Файл: Квадратичные формы учебные вопросы.pptx

О.1.1. Квадратичной формой называется отображение А:V Р, которое каждому вектору хV ставит в соответствие число А(х,х), т.е. сужение симметричной билинейной формы на диагональ (декартова квадрата VV).

Обозначение: А(х,х), А(х), f.

Т.1.1. Полярная билинейная форма для любой квадратичной формы определена однозначно.

Т.1.1. вытекает из того, что если А(х,у) – полярная билинейная форма для квадратичной формы А(х,х), то для любых векторов х,уV:

Пример 1. Записать квадратичную форму, соответствующую данной билинейной форме

Решение

Представление квадратичной формы в конечномерном линейном пространстве

Пусть в n-мерном линейном пространстве V выбран произвольный базис е = e1,e2,…,en и задана симметричная билинейная форма А(х,у), полярная к квадратичной форме А(х,х).

Билинейную форму А(х,у) можно представить в виде:

(1)

где xi и уj – координаты в базисе e векторов х и у соответственно (i = 1,2,…,n, j = 1,2,…,n).

Полагая в (1) х = у (т.е. хj = уj), получим следующее представление для квадратичной формы А(х,х) в n-мерном линейном пространстве V с заданным базисом е:

(2)

где aij = aji; xi и хj – координаты вектора х в базисе e.

Замечание. Квадратичную форму А(х,х) вида (2) можно рассматривать как многочлен от n переменных х1,х2,…,хn с действительными коэффициентами aij, каждый член которого имеет вторую степень, т.е. как многочлен вида

(3)

Выражение (3) называется квадратичной формой от переменных х1,х2,…,хn.

О.1.2. Матрицей квадратичной формы А(х,х)

называется матрица

полярной к ней симметричной билинейной формы А(х,у).

Свойства квадратичных форм

Свойство 1. Матрица квадратичной формы является симметричной.

Свойство 2. Существует взаимно однозначное соответствие между квадратичными формами в пространстве V(Р) и симметричными матрицами из Рnn.

Свойство 3. Матрицы квадратичной формы в базисах е и е пространства V связаны соотношением

где Т – матрица перехода от базиса е к базису е.

В = ТТАТ для некоторой невырожденной матрицы Т, называются конгруэнтными.

Отношение конгруэнтности – отношение эквивалентности на множестве матриц одного порядка.

Вывод: Матрицы квадратичной формы А(х,х) в базисах е и е пространства V конгруэнтны, а если е и е – ортонормированные базисы, то эти матрицы подобны.

может быть записана в матричной форме:

(4)

где Хе – столбец координат вектора х в базисе е.

Представление квадратичной формы в виде (2) или (4) называется общим видом квадратичной формы А(х,х) в базисе е.

или

Свойство 5. Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы в произвольном базисе. Обозначение: rang А(х,х).

Очевидно, что rang А(х,у) = rang А(х,х).

rang А(х,х) = dim V (rang А(х,у)  dim V)

Пример 2. Найти матрицу и ранг квадратичной формы. Записать матричное представление данной формы:

Решение

Матрица

квадратичной

формы:

 квадратичная форма

является вырожденной.

Матричное представление:

Вопрос 2. Преобразование квадратичной формы при линейном преобразовании переменных

Рассмотрим методы выбора такого базиса в линейном пространстве, в котором квадратичная форма имеет наиболее простой вид.

Линейное преобразование переменных

О.2.1. Переход от упорядоченной системы n переменных у1,у2,…,уn к упорядоченной системе n переменных х1,х2,…,хn по формулам

(5)

где называется линейным

преобразованием переменных у1,у2,…,уn в переменные х1,х2,…,хn. Числа рij называются коэффициентами линейного преобразования (5).

Х = РУ, (6)

где

Квадратная матрица Р, составленная из коэффициентов рij линейного преобразования (5), называется матрицей этого линейного преобразования.

О.2.2. Если Р – невырожденная матрица (Р  0), то линейное преобразование (6) называется невырожденным.

В этом случае существует обратное преобразование переменных х1,х2,…,хn в

переменные у1,у2,…,уn:

О.2.3. Если Р – вырожденная матрица ((Р = 0), то линейное преобразование (6) называется вырожденным.

Х = РУ

задано еще одно линейное преобразование переменных:

У = RZ (7)

с матрицей переводящее переменные z1,z2,…,zn в переменные у1,у2,…,уn.

