Файл: Векторы Историческая справка.ppt

Векторы

Историческая справка

Термин вектор (от лат. Vector – “ несущий “) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) в работах по построению числовых систем.

Что такое вектор?

Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением: например, скорость, сила, давление. Такие величины называются векторными величинами или векторами.

Геометрическое понятие вектора

Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая - концом, называется направленным отрезком или вектором.
Направление вектора указывается стрелкой. Точка A называется началом вектора, а точка B – концом.
Векторы обозначаются латинскими буквами a, b, c, …, а также AB, CD, … (на первом месте ставится начало вектора).


В


А


Начало вектора


Конец вектора


C


D


a


b


c

Задача

Назовите вектора


А


В


C


D


E


F


K

Нулевой вектор

Любую точку плоскости можно считать вектором. Такой вектор называется нулевым.
Начало нулевого вектора совпадает с его концом.
Нулевой вектор обозначается 0 или СС.


М


С


CC - нулевой вектор


MM - нулевой вектор

Длина вектора

Расстояние между началом и концом вектора называется длиной или модулем вектора. Длина вектора обозначается |а| или |АВ|.
Длина нулевого вектора считается равной нулю.

A						B

---

a


C


D


N


Определите длины векторов
(каждая клетка на рисунке имеет сторону, равную единице измерения отрезков)

Длина вектора

|AB| = 6 |CD| = 5
|a| = 5 |NN| = 0

Коллинеарные векторы

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.


a


C


D


b


F


K


O


m


N


P


CD, KF, O, a, b – коллинеарные
O, a – коллинеарные
O, NP – коллинеарные
NP, m – не коллинеарные

Направление векторов

Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены одинаково, то эти векторы называются сонаправленными.
Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены противоположно, то эти векторы называются противоположно направленными.
Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.


a ↑↑CD b ↑↑KF


a


C


D


F


K


b

Направление векторов

Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены одинаково, то эти векторы называются сонаправленными.
Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены противоположно, то эти векторы называются противоположно направленными.
Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.


a ↑↑CD b ↑↑KF


a ↑↓b a ↑↓ KF


C


D


a


F


K


b

Направление векторов

Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены одинаково, то эти векторы называются сонаправленными.
Если два ненулевых вектора коллинеарны и направлены противоположно, то эти векторы называются противоположно направленными.
Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.


a ↑↑CD b ↑↑KF


a ↑↓b a ↑↓ KF


MM ↑↑a MM ↑↑b


M


a


C


D


F


K


b

Равенство векторов

---

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
Равенство векторов обозначается: a = b
Все нулевые векторы равны друг другу.


a


b


M


C


CC = MM


a   b


a = b


│a │=│b │




Задача 1

Какие из векторов, изображенных на рисунке:
коллинеарны;
сонаправлены;
противоположно направлены;
имеют равные длины?


a


b


d


c

Задача 2

На рисунке изображена равнобедренная трапеция KLMN.
а) Укажите сонаправленные, противоположно направленные вектора.
б) Укажите векторы, длины которых равны. Равны ли при этом сами векторы?


K


L


M


N

Откладывание вектора от данной точки

От любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору, и притом только один.


а


А


В


М


N'


N


p


M  p
p II AB
MN = AB
MN' = AB
MN = a

Задачи

3. Отметьте точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Начертите все ненулевые векторы, начало и конец которых совпадают с какими-то двумя из этих точек. Выпишите все полученные векторы.
4. Даны вектор BC и точка D(1;-2). Отложите от точки D вектор, равный вектору BC.

Задача 5

Отложите эти векторы от одной точки.

---

a


b


d


c

Задачи

6. На рисунке изображен параллелограмм ABCD.Укажите векторы, длины которых равны. Равны ли при этом сами векторы?


A


B


C


D

---