Файл: Кратные интегралы 17 09 2008.docx

Кратные интегралы:Методические указания к типовому расчету по курсам "Математика" и "Математический анализ" / Сост.: Борисов А.В., Новикова Т.Н. – Смоленск: филиал ГОУВПО «МЭИ(ТУ)», 2008 г. – 60 с.

Методические указания призваны помочь студентам при выполнении типового расчета по теме «Кратные интегралы». Они содержат необходимый теоретический материал и решения примеров, аналогичных примерам типового расчета по указанной теме. Пособие предназначено для студентов 1 курса всех специальностей и 2 курса специальности «Пищевая инженерия малых предприятий» при изучении курса высшей математики.

1. Двойные интегралы

1.1. Задача об объеме цилиндрического бруса

Точно так же, как задача о площади криволинейной трапеции привела нас к понятию простого определенного интеграла, аналогичная задача об объеме цилиндрического бруса приведет нас к новому понятию – двойного интеграла.

Рассмотрим тело (V), которое сверху ограничено поверхностью

z = f (x, y), (1.1)

cбоков - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси, снизу – плоской фигуройна плоскости(рис.1.1). Требуется найти объемтела.

Рисунок. 1.1

Для решения этой задачи мы прибегнем к обычному в интегральном исчислении приему, состоящему в разложении искомой величины на элементарные части, приближенному подсчету каждой части, суммированию и последующему предельному переходу. С этой целью разобьем область сетью кривых на частии рассмотрим ряд цилиндрических столбиков, которые имеют своими основаниями эти частичные области и в совокупности составляют данное тело.

Для подсчета объема отдельных цилиндрических столбиков возьмем произвольно в каждой фигуре по точкеM_k. Если приближенно принять каждый столбик за цилиндр с высотой, равной аппликате, то объем отдельного столбика оказывается приближенно равным, гдеозначает площадь фигуры.В таком случае приближенное выражение объема всего тела будет

Определение 1. Если взять любые пары точек в области то верхняя грань множества расстояний между ними называется диаметром области, обозначаетсяd.

Для повышения точности этого равенства будем уменьшать размеры площадок , увеличивая их число. В пределе, при стремлении к нулю наибольшего из диаметровdвсех областей , это равенство делается точным, так что

, (1.2)

и поставленная задача решена.

Предел этого вида и есть двойной интеграл отфункции f (x,y) по области ; он обозначается символомили, так что формула (1.2) для объема принимает вид

. (1.2^*)

Таким образом, двойной интеграл является прямым обобщением понятия простого определенного интеграла на случай функции двух переменных.

1.2.Определение двойного интеграла

Возьмем произвольную фигуру на плоскости, представляющую собойограниченнуюизамкнутуюобласть. Ее границу мы всегда будем представлять в виде замкнутой кривой (или нескольких таких кривых).

Определение 2. Областьназывается квадрируемой, если она имеет площадь.

Замечание 1. В дальнейшем будем рассматривать только квадрируемые области.

Пусть в области определена функция двух переменных. Разобьем областьсетью кривых наконечное число элементарных областейсоответственно с площадями. В каждой элементарной областивозьмем по произвольной точке, значение функции в этой точкеумножим на площадьсоответствующей области и все подобные произведения сложим. Полученную сумму

(1.3)

будем называть интегральной суммой для функции f (x, y) по области (D).

Обозначим через наибольший из диаметровэлементарных областей.

Определение 3. Если при стремлении к нулю наибольшего из диаметровсуществует конечный пределинтегральной суммы (1.3), и он не зависит ни от способа разбиения областина элементарные области, ни от выбора точекв каждой элементарной области, то этот предел называетсядвойным интегралом отфункции по областии обозначается.

Теорема1. (необходимое условие существования двойного интеграла). Если функцияинтегрируема в ограниченной замкнутой области, то она ограничена в этой области.

Теорема2. (достаточное условие существования двойного интеграла). Если функциянепрерывна в ограниченной замкнутой области, то она интегрируема в ней.

Из пункта 1.1. следует геометрический смысл двойного интеграла. Если функциянеотрицательна:- и интегрируема в области, то двойной интеграл от функциипо областиравен объему тела, сверху ограниченного поверхностью,cбоков - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси, снизу – областьюна плоскости:.

1.3. Свойства двойного интеграла

1. .

2. Если функцию , интегрируемую в области, умножить на постояннуюk, то полученная функцияk f (x,y) также будет интегрируема в области, причем

3. Если в области интегрируемы функциии, то интегрируема и функция, причем

4. Если область , в которой задана функция, кривойразделена на две областии, то из интегрируемости функцииво всей областиследует ее интегрируемость в областяхи, и обратно – из интегрируемости функции в обеих областяхивытекает ее интегрируемость в области. При этом