Файл: Кратные интегралы 17 09 2008.docx

Решение

Контуром проекции вырезанной части на плоскость xOyявляется лемниската(рис.1.30).

Рисунок. 1.30

Цилиндр вырезает из параболоида два равных куска поверхности. Чтобы вычислить их общую площадь, воспользуемся формулой (1.10). Для нее из уравнения параболоида получим подынтегральную функцию.,. Следовательно,. Преобразуем интеграл к полярным координатам. Подынтегральная функция запишется в виде, а уравнение лемнискаты – в виде, или.

Так как параболоид и цилиндр симметричны относительно плоскостей xOz,yOz, то достаточно вычислить интеграл по одной четвертой части лемнискаты, расположенной в первой четверти плоскостиxOz. Следовательно, пределами интегрирования будут:. Получим:, откуда.

1.6.4. Некоторые приложения двойных интегралов к механике

ПРИМЕР 1.Найти массу квадратной пластинки со стороной 2a, если плотность материала пластинки пропорциональна квадрату расстояния от точки пересечения диагоналей и на углах квадрата равна единице.

Решение

Пластинку естественно расположить в прямоугольной системе координат таким образом, чтобы точка пересечения диагоналей совпадала с началом координат, а стороны были параллельны координатным осям (рис. 1.31).

Масса плоской фигуры вычисляется по формуле

_{где -}плотности распределения массы по плоской фигуре.

Если плоская фигура однородная, то есть величина постоянная.

Рисунок. 1.31

После этого можно составить функцию плотности материала пластинки по условиям задачи. ПустьM(x,y) – произвольная точка квадрата. Тогда квадрат расстояния от точки пересечения диагоналей (начало координат) будет равен. Следовательно, плотность в точкеMпредставится в виде, гдеk– коэффициент пропорциональности. Чтобы найти числовое значение этого коэффициента, используем известное значение плотности на углах квадрата. Возьмем, например, вершину угла (a,a). Тогда получим: 1 =k (a²+a²), откуда.

Подставляя найденное значение kв выражение функции плотности, окончательно получим:. Теперь остается только вычислить двойной интеграл.

Учитывая, что подынтегральная функция четная относительно xиy(т.е. плотность симметрична относительно начала координат), можем ограничиться вычислением интеграла только по одной четвертой части области (D), расположенной в первой четверти

m==

= ===.

ПРИМЕР 2.Найти статические моменты относительно осей координат сегмента эллипса, ограниченного прямой(рис. 1.32).

Решение

В данной задаче о плотности ничего не упоминается. Следовательно, она предполагается постоянной и равной единице и масса фигуры численно равна ее площади. Отсюда получаем:

Рисунок. 1.32

ПРИМЕР 3.Найти центр тяжести фигуры, ограниченной двумя параболамии.

Решение

Для нахождения координат центр тяжести достаточно вычислить по заданной области три интеграла, определяющие массу и статические моменты этой области (рис.1.33):

Рисунок. 1.33

Координаты центра тяжести равны:

Следовательно, .

ПРИМЕР 4.Найти момент инерции круга радиусаrотносительно точки, лежащей на окружности.

Решение

Составим уравнение окружности, проходящей через начало координат:

и вычислим момент инерции . Получим:.

Вычислим интеграл в полярных координатах.

В полярной системе координат уравнение данной окружности представится в виде . Получим:

I_O= 2= 2===

= =.

ПРИМЕР 5.Вычислить момент инерции площади эллипсаотносительно оси ординат.

Решение

ПРИМЕР 6.Вычислить момент инерции площади, ограниченной параболой и прямойотносительно прямой.

Решение

Как видно из чертежа (рис. 1.34), расстояние любой точки (x,y) фигуры (D) до осибудет равно, а квадрат расстояния. Следовательно,

.

Рисунок. 1.34

2. Тройные интегралы

2.1. Задача о вычислении массы тела

Рассмотрим тело (V), плотность которого известна, но переменна, т.е. в разных точках различна, и предположим, что нам требуется подсчитать массуэтого тела. Для этого разобьем тело (V) произвольным образом на элементарные тела соответственно с объемамии выберем в каждом из них по точке. Примем приближенно, что в пределах элементарного телаплотность постоянна и равна плотностив выбранной точке. Тогда массакаждого элементарного тела приближенно выразится следующим образом:

,

масса же всего тела будет

.

В пределе, при стремлении к нулю наибольшего из диаметров d всех областей , это равенство делается точным, так что

, (2.1)

и задача решена.

Предел этого вида и есть тройной интеграл от функции по области . В принятых нами для них обозначениях полученный выше результат запишется так:

.

2.2. Определение тройного интеграла

Возьмем произвольную фигуру в пространстве, представляющую собойограниченную и замкнутую область. Условие существования объема для данной области в пространстве заключается в том, чтобы область была ограничена одной или несколькими гладкими поверхностями. В этом случае область называют кубируемой. В дальнейшем будем рассматривать только кубируемые области пространства.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Ограниченная замкнутая область пространства называется телом.

Пусть в некотором теле задана функция. Разобьем это тело с помощью сети поверхностей на конечное число элементарных телсоответственно с объемами. Выберем в каждом из них произвольным образом по точке. Значение функции в этой точкеумножим на объеми составиминтегральную сумму для функции по телу

. (2.2)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Конечный предел интегральной суммы (2.2) при стремлении к нулю наибольшего из диаметровd всех элементарных тел называетсятройным интегралом функции в области , если он не зависит ни от способа разбиения телана элементарные тела, ни от выбора точекM_k в каждом из них:

.

Он обозначается символом .

Теорема 1. (необходимое условие существования тройного интеграла). Если функция интегрируема в ограниченной замкнутой области пространства, то она ограничена в этой области.

Теорема 2. (достаточное условие существования тройного интеграла). Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области пространства, то она интегрируема в ней.

Из пункта 2.1. следует физический смысл тройного интеграла. Если функция есть плотность распределения массы по телу, то тройной интеграл от функциив областиравен массе этого тела:.