Файл: пензенский государственный университет политехнический институт.docx

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Диссертация

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.11.2023

Просмотров: 221

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

Содержание

Введение

Основные положения, выносимые на защиту:

Эквивалентные преобразования моделей задач линейного программирования

Анализ моделей и алгоритмов решения задач о назначениях

Анализ эквивалентных преобразований моделей задач о назначениях

Выводы

Модель и алгоритм решения задачи с приоритетными назначениями

Выводы

Алгоритм решения простейшей линейной многокритериальной задачи о назначениях Многообразие многокритериальных задач в сочетании с отсутствием единого принципа оптимальности порождает огромное число методов их решению. Использование того или иного подхода к решению конкретной задачи может оказать существенное влияние на трудоемкость вычислений. Это относится особенно к специальным классам задач, для которых при скалярном критерии качества разработаны эффективные алгоритмы, использующие специфику ограничений и критериальной функции. Одной из таких задач является задача о назначениях.В основе подавляющего большинства методов решения многокритериальных задач лежит понятие веса критерия, характеризующего его сравнительную важность. Наиболее распространенные методы решения многокритериальных задач основаны на свертке набора исходных целевых функций (с учетом их веса) в один обобщенный скалярный критерий [71]. Такой подход позволяет получить оптимальное по Парето решение и при этом характеризуется вычислительной эффективностью. Использование свертки обеспечивает возможность применения для решения многокритериальной задачи о назначениях специально разработанные для однокритериального случая методы – венгерский и метод Мака.Свертка частных критериев разного смыслового содержания не позволяет интерпретировать значение взвешенного обобщенного критерия, поэтому в общем случае использование операторов свертки требует предварительного нормирования матриц затратСl,l 1, k, т.е. приведения их к единой безразмерной шкале. Часто используемый способ нормирования – минимакс-нормализация.Предлагается следующий алгоритм решения простейшей многокритериальной линейной задачи о назначениях (70) – (75). Нормировать матрицы затрат Сl, l 1, k: cl clсl ijmin . c  cijl maxlmin Составить целевые функции безразмерными коэффициентами: f1(X), f2 (X),..., fk(X) с n nlfl(X)  сijxij, l 1, ki1 j1 Составить вектор   (1, 2,..., k)весовых коэффициентов относительной важности целевых функцийf1(X), f2 (X),..., fk(X) ,l 0 , l 1.k, l 1. В том случае, если все критерии имеют одинаковуюl1 важность,l 1, l 1.k. Составить скалярную целевую функция (обобщенный критерий) g(X)   ) ,( f1(X), f2 (X),..., fk(X),где  – оператор свертки. Перейти к однокритериальной задаче о назначениях вида g(X)  min, (76) n xij 1, j 1, n,i1 (77) n xij 1, i 1, n,j1 (78) xij{0,1}, i, j 1, n. (79) Решить задачу (76) – (79) венгерским методом или методом Мака. Результатом является получение решения, оптимального по Парето. Решая задачу многократно и с изменением весовых коэффициентов, можно получить множество Парето-оптимальных решений. Вид свертки в каждом конкретном случае отражает приемлемую для ЛПР форму компромисса между частными критериями. Наиболее часто используемыми свертками являются линейная свертка, мультипликативная свертка и свертка на основе отклонения от идеальной точки. 1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   21

Решение простейшей линейной многокритериальной задачи о назначениях с использованием свертки на основе отклонения от идеальной точки Под идеальной точкой в многокритериальной задаче о назначениях вида (71) – (76) понимают такой векторF*(X)  Rk, компоненты которого являются минимумами целевых функцийf1(X), f2 (X),..., fk(X) по отдельности, т.е.fl*(X)  min fl(X),XDl 1, k. В практических задачах идеальная точка является недостижимой [73]. Свертка на основе идеальной точкиF*(X)имеет вид: g(X)  (F(X), F*(X)) , где  – некоторая метрика вRk. Наиболее часто используются взвешенная чебышевская метрика g(X)  maxlfl(X)  fl* l (80) и взвешенная евклидова метрика kg(X)  ( fl(X)  fl*)2.l1 (81) Предлагается следующий алгоритм составления обобщенного скалярного критерия на основе идеальной точки: составить kоднокритериальных задач о назначениях вида n nlfl(X)  cijxij min,i1 j1n (82)  xij 1, j 1, n,i1n (83)  xij 1, i  1, n,j1 (84) xij{0,1}, i, j 1, n, (85) гдеl 1,k; найти X * – оптимальное решение l-й задачи вида (82) – (84) и lfl*  fl(X*) , l 1, k; lсоставить вектор F*(X)  ( f*, f*,..., f*) , гдеfl*  fl(X*) , l 1, k;1 2 k lсоставить свертку на основе отклонения от идеальной точки по формуле (80) или (81). Разработана программа для нахождения решения многокритериальной линейной задачи о назначениях с использованием свертки на основе отклонения от идеальной точки средствами математического пакета Mathcad, полный текст которой представлен в приложении E. На рисунке 20 приведены результаты применения свертки на основе отклонения от идеальной точки к многокритериальной задаче о назначениях, исходные данные которой совпадают с исходными данными задачи, решенной с использованием линейной свертки: Рисунок 20 – Результаты решения многокритериальной линейной задачи о назначениях с использованием свертки на основе отклонения от идеальной точки На рисунке 20 представлены матрица X – оптимальное по Парето решение, полученное с использованием чебышевской метрики, и матрица Y – оптимальное по Парето решение, полученное с использованием евклидовой метрики. Также программа находит для каждого оптимального по Парето решения значения соответствующего ему критериального вектора. Применяя алгоритм многократно с изменением весовых коэффициентов, можно построить множество точек Парето. Выбор конкретного решения из множества Парето-оптимальных осуществляется ЛПР.Следует отметить, что в некоторых прикладных задачах ЛПР за идеальную точку может принять реальное решение, соответствующее некоторым принятым стандартам или планируемым значениям. 1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   21

Модель и алгоритм решения многокритериальной задачи о назначениях с целевыми функциями противоположного направления

Модель и алгоритм решения многокритериальной открытой задачи о назначениях Обобщим открытую задачу о назначениях на случай многокритериальности. Математическая модель такой задачи в предположенииm nимеет вид:

Модель и алгоритм решения многокритериальной задачи с порядком назначений Обобщим задачу с порядком назначений на случай многокритериальности. Математическая модель такой задачи имеет вид:nn f1(X)  c1 x min,(121) ijiji1 j1… nn k(X)  ckx min,n (122)  xij 1,n j 1, n, (123)  xij 1, i  1, n, (124) {0,1}, i1, n, j 1, n, , i1, n, j h1, n, j*  1, h. (126) f xij гдеP {1,2,.., h}пр.(i, j)  (i, j*)– подмножество индексов работ, распределяемых в первую очередь.В главе 2 показано, что однокритериальная задача с порядком назначений эквивалента совокупности двух последовательно решаемых задач – открытой и с недопустимыми назначениями. Аналогично, многокритериальная задача с порядком назначений эквивалента совокупности двух последовательно решаемых задач – многокритериальной открытой задаче и многокритериальной задаче с недопустимыми назначениями. Следовательно, можно описать алгоритм решения многокритериальной задачи с порядком назначений. Нормировать матрицы затрат Сl, l 1, k: cl clсl ijmin . c  cijl maxlmin Найти размер штрафа Ml 2n. Построить математическую модель назначения на работы из множества P :

Выводы

Заключение

Список использованных источников






xij


n

1, i 1, n,
(98)

, i, j 1, n.
(99)



j1



xij{0,1}

Модели (86) – (92) и (93) – (99) эквивалентны друг другу. Отсюда можно сформулировать алгоритм решения многокритериальной задачи о назначениях с целевыми функциями противоположного направления.

  1. Применить к модели (86) – (92) эквивалентное преобразование направления целевых функций. Результатом является получение простейшей линейной многокритериальной модели вида (93) – (99).

  2. Решить задачу (93) – (99) с использованием алгоритма решения простейшей линейной многокритериальной задачи о назначениях.

Данный алгоритм основан на обобщении алгоритма решения однокритериальной задачи о назначениях на максимум на случай многокритериальности. Следует отметить, что целевые функции задачи (93) – (99) в результате применения первых двух шагов вышеприведенного алгоритма будут иметь разное смысловое содержание, поэтому условием успешного применения свертки является обязательное нормирование матриц затрат.
    1. 1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   21

Модель и алгоритм решения многокритериальной открытой задачи о назначениях


Обобщим открытую задачу о назначениях на случай многокритериальности. Математическая модель такой задачи в

предположении

m n

имеет вид:




mn

f1(X) c1 x min,

ijij

i1 j1
(100)

…



mn

fk (X) ckx min,

ijij

i1 j1

(101)

m

xij 1, j 1, n,

i1

(102)




n

xij 1, i 1, m,

j1
(103)

xij{0,1} , i 1, m, j 1, n.
(104)


Однокритериальная открытая задача о назначениях решается путем приведения к закрытой форме, для чего матрицу затрат дополняют нулями до квадратной. Используя данный подход применительно к многокритериальной открытой задаче о назначениях
, можно привести ее к задаче вида (70) – (75), которая решается с помощью свертки набора частных целевых функций в один обобщенный скалярный критерий. Здесь следует заметить, что в результате приведения к закрытой форме многокритериальной задачи о назначениях минимальный элемент во всех

матрицах затрат

Сl,


l 1, k

будет равен нулю. Поэтому приведение матриц

затрат к единому безразмерному виду должно осуществляться до приведения к закрытой форме. Таким образом, эквивалентное преобразование многокритериальной открытой задачи о назначениях в простейшую линейную многокритериальную задачу имеет вид:




  1. нормировать матрицы затрат Сl, l 1, k:

cl cl

сl ijmin ;


c
c
ijl

max

l

min

  1. привести задачу к закрытой модели, для чего:

а) найти

p max{m, n};


б) задать kматриц затрат Qk

(qk)
p p

следующим образом:


ij
ck, i 1, m, j 1, n;

ij



qk 0,

ij

i 1, p, j n 1, p,

еслиm n;



0,



i m 1, p,

j 1, p,

еслиm n.

Результатом является переход к простейшей линейной многокритериальной задачи о назначениях вида:

pp

1(X) q1 x min,

ijij

i1 j1
(105)



…



pp

k(X) qkx min,

ijij

i1 j1

(106)

p

xij 1, j 1, p,

i1

(107)

p

xij 1, i 1, p,

j1

(108)

xij{0,1}, i, j 1, p.
(109)


Модели (100) – (104) и (105) – (109) эквивалентны друг другу. Отсюда можно сформулировать алгоритм решения многокритериальной открытой задачи о назначениях.

  1. Применить к модели (100) – (104) эквивалентное преобразование прямоугольных матриц затрат в квадратные. Результатом является получение простейшей линейной многокритериальной модели вида (105) – (109).

  2. Решить задачу (105) – (109) с использованием алгоритма решения простейшей линейной многокритериальной задачи о назначениях, начиная с шага 2.

  3. В полученном Парето-оптимальном решении выделить


подматрицу (xij) , i 1, m,

j 1, n.

Таким образом, используя алгоритм решения однокритериальной открытой задачи о назначениях, можно свести данную задачу к многокритериальной линейной задаче о назначения и тем самым найти решение, оптимальное по Парето.

Смотрите также файлы