Файл: Квадратичные формы учебные вопросы.pptx

СОДЕРЖАНИЕ

§2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Учебные вопросы

Вопрос 1. Определение квадратичной формы

Пусть А(х,у) – симметричная билинейная форма в пространстве V над полем Р.

Обозначение: А(х,х), А(х), f.

Т.1.1. Полярная билинейная форма для любой квадратичной формы определена однозначно.

Т.1.1. вытекает из того, что если А(х,у) – полярная билинейная форма для квадратичной формы А(х,х), то для любых векторов х,уV:

Пример 1. Записать квадратичную форму, соответствующую данной билинейной форме

Решение

Представление квадратичной формы в конечномерном линейном пространстве

Билинейную форму А(х,у) можно представить в виде:

(1)

где xi и уj – координаты в базисе e векторов х и у соответственно (i = 1,2,…,n, j = 1,2,…,n).

(2)

где aij = aji; xi и хj – координаты вектора х в базисе e.

(3)

Выражение (3) называется квадратичной формой от переменных х1,х2,…,хn.

О.1.2. Матрицей квадратичной формы А(х,х)

называется матрица

полярной к ней симметричной билинейной формы А(х,у).

Свойства квадратичных форм

Свойство 1. Матрица квадратичной формы является симметричной.

Свойство 2. Существует взаимно однозначное соответствие между квадратичными формами в пространстве V(Р) и симметричными матрицами из Рnn.

Свойство 3. Матрицы квадратичной формы в базисах е и е пространства V связаны соотношением

где Т – матрица перехода от базиса е к базису е.

В = ТТАТ для некоторой невырожденной матрицы Т, называются конгруэнтными.

Отношение конгруэнтности – отношение эквивалентности на множестве матриц одного порядка.

может быть записана в матричной форме:

(4)

где Хе – столбец координат вектора х в базисе е.

Представление квадратичной формы в виде (2) или (4) называется общим видом квадратичной формы А(х,х) в базисе е.

или

Свойство 5. Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы в произвольном базисе. Обозначение: rang А(х,х).

Очевидно, что rang А(х,у) = rang А(х,х).

rang А(х,х) = dim V (rang А(х,у)  dim V)

Пример 2. Найти матрицу и ранг квадратичной формы. Записать матричное представление данной формы:

Решение

Матрица

квадратичной

формы:

 квадратичная форма

является вырожденной.

Матричное представление:

Вопрос 2. Преобразование квадратичной формы при линейном преобразовании переменных

Рассмотрим методы выбора такого базиса в линейном пространстве, в котором квадратичная форма имеет наиболее простой вид.

Линейное преобразование переменных

О.2.1. Переход от упорядоченной системы n переменных у1,у2,…,уn к упорядоченной системе n переменных х1,х2,…,хn по формулам

(5)

где называется линейным

преобразованием переменных у1,у2,…,уn в переменные х1,х2,…,хn. Числа рij называются коэффициентами линейного преобразования (5).

Х = РУ, (6)

где

Квадратная матрица Р, составленная из коэффициентов рij линейного преобразования (5), называется матрицей этого линейного преобразования.

О.2.2. Если Р – невырожденная матрица (Р  0), то линейное преобразование (6) называется невырожденным.

В этом случае существует обратное преобразование переменных х1,х2,…,хn в

переменные у1,у2,…,уn:

О.2.3. Если Р – вырожденная матрица ((Р = 0), то линейное преобразование (6) называется вырожденным.

Х = РУ

задано еще одно линейное преобразование переменных:

У = RZ (7)

с матрицей переводящее переменные z1,z2,…,zn в переменные у1,у2,…,уn.

Из (6) и (7) получаем

Х = (РR)Z. (8)

Итак:

Итак:

Замечание. Произведение двух невырожденных линейных преобразований – невырожденное линейное преобразование.

Преобразование квадратичных форм при линейном преобразовании переменных

Пусть в n-мерном линейном пространстве V дана квадратичная форма

(9)

с матрицей А. Применим к ее переменным х1,х2,…,хn невырожденное линейное преобразование переменных (6) с матрицей Р, т.е. преобразование Х = РУ.

(10)

Из (10) следует, что матрицей квадратичной формы g(у1,у2,…,уn) является матрица

(11)

которая так же симметричная.

Обозначение: f  g.

rang B = rang A,

т.е. ранг матрицы квадратичной формы не меняется при невырожденном линейном преобразовании переменных.

Замечание.

3. Матрица В вида (11) – матрица квадратичной формы f (9) в новом базисе.

преобразовать к новым переменным у1,у2,у3, где

Решение

1. Составим матрицу квадратичной формы f:

3. Найдем матрицу квадратичной формы f в новом базисе по формуле

где

4. Запишем вид квадратичной формы f в новом базисе:

Вопрос 3. Канонический вид квадратичной формы

О.3.1. Квадратичная форма f(х1,х2,…,хn), содержащая только квадраты переменных, называется квадратичной формой канонического вида:

(12)

Числа i (i =1,2,…,n) в выражении (12) называются каноническими коэффициентами квадратичной формы.

О.2.2. Базис пространства, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется каноническим базисом квадратичной формы.

Замечание.

Замечание.

Вопрос 4. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа

Жозе́ф Луи́ Лагра́нж (1736 -1813) французский  математик, астроном  и  механик итальянского 

1. Пусть в квадратичной форме

(13)

нет членов с квадратами переменных (все аii = 0), но она содержит хотя бы одно попарное произведение переменных (для некоторых номеров i и j коэффициент аij ≠ 0).

получим, что член 2aijxixj квадратичной формы (13) примет вид

Введем новые переменные по правилу

В новых переменных квадратичная форма f принимает вид

Результирующее преобразование переменных будет равно произведению последовательно выполненных преобразований переменных:

где s  n  1.

Пример 4. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичную форму

и указать невырожденное линейное преобразование переменных, осуществляющее такое преобразование квадратичной формы.

Решение

1. Коэффициент при отличен от нуля (а11 = 1).

Сгруппируем все члены квадратичной формы, содержащие х1, и выделим полный квадрат:

2. Найдем линейное преобразование переменных, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.

1-е преобразование:

2-е преобразование:

2-е преобразование:

Результирующее преобразование:

е1 = (1,0,0), е2 = (1,1,0), е3 = (0,1,1).

3. Проверка:  = РТАР. В нашем случае:

Вопрос 5. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби

Пусть в базисе е = e1,e2,…,en квадратичная форма имеет вид

где Пусть, далее, главные (угловые) миноры матрицы квадратичной формы отличны от нуля, т.е.

, ,…,

(14)

Тогда существует базис

Тогда существует базис

в котором квадратичная форма А(х,х) имеет канонический вид

Векторы канонического базиса

Векторы канонического базиса

находятся в виде:

причем при k ≠ i,

Пример 5. Методом Якоби привести к каноническому виду квадратичную форму

и указать канонический базис, если первоначальный базис стандартный.

Решение

Решение

1. Составим матрицу квадратичной формы и найдем ее главные миноры:

Так как все главные миноры матрицы квадратичной формы отличны от нуля, то ее можно привести к каноническому виду методом Якоби.

3. Найдем канонический базис

квадратичной формы.

Первоначальный базис (стандартный):

е1 = (1,0,0), е2 = (0,1,0), е3 = (0,0,1).

1)

Найдем 11 из условия

11 = 1 

2)

2)

Найдем числа 21 и 22 из условий:

3)

3)

Найдем числа 31, 32, 33 из условий:

Канонический базис:

состоит из столбцов координат векторов

5. Проверка осуществляется аналогично по

формуле , где