Файл: Кратные интегралы 17 09 2008.docx

.

5. Если для интегрируемых в области функцийивыполняется неравенство, то.

6. В случае интегрируемости функции в областиинтегрируема и функция |f(x,y)| в области, и имеет место неравенство.

7. ТеоремаО СРЕДНЕМ. Если функциянепрерывна в области, то найдется такая точкав области, что=f·S_D, гдеS_D– площадь областиD.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Свойство 3 обобщается на любое конечное число функций.

Свойство 4 обобщается на любое конечное число областей.

1.4. Сведение двойного интеграла к повторному интегралу

Продолжая трактовать двойной интеграл геометрически, как объем цилиндрического бруса, дадим указания относительно его вычисления путем сведения к повторному интегралу.

Ранее рассматривалась задача вычисления объема тела по его поперечным сечениям. Напомним относящуюся сюда формулу. Пусть тело ограничено плоскостямии(рис.1.2).

Рисунок. 1.2

Допустим, что сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси абсцисс и отвечающей абсциссе , имеет площадь. Тогда объем тела, в предположении его существования, выразится формулой

. (1.4)

Применим теперь эту формулу к вычислению объема цилиндрического бруса, о котором шла речь выше. Начнем с простого случая, когда в основании бруса лежит прямоугольник [a,b;с,d] (рис.1.3).

Рисунок. 1.3

Сечение бруса плоскостью есть криволинейная трапеция. Для нахождения ее площади спроектируем эту фигуру на плоскость. Получим конгруэнтную с ней трапецию(ибо проектирование происходит без искажения). Но уравнение линиина плоскости, очевидно, будет.

Пользуясь известным выражением площади криволинейной трапеции в виде определенного интеграла, будем иметь . Так как наше рассуждение относится к любому сечению, то вообще для. Подставляя это значениев формулу (1.4), получим. Но мы имеем для объемаи выражение (1.2*), следовательно,- двойной интеграл приведен к повторному.

Аналогичный результат можно получить и для общего случая, когда область на плоскостипредставляет собой криволинейную трапецию, ограниченную двумя кривыми:и двумя прямымии(рис. 1.4). Разница по сравнению с рассмотренным случаем состоит в следующем: раньше при любом фиксированнымизменениепроисходило в одном и том же промежутке, а теперь этот промежутоксам зависит от, так что

.

Окончательно получим: .

Рисунок. 1.4

1.5. Вычисление двойных интегралов

1.5.1. Вычисление двойных интегралов в декартовых координатах

Определение 4. Областьназывается правильной в направлении оси ординат, если любая прямая, проходящая через внутренние точки областипараллельно оси ординат, пересекает границу этой области в двух точках.

Аналогично дается определение области, правильной в направлении оси абсцисс.

Следующие две теоремы позволяют вычислять двойные интегралы в декартовых координатах.

ТЕОРЕМА 3. Если функция непрерывна в области, область- правильная в направлении оси ординат (рис. 1.4), то

.

ТЕОРЕМА 4. Если функция непрерывна в области, область- правильная в направлении оси абсцисс (рис. 1.5), то

.

Рисунок. 1.5

ПРИМЕР 1. Записать двойной интегралв виде

повторных интегралов (двумя способами), если:

а)областьограничена прямымиx= 1,x= 2,y= 0,y= 4.

Решение

Построив на чертеже прямые, ограничивающие область интегрирования, видим, что представляет собой прямоугольник, стороны которого параллельны координатным осям (рис.1.6). В этом случае обе переменныеиизменяются в постоянных пределах, а формулы для вычисления двойного интеграла принимают соответственно вид:

= ;=.

б)областьограниченна линиямиx= 0,x²+y²=r², причемx≥ 0,r> 0.

Решение

Изобразим область интегрирования на чертеже (рис.1.7). Возьмем сначала постоянные пределы по переменной. Ими будут числаи. Для каждого значенияиз отрезкапринимает значения отдо.

Получим: .

Рисунок. 1.6 Рисунок. 1.7

Если постоянные пределы взять по , топринимает значения отдо. Получим:

.

Вообще при определении переменных пределов интегрирования полезно пользоваться следующим правилом: пусть изменяется в постоянных пределах(рис.1.8). Чтобы получить пределы интегрирования по, пересечем областьлучом, параллельным и одинаково направленным с осью ординат. Граница области, которую луч пересечет при входе в область, будет нижней границей этой области, а ее уравнение, решенное относительно, служит для установления нижнего предела интегрирования по.

Рисунок. 1.8

Граница области, которую луч пересекает, выходя из области, будет верхней границей этой области, а ее уравнение, решенное относительно , служит для установления верхнего предела интегрирования по.

Аналогичным образом при постоянных пределах по определяются переменные пределы по.

ПРИМЕР 2. Записать двойной интегралв виде повторных интегралов (двумя способами), если область– квадрат, ограниченный прямыми.

Решение

Строим на чертеже область интегрирования(рис.1.9). Пусть постоянны пределы интегрирования по. Ими будут –1 и +1. Проведем через областьлуч, параллельный и одинаково направленный с осью. Как нижняя, так и верхняя границы области состоят из двух отрезков, пересекающихся соответственно в точках (0,–1) и (0,1).

Поэтому разобьем область на две части прямой. Тогда получим:

.

Рисунок. 1.9

Аналогично при выборе постоянных пределов по получим:

= +.

ПРИМЕР 3.Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

Решение

Решение данной задачи состоит из двух частей:

а) восстановить область интегрирования (D) по известным пределам данного повторного интеграла;

б) записать повторный интеграл с постоянными пределами по yи переменными поx.

Так как внутренний интеграл взят по y, то, следовательно, пределы внутреннего интеграла получены из уравненийy= 2xиy= 2 –x. Это уравнения прямых, которые составляют какую-то часть границы области интегрирования (D). Изобразим прямые на чертеже (рис.1.10). Решая совместно уравненияy= 2xиy= 2 –x, найдем точку пересечения этих прямых. Так как дано, что абсциссаxточек области (D) изменяется в пределах от 0 до, то можно заключить, что искомой областью (D) является фигура, ограниченная линиямиx= 0,y= 2xиy= 2 –x.