Файл: Matlog.doc

A B, C  A, B C, A├.

Перепишем все посылки в виде дизъюнктов:

A B, C  A, B C, A├.

Выпишем по порядку все посылки и начнем их по очереди склеивать по правилу резолюций:

1. A B

2. C  A

3. B C

4. A

5. A  C (1, 3)

6. B (1, 4)

7. A  B (2, 3)

8. C. (2, 4)

9. A (2, 5)

10. C (3, 6)

11. B (3, 8)

12. C (4, 5)

13. B (4, 7)

14.  (4, 9)

Мы видим, что такая стратегия перебора неэффективна. В данном случае существует более быстрый вывод. Например:

5) B. (1, 4)

6) C. (2, 4)

7) B. (3, 6)

8) . (5, 7)

Тема 4. Нечеткая логика

4.1. Нечеткие множества

В 1965 году американский математик Лотфи Заде (L. Zade) опубликовал статью “Нечеткие множества” (“Fuzzy sets”). Было дано новое определение понятия множества, предназначенное для описания сложных плохо определенных систем, в которых наряду с количественными данными присутствуют неоднозначные, субъективные, качественные данные

Понятие множества лежит в основе всех математических конструкций, и статья Заде породила новое научное направление. Произошло “раздвоение” математики, появились нечеткие функции, нечеткие отношения, нечеткие уравнения, нечеткая логика и т. д. Эти понятия широко используются в экспертных системах, системах искусственного интеллекта. Изложим основные понятия нечетких множеств.

Определение 4.1. Нечетким множеством на множестве X назовем пару (X, m_A), где m_A(x) – функция, каждое значение которой m_A(x) Î [0, 1] интерпретируется как степень принадлежности точки xÎX множеству. Функцияm_A – называется функцией принадлежности множества .

Для обычного четкого множества a можно положить

m_A(x) =

Таким образом, обычное множество является частным случаем нечеткого множества.

Функцию принадлежности, как и всякую функцию, можно задавать таблично или аналитически.

Пример 4.1.

Приведем пример нечеткого множества , которое формализует понятие "несколько", ясного лишь на интуитивном уровне.

Пусть X = {1, 2, 3, …, n,…} – множество натуральных чисел, а функция m_A(x) задана таблицей:

Аналогично можно ввести понятия "много", "мало", "около 100", "почти 20", и т.д.

Переменные, значениями которых являются нечеткие множества, называются лингвистическими. Это основной тип переменных в языке людей.

Пример 4.2.

Пусть X = (0, ¥) – множество положительных чисел, а функция m_A(x) задана формулой:

m_A(x) =

График этой функции изображен на рис. 4.1.

Рис. 4.1

Если переменную x интерпретировать как возраст, то нечеткое множество соответствует понятию "старый". Аналогично можно ввести понятия "молодой", "средних лет" и т. д.

Пример 4.3.

Переменная "расстояние" принимает обычно числовые значения. Однако в предложениях естественного языка она может фигурировать как лингвистическая со значениями: "малое", "большое", "среднее", "около 5 км" и т. д. Каждое значение описывается нечетким множеством. Пусть речь идет о поездках на такси по городу. В качестве универсального множества X можно взять отрезок [0, 100] км и задать функцию принадлежности значений так, как показано на рис. 4.2.

Рис.4.2

Операции с нечеткими множествами

Введем операции с нечеткими мнножествами аналогично операциям с обычными множествами.

Пусть и – два нечетких множества с функциями принадлежности m_A(x) и m_B(x).

В табл. 4.1 приведены названия основных операций, их лингвистический смысл и формула для определения функции принадлежности множества , которое является результатом соответствующей операции.

Табл. 4. 1

Нечеткое множество называется пустым, если m_A(x) = 0 для всех xÎX.

Пример 4.4.

Пусть X – множество студентов, – множество пожилых людей. Множество– пустое,m_A(x) = 0 для всех xÎX, так как пожилых студентов, вообще говоря, не бывает.

Введенные для нечетких множеств операции позволяют конструировать сложные понятия из простых: очень много, не старше и не моложе и т. д. По аналогии с четкими множествами определяется отношение включения множества в множество , а именно является подмножеством тогда и только тогда, когда m_A(x)  m_B(x) для всех xÎX.

Мы видим, что понятие нечеткого множества носит субъективный характер, такова и его формализация. Результаты, полученные с помощью аппарата алгебры нечетких множеств, должны носить качественный характер. Большей объективности выводов можно добиться, получив оценки функции принадлежности m_A(x) путем опроса экспертов.

4.2. Нечеткие высказывания

Определение 4.2. Нечетким высказыванием называется высказывание ,степень истинности которого () можно оценить числом из интервала [0, 1],()Î [0, 1]. Если () = 0,5, то высказывание называетсяиндиффирентным.

Определение 4.3. Нечеткой высказывательной переменной называется нечеткое высказывапние, степень истинности которого может меняться в интервале [0, 1].

Так как степень истинности нечеткого высказывания не связана с сутью высказывания, будем в дальнейшем отождествлять нечеткое высказывание с его степенью истинности аналогично тому, как обычное четкое высказывание отождествлялось с его истинностью или ложностью (см. п. 1. 1). Нечеткие высказывания и степень их истинности будем обозначать большими буквами с тильдой:: , , , и т. д.

На множестве нечетких высказываний вводятся логические операции, аналогичные операциям алгебры высказываний.

1. Отрицание нечеткого высказывания:

= 1 – . (4.1)

2. Конъюнкция нечетких высказываний:

& = min(,). (4.2)

3. Дизъюнкция нечетких высказываний: