Файл: Законы сохраненияЛекция.doc

П.3 Работа. Мощность. Кинетическая энергия.

В основе явлений природы лежит движение материи. Существует много форм движения материи. Для описа­ния механической формы движения вводится понятие механического импульса. Для описания тепловой формы движения вводятся иные характеристики состояния, на­пример, температура. Все такие величины отражают качественные особенности различных форм движения материи. Однако опыт обнаруживает взаимную превра­щаемость различных форм движения материи. Следова­тельно, различные формы движения имеют нечто общее и могут, кроме специфических величин, характеризо­ваться также величиной, которая с равным правом отно­сится ко всем формам движения и отражает их взаим­ную превращаемость. Такой физической величиной яв­ляется энергия. Следовательно, энергия есть общая мера различных форм движения материи. Важность этой фи­зической величины обусловлена еще и тем обстоятельст­вом, что для энергии также можно сформулировать закон сохранения. Выяснилось, что закон сохранения энергии тесно связан с фундаментальным свойством пространства-времени, а именно с однородностью времени.

Введем понятие механической энергии и сформу­лируем закон ее сохранения в механике. Для этого нам придется ввести в рассмотрение ряд новых физических величин; начнем с введения понятия работы.

Рассмотрим частицу, находящуюся под действием некоторой силы . Запишем уравнение второго закона Ньютона для этой частицы:

(20)

Умножим скалярно уравнение (20) на вектор беско­нечно малого перемещения частицы и заменим в левой части получившегося уравнения вектор на равный ему вектор , где — вектор мгновенной скорости частицы, a dt — промежуток времени, за который произошло перемещение. Получается следую­щее выражение:

(21)

---

Учитывая, что , можем записать:

. Используя это выражение и учитывая, что преобразуем левую часть (21) следующим образом:

 (22).

Величина, стоящая справа, называется работой силы : (23), где  — угол, который составляют сила F и переме­щение dr. Формула (23) дает элементарную работу силы, которую она совершает при перемещении тела на бесконечно малую величину вдоль траектории. В школьном курсе физики вводилось понятие работы силы А = F • S - cos  (S — путь, пройденный телом под действием силы). Но такое определение спра­ведливо только тогда, когда сила постоянна по величине и по направлецию, а перемещение тела происходит по прямо. В случае переменной силы и криволинейного движения для конечных отрезков траектории это оп­ределение несправедливо. Но если мы рассматриваем бесконечно малое перемещение, то с точностью до бес­конечно малых более высокого порядка можно считать F = const в пределах dr, а само перемещение — пря­молинейным.

Для вычисления работы силы при перемещении на конечное расстояние надо разбить конечный отрезок траектории на совокупность бесконечно малых участ­ков, на каждом из них найти элементарную работу и затем просуммировать эти элементарные работы. Иными словами, мы должны вычислить криволинейный интеграл вдоль траектории движения: (24)

Где цифрами 1 и 2 обозначены начальная и конечная точки траектории, l - участок траектории между точками 1 и 2, F_l — проекция силы на направление перемещения.

Отметим, что малая работа здесь обозначена А, а не полным дифференциалом dA. Это связано с тем, что в общем случае работа не является функцией состояния, т. е. не может быть представлена в виде разности значений некоторой функции координат и скоростей, так как она зависит не только от начального и конечного состояний, но и от того, по какому пути происходит перемещение тела. Исключение составляет очень важ­ный класс консервативных сил, который будет рассмот­рен ниже.

---

Обратимся теперь к левой части (22). Там стоит полный дифференциал некоторой функции. Поэтому сама эта функция может быть представлена в виде: (25)

Записанная так функция называется кинетической энергией частицы. Кинетическая энергия — это часть полной энергии частицы, связанная с ее движением.

Тогда (22) можно записать: или (26)

Формулы (26) справедливы, разумеется, и в том случае, если на частицу действует не одна, а несколько сил. Тогда справа в них должна стоять сумма работ каждой из сил. Исходя из (26), можно сформулировать следующую закономерность: изменение кинетической энергии частицы равно работе сил, дей­ствующих на нее.

Заметим, что иногда важно знать не общую работу, а лишь ту ее часть, которая совершается в единицу времени. Физическая величина, равная работе, отнесенной к единице времени, называется мощностью: (27).

