Файл: Matlog.doc

Введем следующие высказывания:

A = ”Политик обещает невыполнимое”.

B = “Политик обманывает людей”.

Данное нам высказывание может быть записано в виде формулы: АB.

Построим отрицание высказывания, воспользовавшись равносильностью 12:

(АB) A&B.

На естественном языке это может быть выражено следующим образом:

“Политик обещает невыполнимое, но он не обманывает людей”.

1.5. Нормальные формы

В алгебре высказываний используют две нормальные фор­мы: дизъюнктивную и конъюнктивную нормальные формы формулы (ДНФ и КНФ).

ДНФ формулы есть формула, равносильная исходной формуле логики высказываний и записанная в виде дизъюнкции элементарных конъюнкций переменных, т.е.

F = K₁Ú K₂Ú K₃Ú . . ., где K_i = A&B&C& . . ..

КНФ формулы есть формула, равносильная исходной формуле логики высказываний и записанная в виде конъюнкции элементарных дизъюнкций переменных, т.е.

F = D₁ & D₂ & D₃ & . . . , где D_i = AÚBÚCÚ . . ..

Наибольшее распространение в логике высказываний по­лучили формулы вида КНФ, элементарные дизъюнкции которых D_i принято называть дизъюнктами, а члены каждого дизъюнкта A, B, C – атомами.

Пример 1.13.

Указать, в каких нормальных формах находятся следующие формулы логики высказываний.

a) A – ДНФ и КНФ

b) (AÚB)&C – КНФ

c) A Ú BÚ C – ДНФ и КНФ

d) (AÚB)&(AÚC) – КНФ

e) AÚB&C – ДНФ

f) A& B& C – ДНФ и КНФ

g) A&B Ú A&C – ДНФ

Для каждой формулы логики высказываний функции F имеется равносильная ей дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) и конъюнктивная нормальная форма (КНФ).

Алгоритм приведения формул логики высказываний к ДНФ (КНФ).

Шаг 1. Все подформулы F вида A  B (т.е. содержащие импликацию) заменяем на AÚB или на (A&B) (в соответствии с равносильностью 12 раздела 1.3).

Шаг 2. Все подформулы F вида A ~ B (т.е. содержащие эквивалентность) заменяем на (A&B) Ú (A&B) или на (AÚB)&(AÚB) (в соответствии с равносильностью 13).

Шаг 3. Все отрицания, стоящие над сложными подформулами, опускаем по законам де Моргана (в соответствии с равносильностями 4, 19, 20).

Шаг 4. Устраняем все двойные отрицания над формулами (в соответствии с равносильностью 8).

Шаг 5. Осуществляем раскрытие всех скобок по закону дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции для ДНФ (в соответствии с равносильностями 3а и 17) или по закону дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции для КНФ (в соответствии с равносильностями 3б и 18).

Шаг 6. Для получения более простой формулы целесообразно использовать равносильности 5, 6, 7, 9, 10, 11.

Пример 1.14.

Дана формула F = (A&B)&(AÚB).

Привести формулу к виду ДНФ:

1) F = (AÚB)&(AÚB);

2) F = (A&A) Ú (A&B) Ú (B&A) Ú (B&B);

3) F = (A&B) Ú (B&A).

Пример 1.15.

Дана формула F = (A  (BÚC)) D.

Привести формулу к виду КНФ:

1) F = (AÚ(BÚC)) D ;

2) F = (AÚ(BÚC))ÚD ;

3) F = (A&(B)& C)ÚD ;

4) F = (AÚD)&(BÚD)&(CÚD).

Если каждая элементарная конъюнкция (или элементарная дизъюнкция) формулы содержат символы всех переменных, то такая формула называется совершенной. Есть совершенные дизъюнктивные нормальные формы формулы (СДНФ) и совершенные конъюнктивные нормальные формы формулы (СКНФ).

Пример 1.16.

Указать, в каких нормальных формах находятся формулы логики высказываний трех переменных.

a) X&Y&Z – СДНФ и КНФ;

b) X&Y&Z Ú X&Y&Z – СДНФ;

c) XÚYÚZ – СКНФ и ДНФ;

d) X&Z – ДНФ и КНФ;

e) (XÚYÚZ)& (XÚYÚZ) – СКНФ;

f) XÚYÚZ – СКНФ и ДНФ;

g) (XÚY)&(XÚZ) – КНФ.

Каждая формула, не равная тождественно Л, может быть приведена к СДНФ, которая является единственной с точностью до перестановки дизъюнктивных членов.

Каждая формула, не равная тождественно И, может быть приведена к СКНФ, которая является единственной с точностью до перестановки конъюнктивных членов.

Алгоритм приведения формулы булевой функции к СДНФ

Шаг 1. Используя алгоритм построения ДНФ, находим формулу F, являющуюся ДНФ данной формулы.

Шаг 2. Если в элементарную конъюнкцию K_i формулы F не входит ни переменная A, ни ее отрицание A, то на основании 1- го закона расщепления (равносильность 7а) заменяем K_i на (K_i & A ) Ú (K_i &A).

Шаг 3. В каждой элементарной конъюнкции переставляем конъюнктивные члены так, чтобы для каждого i (i = 1, ..., n) на i-ом месте была либо переменная A_i, либо ее отрицание A_i.

Шаг 6. Устраняем возможные повторения конъюнктивных членов согласно закону идемпотентности для дизъюнкции: K_i Ú K_i  K_i .

