Файл: Кратные интегралы 17 09 2008.docx

Область является правильной относительно всех осей. Проектируем тело на плоскость xOy. Проекция области (V)на выбранную плоскость изображена на рис. 2.7. Тогда исходный интеграл сводится к повторному, с пределами интегрирования (рис. 2.6) по переменнойхот 0 до 2, поуот 0 до 2x, и, в соответствии с рис. 1, по осиzот плоскостиz= 0 до «седла»xy.

= ===

= ====.

2.4.2. Замена переменных в тройных интегралах

Идеи, развитые в пункте 1.5.2. в связи с преобразованием плоских областей, естественно переносятся и на случай пространственных областей.

Предположим, что даны два трехмерных пространства с системами координат xyz, иuvw. Рассмотрим в этих пространствах две замкнутые области: область (V) в пространствеи областьв пространстве, ограниченные соответственно поверхностямии, которые мы всегда будем предполагать кусочно-гладкими. Допустим, что эти области связаны между собойвзаимно однозначнымнепрерывным соответствием, которое осуществляется формулами:

, (2.3)

При этом необходимо, чтобы точкам поверхности отвечали именно точки поверхностии наоборот.

Пусть функции (2.3) имеют в области непрерывные частные производные.

Определение 4. Определитель третьего порядка следующего вида

(2.4)

называют якобианом перехода от декартовых координат к криволинейным и обозначают .

Числа , однозначно характеризующие положение точки в пространствеxyz, называютсякриволинейными координатами этой точки. Точки пространстваxyz, для которых одна из этих координат сохраняет постоянное значение, образуюткоординатную поверхность. Всегда будет существовать три семейства таких координатных поверхностей; через каждую точку области (V) проходит по одной поверхности каждого семейства.

Тогда формула перехода от декартовых координат к криволинейным координатам будет иметь следующий вид:

. (2.5)

ЗАМЕЧАНИЕ 1. На практике рассматривают не два координатных пространствах, а одно совмещенное.

а) Цилиндрические координаты представляют соединение полярных координат в плоскостис обычной декартовой аппликатойz(рис. 2.8).

Рисунок. 2.8

Формулы, связывающие их с декартовыми координатами, имеют вид

Эти формулы отображают область 0 ≤ ρ < +, 0 ≤ φ < 2π, –<z< +на все пространствоxyz. Отметим, однако, что прямаяотображается в одну точку (0,0,z); этим нарушается взаимная однозначность соответствия. Координатные поверхности в рассматриваемом случае будут:

а) - цилиндрические поверхности с образующими, параллельными оси; направляющими для них служат окружности на плоскостис центром в начале;

б) - плоскости, проходящие через ось;

в) - плоскости, параллельные плоскости.

По формуле (2.4) получаем якобиан преобразования:

, (2.6)

а формула перехода (2.5) принимает вид

. (2.7)

б) Сферические координатысвязаны с декартовыми формулами:

, (2.8)

где .

Геометрический смысл величин ясен из рисунка 2.9:rесть радиус-векторOM, соединяющий начало с данной точкойM;- угол, составляемый этим радиус-вектором с осьюOz;- угол, составляемый с осьюOxпроекциейрадиус-вектораOMна плоскостьxOy.

Рисунок. 2.9

Координатные поверхности составляют три семейства:

а)- концентрические сферы с центром в начале координат;

б) - круговые конусы, осью которых служит осьOz;

в) - плоскости, проходящие через осьOz.

По формуле (2.4) получаем якобиан преобразования:

,(2.9)

а формула перехода (2.5) принимает вид

. (2.10)

2.5. Приложения тройных интегралов

1. Вычисление объема

V=.

2. Масса тела

m=,

где ρ(x,y,z) – плотность распределения масс в произвольной точке тела (V).

3. Статические моменты

M_xy=,

M_zx=,

M_yz=,

M_z=.

4. Моменты инерции тела относительно осей координат

I_x=,

I_y=,

I_z=.

5. Координаты центра тяжести тела

X_c=,

Y_c=,

Z_c=.

Пример 1. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:

x= 5,x=,z= 0,z+y=.

Решение

Воспользуемся следующей формулой для вычисления объема тела:

V=. (2.11)

Таким образом, задача отыскания объема тела сводится к вычислению тройного интеграла по соответствующей фигуре.

Выполним рисунок области интегрирования, ограниченной заданными в условии поверхностями (рис. 2.10).

Рисунок. 2.10 Рисунок. 2.11

Область является правильной относительно всех осей. Проектируем тело на плоскость xOy. Проекция областиVна выбранную плоскость изображена на рис. 2.11. Тогда исходный интеграл сводится к повторному, с пределами интегрирования (рис. 2.11) по переменнойyот 0 до(так как область не является простой относительно плоскостиxOz), поxотдо 5, и, в соответствии с рис. 1 по осиzот плоскостиz= 0 до плоскостиz=–y.

= ===

= ==

= =.

Пример 2. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:x²+y²– 2x= 0,z= 7 – 4y²,z= 1.

Решение

Воспользуемся формулой (2.11) для вычисления объема тела и, таким образом, задача отыскания объема тела сводится к вычислению тройного интеграла по соответствующей фигуре.

Выполним рисунок области интегрирования, ограниченной заданными в условии поверхностями (рис. 2.12).

Рисунок. 2.12 Рисунок. 2.13

Область является правильной относительно всех осей. Проектируем тело на плоскость xOy. Проекция областиVна выбранную плоскость изображена на рис. 2.13.

Так как одна из образующих поверхности тела – цилиндр, то удобнее перейти в цилиндрическую систему координат. Уравнения поверхностей в цилиндрической системе координат имеют вид:

ρ²– 2ρcosφ= 0,z= 7 – 4ρ²sin²φ,z= 1.

Тогда исходный интеграл сводится к повторному, с пределами интегрирования (рис. 2.12) по переменной zот 1 до 7 – 4ρ²sin²φ, по переменной ρ от 0 до 1, по φ от 0 до 2π (т.к. проекция на плоскостьxOy– окружность с единичным радиусом, рис. 2.13). Тогда, с учетом якобиана перехода, имеем:

= ===