Файл: П5.doc

Раздел 2. Расчет статически неопределимых стержневых систем

2.1. Статически неопределимые стержневые системы

Статически неопределимойназывают такую систему, ко­торая не может быть рассчитана по методу сечений с использова­нием лишь одних условий равновесия, так как она обладает лиш­ними связями. В качестве лишних следует принимать те связи, которые необходимо отбросить из состава заданной, чтобы превра­тить ее в статически определимую и геометрически неизменяемую систему.

Количество лишних связей, которые следует удалить из ста­тически неопределимой системы для обращения ее в статически определимую и геометрически неизменяемую, называют сте­пенью статической неопределимости.

Следует различать внешне статически неопределимые и внутренне статически неопределимые системы.

Рис. 2.1

Внешне статически неопределимой называют такую систему, которая имеет только лишние внешние связи, т.е. лишние опорные за­крепления. Примером внешне статически неопределимой плоской системы является трехпролетная рама (рис. 2.1).

Степень статической неопределимости системы С легко установить путем вычита­ния из общего числа опорных стержней m число стержней, необходимых для сохране­ния геометрически неизменяемого при­крепления системы (одно - для одномерных; три - для плоских и шесть - для пространственных систем).

Для плоской рамы, изображенной на рис. 2.1, учитывая, что защемление эквивалентно трем опорным стержням, получаем:

m = 3 + 2×2 +1 = 8;     C = m - 3 = 8-3 = 5,

т.е. данная система 5 раз статически неопределима.

Внутренне статически неопределимой называют сис­тему, обладающую лишними связями, введенными для взаимного соединения частей системы.

Двухопорная рама с затяжкой (рис. 2.2, а) внутренне один раз статически неопределимой. Статически определимая система (рис. 2.2, б) получена из заданной (рис. 2.2, а) путем разрезания за­тяжки ab. И при этом взаимодействие частей затяжки заменяется

только одной неизвестной осевой силой N₁ . Следовательно, в ста­тически определимой системе, изображенной на рис. 2.2, б имеем одно лишнее неизвестное N₁ , которое невозможно определить при помощи метода сечений. Поэтому заданная система (рис. 2.2, а) яв­ляется один раз статически неопределимой.

---

Рис. 2.2 Рис. 2.3

Если затяжку жестко заделать в стойки, как это показано на рис. 2.3, а, то получим трижды статически неопределимую систему.

Действительно, в данном случае после разрезания нижнего ригеля ab, взаимодействие частей ac и bc характеризуется уже тремя неизвестными усилиями N₁, Q₁, M₁ (рис. 2.3, б), которые нельзя определить из условия равновесия. Поэтому система, изображенная на рис. 2.3, a является три раза внутренне статически неопредели­мой.

Отсюда можно сделать вывод, что в плоских системах, замк­нутый бесшарнирный контур имеет три лишние связи. Следова­тельно, если плоская система содержит n замкнутых контуров, то она, очевидно, будет 3×n раз статически неопределима.

Отметим следующие основные свойства статически неопреде­лимых систем.

Статически неопределимые системы ввиду наличия добавочных лишних связей, по сравнению с соответствующей статически опре­делимой системой оказывается более жесткой, а при идентичном характере нагружения значения усилий получаются меньшими. Следовательно, и более экономичными.

Разрушение лишних связей в нагруженном состоянии, не ведет к разрушению всей системы в целом, так как удаление этих связей приводит к новой геометрически неизменяемой системе, в то время как потеря связи в статически определимой системе приводит к изменяемой системе.

В строительной механике различают следующие два классиче­ских метода расчета статически неопределимых систем: метод сил и метод перемещений.

При расчете по методу сил основными искомыми величи­нами являются усилия в лишних связях. Знание усилий в лишних связях позволит по методу сечений, как это было показано в пер­вом разделе учебника, выполнять полный расчет по определению усилий, возникающих в поперечных сечениях элементов заданной системы.

При расчете по методу перемещений основными искомы­ми величинами являются перемещения узловых точек, вызванные деформацией системы. Знание этих перемещений необходимо и достаточно для определения всех внутренних усилий, возникающих в поперечных сечениях элементов, заданной системы.

---

2.2. Определение перемещений в стержневой системе

При расчете статически неопределимых систем, кроме уравне­ний равновесия, как известно, приходится составлять и решать уравнения совместности деформаций системы. Для составления та­ких уравнений необходимо уметь определять перемещения заданной системы. Это приходится часто делать и при расчете статически опреде­лимых систем, которые должны обладать не только достаточной прочностью, но и жесткостью, так как в процессе их эксплуатации нормируются не только напряжения, но и перемещения конструкций.

