритм составления обобщенного скалярного критерия на основе идеальной точки: составить kоднокритериальных задач о назначениях вида n nlfl(X)  cijxij min,i1 j1n (82)  xij 1, j 1, n,i1n (83)  xij 1, i  1, n,j1 (84) xij{0,1}, i, j 1, n, (85) гдеl 1,k; найти X * – оптимальное решение l-й задачи вида (82) – (84) и lfl*  fl(X*) , l 1, k; lсоставить вектор F*(X)  ( f*, f*,..., f*) , гдеfl*  fl(X*) , l 1, k;1 2 k lсоставить свертку на основе отклонения от идеальной точки по формуле (80) или (81). Разработана программа для нахождения решения многокритериальной линейной задачи о назначениях с использованием свертки на основе отклонения от идеальной точки средствами математического пакета Mathcad, полный текст которой представлен в приложении E. На рисунке 20 приведены результаты применения свертки на основе отклонения от идеальной точки к многокритериальной задаче о назначениях, исходные данные которой совпадают с исходными данными задачи, решенной с использованием линейной свертки: Рисунок 20 – Результаты решения многокритериальной линейной задачи о назначениях с использованием свертки на основе отклонения от идеальной точки На рисунке 20 представлены матрица X – оптимальное по Парето решение, полученное с использованием чебышевской метрики, и матрица Y – оптимальное по Парето решение, полученное с использованием евклидовой метрики. Также программа находит для каждого оптимального по Парето решения значения соответствующего ему критериального вектора. Применяя алгоритм многократно с изменением весовых коэффициентов, можно построить множество точек Парето. Выбор конкретного решения из множества Парето-оптимальных осуществляется ЛПР.Следует отметить, что в некоторых прикладных задачах ЛПР за идеальную точку может принять реальное решение, соответствующее некоторым принятым стандартам или планируемым значениям. 1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   21

Модель и алгоритм решения многокритериальной задачи о назначениях с целевыми функциями противоположного направления

Модель и алгоритм решения многокритериальной открытой задачи о назначениях Обобщим открытую задачу о назначениях на случай многокритериальности. Математическая модель такой задачи в предположенииm nимеет вид:

Модель и алгоритм решения многокритериальной задачи с порядком назначений Обобщим задачу с порядком назначений на случай многокритериальности. Математическая модель такой задачи имеет вид:nn f1(X)  c1 x min,(121) ijiji1 j1… nn k(X)  ckx min,n (122)  xij 1,n j 1, n, (123)  xij 1, i  1, n, (124) {0,1}, i1, n, j 1, n, , i1, n, j h1, n, j*  1, h. (126) f xij гдеP {1,2,.., h}пр.(i, j)  (i, j*)– подмножество индексов работ, распределяемых в первую очередь.В главе 2 показано, что однокритериальная задача с порядком назначений эквивалента совокупности двух последовательно решаемых задач – открытой и с недопустимыми назначениями. Аналогично, многокритериальная задача с порядком назначений эквивалента совокупности двух последовательно решаемых задач – многокритериальной открытой задаче и многокритериальной задаче с недопустимыми назначениями. Следовательно, можно описать алгоритм решения многокритериальной задачи с порядком назначений. Нормировать матрицы затрат Сl, l 1, k: cl clсl ijmin . c  cijl maxlmin Найти размер штрафа Ml 2n. Построить математическую модель назначения на работы из множества P :

Выводы

Заключение

Список использованных источников


l– весовые коэффициенты,

l 1.k.

Выбор между линейной и мультипликативной свертками определяется предпочтительностью ЛПР абсолютных или относительных компенсаций изменений значений частных критериев. Мультипликативная свертка используется в случае, когда целесообразной считается относительная компенсация изменения значений целевых функций. В этом случае полагают справедливым такой компромисс, при котором суммарный уровень относительного снижения значений одного или нескольких частных

критериев не превышает суммарного уровня относительного увеличения значений других частных критериев [72].

Текст программы для нахождения решения простейшей многокритериальной линейной задачи о назначениях методом мультипликативной свертки критериев в пакете «Mathcad» приведен в листинге 4.

Листинг 4 – Решение линейной многокритериальной задачи о назначениях с использованием мультипликативной свертки




Для любого допустимого вектора весов

(1, 2,..., k)

результатом


применения мультипликативной свертки является получение решения, оптимального по Парето. На рисунке 19 приведены результаты применения мультипликативной свертки к многокритериальной задаче о назначениях, исходные данные которой совпадают с исходными данными задачи, решенной с использованием линейной свертки.