Пример 1.17.

F = A&BÚA&C&DÚA&B&C&D.

Преобразовать формулу к виду СДНФ:

1) F = A&B&CÚA&B&CÚA&B&C&DÚA&B&C&DÚ A&B&C&D;

2) F = (A&B&C&D)Ú(A&B&C&D)Ú(A&B&C&D)Ú(A&B&C&D)Ú (A&B&C&D)Ú (A&B&C&D)Ú (A&B&C&D).

Алгоритм нахождения СКНФ полностью повторяет алгоритм нахождения СДНФ, если произвести двойственную замену & на Ú и Ú на &.

Пример 1.18.

F = (AÚB)) &(AÚBÚCÚD).

Преобразовать формулу к виду СКНФ:

1) F = (AÚBÚC) &(AÚBÚC) &(AÚBÚCÚD);

2) F = (AÚBÚCÚD)&(AÚBÚCÚD)&(AÚBÚCÚD) &(AÚBÚCÚD) &(AÚBÚCÚD).

Совершенные нормальные формы удобно записывать, используя таблицы истинности, по значениям переменных и значению логической функции.

Алгоритм представления логической функции, заданной таблицей, формулой в СДНФ.

Шаг 1. Выбираем в таблице все наборы переменных A₁, A₂, ... , A _n, для которых значение F равно И.

Шаг 2. Для каждого такого набора (строки таблицы) составляем конъюнкцию переменных, причем в эту конъюнкцию переменная A_i записывается без изменений (т. е A_i), если ее значение равно “И” и со знаком отрицания (т. е A_i), если ее значение равно “Л”.

Шаг 3. Составляем дизъюнкцию всех полученных конъюнкций. В результате получится формула данной функции в СДНФ.

Для получения формулы в СКНФ следует воспользоваться следующим алгоритмом.

Алгоритм представления логической функции, заданной таблицей, формулой в СКНФ

Шаг 1. Выбираем в таблице все наборы переменных A₁, A₂, ... , A _n, для которых значение F равно Л

Шаг 2. Для каждого такого набора (строки таблицы) составляем дизъюнкцию переменных, причем в эту дизъюнкцию переменная A_i записывается без изменений (т. е A_i), если ее значение равно “Л” и со знаком отрицания (т. е A_i), если ее значение равно “И”.

Шаг 3. Составляем конъюнкцию всех полученных дизъюнкций. В результате получится формула данной функции в СКНФ.

Пример 1.19.

Записать СДНФ и СКНФ для функции, заданной таблицей истинности (таблица 1.6):

Таблица 1.6

a) Формула СДНФ:

F(A,B,C) = А&B&C Ú А&B&C Ú А&B&C Ú А&B&C;

b) Формула СКНФ:

F(A,B,C) = (AÚBÚC) &(AÚBÚC) & (AÚBÚC) &(AÚBÚC).

Замечание. Т. к. всего строк в таблице функции 2ⁿ, то, если число дизъюнктивных членов в СДНФ равно p, а число конъюнктивных членов в СКНФ равно q, то p+q=2ⁿ.

Так, для функции, рассмотренной в примере 1.19, n = 3, p = 4, q = 4, p + q = 8 = 2³.

1.6. Тождественно-истинные и тождественно-ложные формулы. Проблема разрешимости

Определение 1.3. Формула называется тождественно-истинной (тавтологией), если для любых наборов переменных она принимает значение И.

Определение 1.4. Формула называется тождественно-ложной, если для любых наборов переменных она принимает значение Л.

Определение 1.5. Формула называется выполнимой, если для некоторых наборов переменных она принимает значение И.

Проблема разрешимости для логики высказываний заключается в том, чтобы установить, является ли произвольная формула тождественно-истинной.

Теорема 1.1. Формула является тождественно-истинной тогда и только тогда, когда в ее КНФ в любую из элементарных дизъюнкций одновременно входят какая-либо переменная и ее отрицание.

Теорема 1.2. Формула является тождественно-ложной тогда и только тогда, когда в ее ДНФ в любую из элементарных конъюнкций одновременно входят какая-либо переменная и ее отрицание.

Следовательно, приведя формулу равносильными преобразованиями к КНФ, можно установить, является ли она тождественно-истинной, а приведя ее к ДНФ, можно установить, является ли она тождественно-ложной.

Пример 1.20.

Доказать, что формула F = (АB) ((C Ú А) (C Ú B)) является тождественно-истинной.

Последовательно применяя равносильные преобразования, приведем нашу формулу к КНФ:

(АB) ((CÚА) (CÚB)) (АB)Ú ((CА) (CÚB)) (А&B) Ú (CÚА) Ú (C Ú B)(А&B) Ú (C&А) Ú (CÚB) (А ÚC)& (АÚ А) &(BÚC) &(BÚА) Ú (CÚB) (АÚC)&(BÚC)&(BÚА)Ú (CÚB) (АÚCÚCÚB)&(BÚCÚCÚB)&(BÚАÚCÚB).

В первую дизъюнкцию входят C и C. Во вторую – B и B, C и C. в третью – B и B. Следовательно, на основании теоремы 1.1 можно утверждать, что исходная формула является тождественно-истинной.

Так как всякой формуле соответствует таблица истинности, то тождественная истинность или тождественная ложность формулы может быть установлена двумя путями: