Файл: Методические указания по выполнению лабораторной работы Хабаровск Издательство двгупс 2002 удк 517. 518. 87 (075. 8) Ббк в 191. 1я73.doc

, получаем систему уравнений для определения параметров .



Если система имеет единственное решение, то оно будет искомым.

В качестве приближающей функции в инженерных и экономических расчётах часто используется многочлен:



Если , то аппроксимирующий полином совпадает с полиномом Лагранжа ( при этом ).

Если зависимость близка к периодической, то аппроксимация может быть задана тригонометрическим многочленом.

Если эмпирическая формула выбрана в виде показательной функции , в виде степенной , или в виде логарифмической , то искомыми являются только два параметра.

Формула, полученная методом наименьших квадратов, называется уравнением регрессии, а соответствующая кривая – линией регрессии. Если в результате вычислений получено уравнение прямой линии, то регрессия называется линейной, в противном случае – нелинейной.

Исходные данные могут носить самый разнообразный характер и относиться к различным отраслям науки или техники, например:

1) зависимость продолжительности службы электрических ламп от поданного на них напряжения ;

2) зависимость пробивного напряжения конденсаторов от температуры окружающей среды ;

3) зависимость предела прочности стали

---

от содержания углерода ;

4) зависимость показателей безработицы и инфляции ;

5) зависимость цен товара от спроса на этот товар;

6) зависимость частного потребления от располагаемого дохода ;

и другие зависимости.

---

5. НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ В СЛУЧАЕ ЗАДАНИЯ ЭМПИРИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЫ В ВИДЕ МНОГОЧЛЕНА ИЛИ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ.

Пусть в качестве аппроксимирующей функции выбран многочлен степени :



Тогда сумма квадратов отклонений примет вид:

,

а неизвестные параметры будут определяться системой уравнений:



Если приближающая функция выбрана в виде показательной функции , то выражение можно светсти к линейному, логарифмируя левую и правую части равенства:

или .

После введения обозначений: , ; , функция записывается как линейная по аргументу :



Сумма отклонений определяется формулой:

,

а коэффициенты и находятся из решения системы:



после чего осуществляется обратный переход к параметрам

---

и .

Аналогично можно поступать и в тех случаях, когда в качестве аппроксимирующей функции выбраны, например, гипербола или логарифмическая функция .

6. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ АППРОКСИМИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ.

Пусть функция задана таблицей 3.1. Требуется построить методом наименьших квадратов функцию, приближающую табличную наилучшим образом. Для удобства обозначений изменим нумерацию исходных данных и будем считать, что ; ; ; ; ; ; ; ; . Сделаем предположение относительно характера аппроксимирующуей функции, рассмотрев расположение точек, заданных таблицей, на графике (рис. 1.).


По характеру расположения точек на графике можно выдвинуть предположение о линейной квадратичной или показательной зависимости величин. Рассмотрим все три предположения.

Случай 1. Будем искать приближающую функцию в виде линейной функции .

Сумма мер отклонений

---

, где ; - число измерений. Найдём неизвестные коэффициенты из системы:



После преобразования система принимает вид:

… (1)

Составим вспомогательную таблицу
Таблица 6.1.

	0	10	0	0
	25	9,1	625	227,5
	50	8,7	2500	435
	75	5,6	5625	420
	100	2,5	10000	250
	250	35,9	18750	1332,5

Подставив данные из таблицы 6.1 в систему (1), получим:



откуда , а уравнение линейной функции

---