Рисунок 19 – Результаты решения многокритериальной линейной задачи о назначениях с использованием мультипликативной свертки
В целом, мультипликативная свертки обладает теми же недостатками, что и линейная. При этом оператор мультипликативной свертки более чувствителен к значениям целевых функций в том смысле, что низкое (высокое) значение хотя бы одного частного критерия, как правило, влечет резкое снижение (увеличение) значения обобщенного. Кроме того, из формулы мультипликативного оператора следует, что если хотя бы один частный критерий принимает нулевое значение, то итоговое значение свертки также становится равным нулю. Данное свойство обычно интерпретируют следующим образом: решение, при котором достигается нулевое значение хотя бы одному частному критерию, следует считать недопустимым с точки зрения ЛПР в целом. Эта особенность определяет применение мультипликативной свертки в задачах, частные критерии которых критично значимы, взаимосвязаны и взаимозависимы.
    1. 1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   21

Решение простейшей линейной многокритериальной задачи о назначениях с использованием свертки на основе отклонения от

идеальной точки



Под идеальной точкой в многокритериальной задаче о назначениях


вида (71) – (76) понимают такой вектор

F*(X) Rk, компоненты которого


являются минимумами целевых функций

f1(X), f2 (X),..., fk(X) по

отдельности, т.е.

fl*(X) min fl(X),

XD

l 1, k. В практических задачах

идеальная точка является недостижимой [73].


Свертка на основе идеальной точки

F*(X)

имеет вид:


g(X) (F(X), F*(X)) ,


где – некоторая метрика в

Rk.

Наиболее часто используются взвешенная чебышевская метрика

g(X) maxlfl(X) fl*

l

(80)

и взвешенная евклидова метрика

k

g(X) ( fl(X) fl*)2.

l1
(81)

Предлагается следующий алгоритм составления обобщенного скалярного критерия на основе идеальной точки:

  1. составить kоднокритериальных задач о назначениях вида




n nl

fl(X) cijxij min,

i1 j1
n
(82)

xij 1, j 1, n,

i1

n
(83)

xij 1, i 1, n,

j1
(84)

xij{0,1}, i, j 1, n,
(85)




где

l 1,k;

  1. найти

X * – оптимальное решение l-й задачи вида (82) – (84) и



l
fl*

fl(X*) , l 1, k;


  1. l
    составить вектор


F*(X) ( f*, f*,..., f*) ,


где



fl* fl(X*) , l 1, k;

1 2 k


  1. l
    составить свертку на основе отклонения от идеальной точки по формуле (80) или (81).

Разработана программа для нахождения решения многокритериальной линейной задачи о назначениях с использованием свертки на основе отклонения от идеальной точки средствами математического пакета Mathcad, полный текст которой представлен в приложении E. На рисунке 20 приведены результаты применения свертки на основе отклонения от идеальной точки к многокритериальной задаче о назначениях, исходные данные которой совпадают с исходными данными задачи, решенной с использованием линейной свертки:



Рисунок 20 – Результаты решения многокритериальной линейной задачи о назначениях с использованием свертки на основе отклонения от идеальной точки

На рисунке 20 представлены матрица X – оптимальное по Парето решение, полученное с использованием чебышевской метрики, и матрица Y – оптимальное по Парето решение, полученное с использованием евклидовой метрики. Также программа находит для каждого оптимального по Парето решения значения соответствующего ему критериального вектора. Применяя алгоритм многократно с изменением весовых коэффициентов, можно построить множество точек Парето. Выбор конкретного решения из множества Парето-оптимальных осуществляется ЛПР.

Следует отметить, что в некоторых прикладных задачах ЛПР за идеальную точку может принять реальное решение, соответствующее некоторым принятым стандартам или планируемым значениям.
    1. 1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   21

Модель и алгоритм решения многокритериальной задачи о назначениях с целевыми функциями противоположного направления


Обобщим задачу о назначениях с целевой функцией на максимум на случай многокритериальности. В результате получим многокритериальную задачу о назначениях, в которой целевые функции имеют разное направление. Математическая модель такой задачи имеет вид:

nn

f1(X) c1 x max,

ijij

i1 j1
(86)

…



nn

fm(X) cmxijmax,

ij

i1 j1

(87)

nn

fm1(X) cm1xij min,

ij

i1 j1

(88)

…



nn

fk(X) ckx min,

ijij

i1 j1
n
(89)

xij 1, j 1, n,
(90)

i1



xij


n

1, i 1, n,
(91)

, i, j 1, n.
(92)



j1



xij{0,1}

Без ограничения общности можно считать, что в задаче (86) – (92)

первые mцелевых функций стремятся к максимуму, а последующие

k m–

к минимуму. Очевидно, этого всегда можно добиться за счет переупорядочения целевых функций.

Данную задачу можно свести к простейшей линейной многокритериальной задаче с помощью следующего эквивалентного преобразования:

  1. в каждой строке матрицы элемент

Сs,

s 1, m

найти наибольший

maxs max cs,

ijij


j 1, n;


  1. перейти к матрицам

Qs,

s 1, m, построенным по правилу:

qs maxs cs,

i1, n,

j 1, n.

ijiij
Результатом применения преобразования является переход к простейшей линейной многокритериальной задачи о назначениях вида:

nn

1(X)  q1 x min,

ijij

i1 j1
(93)

…



nn

m(X) qmxij min,

ij

i1 j1

(94)

nn

m1(X) cm1xij min,

ij

i1 j1

(95)

…



nn

k(X) ckx min,

ijij

i1 j1
n

(96)

xij 1, j 1, n,
(97)

i1

Смотрите также файлы