Файл: П12.doc

Откуда следует, что при P₁ = P₂ критическое значение силы P_кр меньше наименьшего значения критической силы в случае, если на систему действовала бы приложена только одна из сил P₁ или P₂, т.е. 7604 кН < 7856.1 кН.

Резюмируя, заметим, что как это показывают результаты рас­четов, наступление критического состояния системы зависит как от свойств заданной системы, так и от схемы нагружения.

В рассматриваемом примере, как это следовало бы ожидать, наиневыгоднейшей схемой нагружения является схема б), т.е. когда одновременно в каждом из двух узлах заданной системы приложе­ны одинаковые силы.

Далее, сравнивая случаи нагружения а) и в), легко установить, что из этих двух случаев нагружения, случай а) является более опасным для заданной системы, т.к. в этом случае потеря устойчи­вости наступает при более низком уровне величины внешней силы.

Данное обстоятельство объясняется тем, что жесткость узла под номером 1 заданной системы, меньше по сравнению с жесткостью узла под номером 2, т.к. жесткость первого узла формируется двумя элементами (стойки и одного ригеля), а жесткость второго узла формируется тремя элементами (идентичной стойкой, левым риге­лем, который является общим для формирования жесткости перво­го и второго узла, а также правым ригелем).

4.8. Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение свойства заданной системы, называемого устойчивостью.

2. Дайте определение положения системы, называемого устойчивым.

3. Дайте определение понятия об устойчивой форме равновесного состояния системы.

4. Дайте определение о критическом состоянии системы.

5. Какие значения внешних сил называются критическими?

6. Что означает потеря системой устойчивости по Iи по IIроду соответственно?

7. Перечислите все три критерия по определению критических значений внешних сил.

8. Сформулируйте основные задачи теории устойчивости.

9. Сформулируйте задачу Эйлера.

10. Укажите основные закономерности, существующие между различными формами потери устойчивости стержневых систем.

11. Перечислите основные факторы, оказывающие наиболее существенное влияние на величину критических значений внешних сил.

Раздел 5. Динамика сооружений

5.1. Предмет и задачи динамики сооружений

Динамика сооружений - это один из специальных разде­лов строительной механики, посвященный методам расчета соору­жений на динамические нагрузки. Динамические нагрузки по своей природе весьма разнообразны. К такого рода воздействиям относятся природные явления, т.е. сейсмические толчки, ветровые порывы, а также различные динамические воз­действия технологического или аварийного происхож­дения: движение неуравновешенных частей машин и механизмов; падение летящего тела при соударение его с элементами конструк­ций; работа копров, молотов и других ударных механизмов; дви­жение поездов, кранов и т.д.

---

Особенностью динамических нагрузок является то, что при их действии сооружение переходит в состояние движения,причем при периодическом повторении динамических воздействий в опреде­ленных условиях происходит накопление энергии системы, выра­жающееся в постепенном увеличении амплитуды колебаний.

Это явление, называемое резонансом, особенно опасно для сооружения тем, что разрушение может произойти и при воздейст­виях с малой интенсивностью.

Существенным отличием динамических методов расчета от ста­тических является введение в уравнениях состояния нового пере­менного - времени и, ввиду их значительности, инерционных сил. При этом, если при решении аналогичных задач при статическом нагружении, уравнения состояния выражались при помощи алгеб­раических или трансцендентных уравнений, то соответствующая динамическая задача требует уже решения дифференциальных уравнений с производными по времени.

В динамике сооружений следует различать два типа движения или колебания системы. Колебания системы при отсутствии дей­ствия внешних сил называются свободными. Если колебания си­стемы сопровождаются действием внешних динамических нагру­зок, то колебания называются вынужденными.

Для описания динамических колебаний необходимо ввести в рассмотрение следующие понятия: круговая частота w и пе­риод колебаний . Круговая частота определяет число циклов колебания в течении 2p секунд, а период определяет интер­вал времени, в течении которого совершается полный цикл коле­баний.

Системы в динамике сооружений различаются по числу степе­ней свободы. Числом степеней свободы системы называет­ся число независимых геометрических параметров (обобщенных координат), определяющих положение системы (материальных то­чек) в любой момент времени при ее (их) движении. Число сте­пеней свободы системы складывается из числа степеней свободы материальных точек, принадлежащих системе. Число степеней сво­боды является основной характеристикой системы при динамиче­ских воздействиях.