Из (6) и (7) получаем

Х = (РR)Z. (8)

Итак:

формула (6) выражает переменные х1,х2,…,хn через переменные у1,у2,…,уn;
формула (7) выражает переменные у1,у2,…,уn через переменные z1,z2,…,zn;
формула (8) выражает переменные х1,х2,…,хn через переменные z1,z2,…,zn.

произведения линейных преобразований

РR

Замечание. Произведение двух невырожденных линейных преобразований – невырожденное линейное преобразование.

Преобразование квадратичных форм при линейном преобразовании переменных

Пусть в n-мерном линейном пространстве V дана квадратичная форма

(9)

с матрицей А. Применим к ее переменным х1,х2,…,хn невырожденное линейное преобразование переменных (6) с матрицей Р, т.е. преобразование Х = РУ.

(10)

Из (10) следует, что матрицей квадратичной формы g(у1,у2,…,уn) является матрица

(11)

которая так же симметричная.

О.2.4. Две квадратичные формы f и g называются эквивалентными, если одна из них переводится в другую посредством невырожденного линейного преобразования переменных.

Обозначение: f  g.

rang B = rang A,

т.е. ранг матрицы квадратичной формы не меняется при невырожденном линейном преобразовании переменных.

Замечание.

1. Переход к новым переменным с помощью невырожденного линейного преобразования означает переход к новому базису в линейном пространстве. Верно и обратное: изменение базиса в линейном пространстве приводит к линейному преобразованию переменных с невырожденной матрицей. 2. Эквивалентную квадратичную форму g(у1,у2,…,уn) в новых переменных у1,у2,…,уn следует рассматривать как квадратичную форму f(х1,х2,…,хn) в новом базисе. В связи с этим вместо g(у1,у2,…,уn) записывают f(у1,у2,…,уn).

3. Матрица В вида (11) – матрица квадратичной формы f (9) в новом базисе.

преобразовать к новым переменным у1,у2,у3, где

Решение

1. Составим матрицу квадратичной формы f:

3. Найдем матрицу квадратичной формы f в новом базисе по формуле

где

4. Запишем вид квадратичной формы f в новом базисе:

Вопрос 3. Канонический вид квадратичной формы

О.3.1. Квадратичная форма f(х1,х2,…,хn), содержащая только квадраты переменных, называется квадратичной формой канонического вида:

(12)

Числа i (i =1,2,…,n) в выражении (12) называются каноническими коэффициентами квадратичной формы.

О.2.2. Базис пространства, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется каноническим базисом квадратичной формы.

Замечание.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду может осуществляться различными способами, поэтому канонический вид и канонический базис квадратичной формы определяются неоднозначно.
В любом каноническом виде квадратичной формы число ненулевых канонических коэффициентов (слагаемых) постоянно и равно рангу квадратичной формы.

Т.3.1.

Вопрос 4. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа

Жозе́ф Луи́ Лагра́нж (1736 -1813) французский математик, астроном и механик итальянского

происхождения. Крупнейший математик XVIII века. Особенно прославился исключительным мастерством в области обобщения и синтеза накопленного научного материала. Автор классического трактата «Аналитическая механика», в котором установил фундаментальный «принцип возможных перемещений» и завершил математизацию механики. Внёс огромный вклад в математический анализ, теорию чисел, в теорию вероятностей и численные методы, создал вариационное исчисление.

Одним из методов приведения квадратичных форм к каноническому виду является метод Лагранжа, основная идея которого состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов по каждой переменной.
Для выделения полного квадрата по переменной хi необходимо, чтобы в квадратичной форме присутствовало слагаемое с квадратом этой переменной. Если в квадратичной форме членов с квадратами переменных нет, то выполняют специальное невырожденное линейное преобразование переменных так, чтобы в квадратичной форме появились члены с квадратами переменных.

1. Пусть в квадратичной форме

(13)

нет членов с квадратами переменных (все аii = 0), но она содержит хотя бы одно попарное произведение переменных (для некоторых номеров i и j коэффициент аij ≠ 0).

получим, что член 2aijxixj квадратичной формы (13) примет вид

т.е. в квадратичной форме появятся члены с квадратами переменных уi и уj, причем они не могут сократиться с другими членами квадратичной формы (в каждый другой ее член входит уk

Смотрите также файлы

Клиническая фармакология антигистаминных препаратов Историческая справка.pptx

Контрольная работа по дисциплине Математика Семестр 1 Вариант 1 студент гр. Иб360821.docx

Биография Игоря Чапурина 1шдд21, Пирожков Даниил.pptx

Правила являются обязательными для исполнения. Основные правила.doc

оршаан орта Малімні атыжні.doc