Файл: П5.doc

4. Пример расчета плоской рамы методом сил (задача № 7)

Пусть требуется провести расчет плоской рамы (рис. 2.9, a) методом сил в следующей последовательности:

1. Определение степени статической неопределимости;

2. Выбор основной системы;

3. Составление системы канонических уравнений;

4. Вычисление коэффициентов канонических уравнений;

5. Проверка правильности подсчета коэффициентов канониче­ских уравнений;

6. Решение системы канонических уравнений и проверка ее правильности;

7. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов M_ок ;

8. Проверка правильности построения эпюры M_ок и построение эпюры Q (z);

9. Построение эпюры N;

10. Статическая и деформационная проверка рамы в целом.

Решение

1. Определение степени статической неопределимости

Степень статической неопределимости рассчитывают по фор­муле

n = 3 K  - Ш, 

где К - количество замкнутых контуров в системе, включая опор­ные; Ш - количество одинарных шарниров в системе, включая опорные.

В нашем примере, если мысленно замкнуть землю (см. пунк­тирную линию на рис. 2.9, а), имеем К = 2, Ш = 4, n = 3×2 - 4 = 2. Таким образом, заданная рама дважды статически неопределима, или, другими словами, имеет две лишние связи.

2. Выбор основной системы

Известно, что основная система определяется из заданной путем отбрасывания лишних связей и приложением соответст­вующих усилий, возникающих в отброшенных связях в заданной системе. При этом основная система должна быть статически определимой и геометрически неизме­няемой.

Сравнивая три варианта основных систем (рис. 2.9, б - 2.9, г) приходим к выводу, что наиболее целесообразно в качестве основной системы вы­брать I-ый вариант (рис. 2.9, б), так как в этом случае:

- не требуется предварительное вычисление опорных реакций;

- эпюры изгибающих моментов, построенные в этой схеме от воздействия на нее каждого из усилий Х₁ = 1, Х₂ = 1, Р и q, будут распространены на меньшем количестве участков системы и пред­ставлены простейшими геометрическими фигурами. Это значи­тельно облегчает процесс определения коэффициентов канониче­ских уравнений.

3. Составление системы канонических уравнений

Канонические уравнения, необходимые для решения стати­чески неопределимых задач, представляют собой уравнения сов­местности деформаций. Число их всегда равно степени статической неопределимости. Физический смысл каждого из канонических уравнений, как было указано выше, состоит в том, что суммарное перемещение по направлению усилий X_i от всех действующих в основной системе силовых факторов, включая и неизвестные, рав­но 0, так как в действительности в этих направлениях стоят связи, препятствующие возникновению перемещений по направлению этих неизвестных.

Для рассматриваемого случая канонические уравнения имеют вид:

(2.9)

4. Вычисление коэффициентов канонических уравнений

Так как все коэффициенты канонических уравнений представ­ляют собой перемещения, то для их вычисления вначале строят единичные и грузовые эпюры изгибающих моментов в основной системе. Затем по формуле Мора с применением готовых формул (см. табл. 2.1) или правила Верещагина с использованием табл. 2.2 определим их значения.

Эпюры изгибающих моментов, построенные в основной систе­ме от воздействия на нее каждого в отдельности усилия X₁ = 1; X₂ = 1; P и q, показаны на рис. 2.9, д - 2.9, з.

Исходя из единичных и грузовых эпюр определяем коэффици­енты канонических уравнений:

(2.10)

5. Проверка правильности подсчета коэффициентов

Правильность расчета коэффициентов канонических уравнений осуществляется путем универсальных проверок, при этом должны выполняться следующие условия:

(2.11)

где Sd - сумма всех найденных главных и побочных коэффици­ентов:

Sd = d₁₁ + d₁₂ + d₂₁ + d₂₂ ;

d_ss - величина, полученная в результате умножения единичной сум­марной эпюры M_å на себя:

;

SD - величина, определяемая сложением значений, полученных в результате умножения эпюры M_å на эпюру M_P и эпюры M_S на эпю­ру M_q ; k - количество участков эпюры.

Эпюра M_å (рис. 2.9, и) строится в основной системе от одновре­менного воздействия на нее всех неизвестных единичных усилий (X₁ = 1; X₂ = 1), т.е. путем сложения единичных эпюр M₁ и M₂ :

M_å = (M₁ + M₂).

В нашем случае

(2.12)

Таким образом, оба условия удовлетворяются. Следовательно, коэффициенты канонических уравнений рассчитаны верно.

6. Решение системы канонических уравнений и проверка ее правильности

Подставив в систему уравнений значения коэффициентов кано­нических уравнений, получим:

(2.13)

Решив эту систему уравнений, найдем значения неизвестных:

X₁ = 4.267 кН;     X₂ = 0.865 кН.

Правильность вычисления неизвестных проверим путем под­становки найденных значений X₁ и X₂ в исходные уравнения:

108×4.267 - 25.5×0.865 - 438.750 = 460.836 - 460.808 » 0;

-25.5×4.267 + 11.333×0.865 + 99 = -108.808 + 108.803 » 0.

7. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов Mок

Ординаты окончательной эпюры изгибающих моментов M_ок в характерных сечениях заданной системы целесообразно подсчитать в табличной форме (табл. 2.3), предварительно пронумеровав все характерные сечения и задавшись правилом знаков изгибающих моментов (рис. 2.10, б).

Окончательную эпюру изгибающих моментов M_ок для заданной системы строим в соответствии с принципом независимости дейст­вия сил путем сложения «исправленных» эпюр M₁ X₁ и M₂ X₂ с грузовыми эпюрами M_P и M_q , которые построены в основной сис­теме:

M_ок = M₁ X₁ + M₂ X₂ + M_P + M_q .

«Исправленные» эпюры изгибающих моментов M₁ X₁ и M₂ X₂  строим путем умножения всех ординат единичных эпюр M₁ и M₂ , соответственно, на значения X₁ и X₂ с учетом их знака. Постро­енные таким образом эпюры M₁ X₁ и M₂ X₂ приведены на рис. 2.9, к и рис. 2.10, а.

Таблица 2.3

Так как на участке 2-3 эпюра M_ок (рис. 2.10, в) криволинейна, то для уточнения ее очертания необходимо найти экстремальное значение изгибающего момента. Для этого рассмотрим элемент 2-3, вырезанный из статически неопределимой системы. На этот ри­гель действует равномерно распределенная нагрузка q = 2 кН/м и два опорных момента М₂ = -3.128 кН×м и М₃ = 5.071 кН×м (табл. 2.3).

Расчетная схема этого элемента показана на рис. 2.10, г. Вна­чале вычислим опорные реакции, составив уравнения равновесия:

SM₂ = -R₃×3 - 5.071 - 3.128 + =0;

SM₃ = R₂×3 - 5.071 - 3.128 + =0,

откуда R₂ = 5.733 кН и R₃ = 0.267 кН.

Проверим правильность вычисления опорных реакций, соста­вив уравнения равновесия:

S y = R₂ + R₃ - q×3 = 5.733 + 0.267  - 6 = 6  - 6 = 0.

Определим координату z_ext сечения, в котором Q = 0, а M = = M_ext , использовав следующую дифференциальную зависимость:

,

откуда

м.

Тогда для этого сечения получим:

= 5.099 кН×м.

По найденным значениям ординат строим окончательную эпю­ру изгибающих моментов М_ок для заданной рамы (рис. 2.10, в).