Выражение (25) становится несправедливым при переходе в область релятивистской физики.

---

П.4 Потенциальная энергия. Закон сохранения энергии.

Для описания силового взаимодействия тел в клас­сической механике использовались две концепции. Пер­воначально, исходя из практического опыта, все воз­действия одних тел на другие считались контактными, т. е. происходящими при непосредственном соприкос­новении тел. Затем был открыт закон всемирного тя­готения, который описывает взаимодействие тел, не находящихся в непосредственном контакте. Возникла концепция действия на расстоянии, концепция даль­нодействия. Последней точки зрения придерживался, в частности, Ньютон. Обе концепции сосуществовали довольно долго. Хотя при описании классического ме­ханического движения в принципе неважно, какая из концепций принята, с философской точки зрения явно была предпочтительнее концепция близкодействия. Поэ­тому, чтобы и гравитационные силы можно было рас­сматривать как близкодействующие, было введено по­нятие силового поля. С помощью понятия силового поля, взаимодействие тел на расстоянии описывается следующим образом. Одно тело видоизменяет свойства окружающего его пространства, т. е. создает вокруг себя силовое поле, а второе тело, находящееся вблизи первого, «чувствует» это изменение свойств простран­ства или, иными словами, испытывает со стороны си­лового поля некоторую силу в том месте, где оно находится. Таким образом, силовое поле выполняет роль переносчика взаимодействия. Второе тело оказы­вает силовое воздействие на первое аналогичным обра­зом. Вначале такой подход был чисто умозрительным, однако ситуация в корне изменилась, когда ученые занялись исследованием явлений, связанных с электро­магнитными волнами. Был обнаружен материальный носитель дальнодействующих электромагнитных сил, названный электромагнитным полем. Выяснилось, что все фундаментальные взаимодействия имеют полевую природу. Отметим, что описание силовых полей в мак­ромире и микромире существенно отличаются, здесь мы остановимся на классических полях.

Силовые поля являются векторными. Векторное си­ловое поле считается заданным, если в каждой точке пространства, где есть поле, задан вектор поля (силовая характеристика поля), через который однозначно может быть определена сила, воздействующая на частицу, помещенную в эту точку. Примером векторного силового поля может служить, скажем, электростатическое поле, силовой характеристикой которого является напряжен­ность.

---

Силовые поля делятся на потенциальные и непо­тенциальные. Потенциальным называется такое сило­вое поле, которое может быть выражено через неко­торую скалярную функцию П (х, у, z, t), называемую потенциальной, по следующему правилу:

(28).

Отметим, что градиент скалярной функции есть век­тор, направленный в сторону максимально быстрого возрастания этой функции и численно равный скорости ее возрастания в указанном направлении. Следователь­но, знак (минус) в формуле (28) указывает на то, что сила направлена в сторону максимально быстрого убы­вания потенциальной функции, т. е. против вектора гра­диента.

Очень важным является частный случай потенци­альных силовых полей — консервативные поля. Кон­сервативными называются такие потенциальные сило­вые поля, которые явно не зависят от времени. Фор­мально это означает, что потенциальная функция зависит только от координат частицы. Другими словами, частица находится в стационарных внешних условиях, например, в постоянном гравитационном поле. Потен­циальная функция П в таком случае называется по­тенциальной энергией частицы во внешнем консерва­тивном поле. Обозначим потенциальную энергию через Е_пот.. Тогда для силы справедливо выражение: (29)

Рассмотрим теперь работу консервативной силы. Учи­тывая, что dr = e_xdx + e_vdy + e,dz, из (29) получим: (30).

Таким образом, работа консервативной силы равна изменению потенциальной энергии частицы, взятому с обратным знаком. Если перемещение происходит по замкнутому пути, т. е. на­чальная и конечная точки совпадают, то работа консервативной силы равна нулю. Кроме того, работа консервативной силы не зависит от того, по какой траектории перемещается частица из начальной точки в конечную. Действитель­но, потенциальная энергия является только функ­цией координат, поэтому в правой части (30) стоит разность потенциальной энергии частицы, взятой в начальной и конечной точках. Промежуточные же этапы движения точки по траектории никак не влияют на величину работы консервативной силы.

---