В динамике сооружений различают два основных подхода: ки­нетостатический и энергетический.

Кинетостатический подход состоит в том, что сооружение в произвольный момент времени предполагается находящимся в равновесном состоянии под действием заданных динамических и вызванных ими инерционных нагрузок. Далее для составления уравнений состояния применяются классические методы строи­тельной механики (метод сил, перемещений или смешанный).

---

Энергетический подход основан в определении в равновес­ном состоянии через закон сохранения энергии с учетом инерци­онных сил. В частности, когда силы сопротивления движению не учитываются, энергетический принцип в общем случае записы­вается в виде:

K + V = const,

где K - кинетическая энергия системы; V - потенциальная энергии системы или работа внешних или внутренних сил, так как система в процессе колебания находится в равновесном состоянии.

В настоящей книге при решении конкретных задач ограничим­ся применением кинетостатического подхода, а для вывода уравне­ния - метода сил.

---

5.2. Системы с одной степенью свободы

Рассмотрим систему в виде невесомой балки с сосредоточенной массой m, горизонтальным перемещением и поворотом которого будем пренебрегать. При таких предпосылках единственная матери­альная точка, т.е. сосредоточенная масса величиной m может со­вершать перемещения только в вертикальном направлении, следо­вательно, система имеет одну степень свободы.

Рис. 5.1

Будем исследовать дви­жение системы из ее ис­ходного положения равно­весия при t = 0 (рис. 5.1,а), считая перемещение вниз положительным.

Пусть на балку дейст­вует динамическая сила ве­личиной: P(t)= P_a sinqt, где q - частота вынуждающей силы. Обозначая дополни­тельное перемещение мас­сы m от динамических на­грузок через y (t), вводим следующие начальные условия:

. (5.1)

В процессе движения на массу действует сила инерции исила сопротивления по Фойхту . Сила сопротивления движению возникает от различных внешних и внутренних причин: сопротивление движению внешней среды, тре­ние в местах соединения элементов и опорных частях, внутреннее неупругое сопротивление материалов конструкций и т.д.

Заметим, что система, обладающая свойствами внутреннего со­противления называется консервативной, а система, лишенная данного свойства - неконсервативной.

Вводим следующие обозначения: d₁₁ - вертикальное перемеще­ние балки в точке закрепления массы m от действия вертикальной единичной силы Р = 1, приложенной в той же точке; D_1P (t) - вер­тикальное перемещение балки в точке закрепления массы m от динамической силы P (t), при этом: D_1P (t) = d_1P  P (t); d_1P - верти­кальное перемещение балки в точке закрепления массы от дей­ствия вертикальной единичной силы Р = 1, приложенной в точке приложения внешней силы P (t) при ее отсутствии.

---

Применяя метод суперпозиции, очевидно, что, в произ­вольный момент времени полное перемещение сосредоточенной массы m принимает значение:

, (5.2)

откуда и определяется дифференциальное уравнение движения рассматриваемой системы:

. (5.3)

Принимаем обозначения: - круговая частота соб­ственных колебаний системы; - коэффициент затухания.

С учетом введенных обозначений, уравнение движения системы (5.3) принимает вид:

. (5.4)

Решение дифференциального уравнения (5.4), с учетом началь­ных условий (5.1) и, учитывая, что для реальных конструкций всегда выполняется n < w₀ , записывается в виде:

. (5.5)

Здесь приняты следующие обозначения:

. (5.6)

Круговая частота w называется круговой частотой соб­ственных колебаний системы с учетом сил затухания.

Коэффициент затухания колебания определяется по коррек­тированной гипотезе Фойхта, позволяющей получить наи­более обоснованные результаты для учета диссипации энергии в системе в процессе колебаний, т.е.:

, (5.7)

где d - называется логарифмическим декрементом зату­хания и определяется через отношения соседних амплитуд коле­бания, возникающих через промежуток времени :

. (5.8)

Для различных конструкций средние значения d приводятся в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Наименование конструкции	d
Стальные мосты Железобетонные мосты Железобетонные балки Железобетонные рамы Железобетонные ребристые перекрытия	0.17 0.63 0.56 0.25 0.57

---