Файл: 6. Определители Общее понятие об определителях.doc

(k = 1, 2, …, n; ), получим

= =

= = = .

Отсюда получаем (j = 1, 2, …, n).

Данные формулы называются формулами Крамера.

Пример 6.3. Решить систему уравнений, используя формулы Крамера.



Р е ш е н и е. Вычисляем определитель системы D и определители , , . Используя следствие из свойств определителей 4 и 5, сводим вычисление определителей третьего порядка к вычислению определителей второго порядка, получаем







.

Находим решение системы

; ; .

---

О т в е т:Х = (1; 2; 3).

6.4. Использование определителей для нахождения обратной матрицы

Пусть имеется матрица

.

Матрица



называется присоединенной для матрицы A. Здесь алгебраические дополнения элементов матрицы A.

Найдем произведение матриц A и ; при этом используем формулы вычисления определителя путем разложения по строке

( i = 1, 2, …, n)

и формулы свойства 6 определителей (сумма произведений элементов любой строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю)

.

Получим


,
где E - единичная матрица, D - определитель матрицы A.

Данное равенство поделим на D, получим .

Так как по определению обратной матрицы произведение матриц , то обратная матрица для матрицы A может быть найдена по формуле

.
Пример 6.4. Для матрицы найти обратную матрицу, используя присоединенную матрицу.

Р е ш е н и е. Вычислим определитель матрицы A и алгебраические дополнения элементов этой матрицы. При расчете определителя D первую строку умножим на -2 и прибавим ее ко второй и третьей строкам, получим

---

;

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Присоединенная матрица равняется .

Учитывая, что D = -1, находим обратную матрицу

.

О т в е т: .

6.5. Задача о межотраслевом балансе

Пусть отрасль состоит из n предприятий, выпускающих по одному виду продукции в количествах (i = 1, 2, 3, …, n). Продукция i-го предприятия используется на каждом j-м предприятии отрасли в количестве и в количестве предназначается для реализации вне отрасли. Тогда математическая модель межотраслевого баланса имеет вид



Опытным путем установлено, что количество продукции i-го предприятия, потребляемое j-м предприятием для производства своей продукции, прямо пропорционально количеству , выпускаемой им продукции, т. е. . Коэффициенты

---

называются коэффициентами прямых (внутриотраслевых) затрат.

С учетом этого математическую модель межотраслевого баланса записывают в виде



или в матричном виде

,

где

, ,

Матрица (i, j = 1, 2, 3, …, n) называется матрицей коэффициентов прямых (внутренних) затрат.

Данное уравнение можно записать в виде

,

где E - единичная матрица n-го порядка.

Используя уравнение

,

можно найти количество конечного продукта при заданном плане производства . Можно также найти план производства при заданном количестве конечного продукта по формуле

.

Матрица называется матрицей полных затрат. Матрица A коэффициентов внутриотраслевых затрат называется продуктивной, если все ее элементы неотрицательные и для любого неотрицательного существует неотрицательный вектор .

Данная математическая модель межотраслевого баланса называется моделью Леонтьева.

Пример 6.5. Отрасль состоит из двух предприятий. В табл. 6.1 приведены объемы потребления (затраты) предприятиями выпускаемого продукта (матрица Х) и общие объемы производства предприятий

---

за год, а также новый план выпуска конечного продукта за год через некоторое число n лет (конкретная величина n не имеет значения).

Т а б л и ц а 6.1

		Объемы потребления предприятия №		Общий объем производства предприятий за год	Новый план выпуска конечного продукта через n лет
		1	2
Продукция предприятия №	1	102	258	510	200
	2	51	129	430	400

1. Составить матрицу А коэффициентов прямых затрат.

2. Используя матричную запись, вычислить вектор объемов конечного продукта предприятий при заданных объемах производства .

3. Решив матричное уравнение , найти план производства предприятий, обеспечивающий новый план выпуска объемов конечного продукта через n лет. Определить при этом затраты на производство по каждому предприятию и по каждому продукту. Результаты записать в виде таблицы (см. табл. 6.2).

Р е ш е н и е. Из табл. 6.1 запишем исходные данные в виде матриц:

- матрица объемов производства предприятий для потребления внутри отрасли (матрица затрат);

- матрица общих объемов производства предприятий;

---