Таким образом, изучение общих методов определения переме­щений упругих систем является одной из основных задач строи­тельной механики.

При определении перемещений заданной системы очень важ­ным является понятие работы внешних сил на возможных перемещениях, которая при их статическом действии на соору­жение равна сумме половины произведения значения этих сил на величину соответствующего им перемещения. Работа внешних сил на вызванных ими перемещениях может быть выражена через вну­тренние усилия (изгибающие моменты, продольные и поперечные силы), возникающие в поперечных сечениях стержней конструк­ции. На этом основан один из наиболее распространенных спосо­бов определения перемещений - способ, предложенный немецким ученым О. Моpом в 1874г.

Пусть рассматриваемая заданная стержневая система под влия­нием внешнего воздействия деформируется и требуется определить обобщенное перемещение в i-ой произвольной точке (рис. 2.4) в заранее заданном направлении.

Согласно принципа возможных перемещений, для закреплен­ной системы с идеальными связями, сумма работ всех усилий на любых малых возможных перемещениях равна нулю. Что является необходимым и достаточным условием нахождения равновесного состояния рассматриваемой системы. Для деформируемой системы, в аналитическом выражении начала возможных перемещений, сле­дует учесть работу, как внешних, так и внутренних усилий.

Рассмотрим два состояния системы: одно, возникающее под действием заданной нагрузки (рис. 2.4, а); второе - под действием единичной силы, приложенной в интересующей нас точке i по направлению искомого переме­щения (рис. 2.4, б). Определим возможную работу сил второго со­стояния на перемещениях первого состояния.

Рис. 2.4

---

Работа внешней силы Р_i = 1:

dV = 1×d_iP , (2.1)

где d_iP - перемещение i-ой точки по направлению силы Р_i = 1 в первом состоянии, вызванной действием системы внешних сил.

Работа внутренних усилий, как известно из курса “Сопро-тивле­ния материалов” [9], была представлена в виде:

, (2.2)

где , , , , , - усилия в первом и втором сос­тоянии, соответственно; EJ_j , EF_j , GF_j - жесткости на изгиб, рас­тяжение-сжатие и сдвиг, соответственно, для j-ого стержня; h -коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения, для прямоугольного сечения h = 1.2.

В силу принципа возможных перемещений: dA + dV = 0, т.е. работа внешних сил равна работе внутренних сил с обратным знаком dV = -dA, далее, учитывая (2.1) и (2.2), получим:

. (2.3)

Это выражение носит название фоpмyлы Моpа. Замечательной особенностью вычисления перемещений по формуле Моpа являет­ся то обстоятельство, что в качестве второго состояния можно ис­пользовать любую систему, образованную из заданной путем отбра­сывания лишних связей, т.е. брать в качестве вспомогательного состояния любую статически определимую систему, полученной из заданной. Это в значительной степени упрощает процедуру вычис­ления перемещения по формуле Мора.

Во многих практических случаях формула Мора может быть значительно упрощена. Например, в статически неопределимых фермах изгибающие моменты и поперечные силы пренебрежимо малы, а продольные силы постоянны по длине каждого стержня. Поэтому для ферм формула Моpа принимает вид:

. (2.4)

В рамах обычно пренебрегают влиянием вторых и третьих чле­нов (2.3), так как эти члены незначительно влияют на величину перемещений:

---

. (2.5)

Продольные силы вместе c изгибающими моментами учиты­вают в расчете систем, элементы которых испытывают значитель­ные осевые деформации, сравнимые c деформациями от изгибаю­щих моментов, например, в арках, а также при учете податливости отдельных элементов систем, работающих преимущественно на сжатие или растяжение, например, затяжек в рамах или арках.

Интеграл Мора, наряду с методом начальных параметров, явля­ется достаточно мощным инструментом для определения переме­щений стержневых систем. Проиллюстрируем это на примере.

Для ломаного бруса, изображенного на рис. 2.5, а определим угол поворота поперечного сечения С относительно вертикальной оси. Пусть жесткость ригеля в два раза больше жесткости стойки, т.е. EJ_р = 2×EJ_c .

Последовательность расчета следующая:

1) строим эпюру моментов М_n от заданной нагрузки q (эпюра моментов действительного состояния n рис. 2.5, б); 

2) строим эпюру моментов М_m при загружении конца консоли единичным моментом M = 1 (эпюра моментов фиктивного состоя­ния m, рис. 2.5, в); 

3) выразим изгибающие моменты через переменные абсцис­сы x:

- для ригеля: M_n = -q x²/2; M_m = -1; - для стойки: M_n = -q a²/2; M_m = -1;

Рис. 2.5

4) применяя формулу перемещений (2.5), найдем искомый угол поворота:

(рад).

---