Файл: финансовая математика.doc

Пример. Два платежа - 1 и 0,5 млн руб. со сроками уплаты соответственно 150 и 180 дней - объединяются в один со сроком 200 дней. Определите консолидированную сумму долга, если стороны согласились на применение простой ставки, равной 20 %.

Решение. Приводя суммы 1 и 0,5 млн руб. к сроку n₀ = 200 дней, получим уравнение эквивалентности (К = 360):

S₀ = 1000 (1 + 0,2) + 500 (1 +0,2) = 1533,32 тыс. руб.

Пример. Имеется два кредитных обязательства - 500 тыс. руб. и 600 тыс. руб. со сроками уплаты 01.10 и 01.01 (нового года).

По согласованию сторон обязательства были пересмотрены на новые условия: первый платеж в размере 700 тыс. руб. должник вносит 01.02, остальной долг он выплачивает 01.04. Ставка сравнения 10 % простая. Рассчитайте величину второго платежа S₀.

Решение. За дату приведения примем 01.01 (нового года), К = 360. Учитывая, что 01.10 - 274-й порядковый день в году, 01.02 - 32-й день, 01.04 - 91-й день, запишем уравнение эквивалентности:

500 (1 + 0,1) + 600 = 700 (1 +0,1)^-1 + S ₀ (1 + 0,1)^-1.

Решая это уравнение относительно S₀, находим: S₀ = 409,417 тыс. руб.

Задачи

7.1. Долг в размере 300 тыс. руб. должен быть выплачен через два года. Найдите эквивалентные значения для этой суммы (ставка сравнения 25 %):

а) в конце первого года,

б) через 5 лет.

Ответ: а) 240 тыс. руб.; б) 585,938 тыс. руб.

7.2. Вычислите эквивалентное значение долга, которого он достигнет через два года, если в настоящее время он составляет 42 тыс. руб. Проценты начисляются поквартально по ставке 40 % годовых. Ответ: 90,031 тыс. руб.

7.3. Исходный поток платежей составляет: 200 тыс. руб. - через один год, 175 тыс. руб. - через два года, 210 тысяч руб. - через 4 года. Замените его эквивалентным множеством, состоящим из двух выплат, равных по величине, первая из которых осуществляется через 1,5 года, а вторая - через 4 года. Проценты начисляются по ставке 8 % годовых каждые полгода.

7.4. Долг должен быть погашен двумя платежами: 100 тыс. руб. через один год и 370 тыс. руб. через три года. Определите срок, при котором замена обеих выплат одной, в размере 480 тыс. руб., будет эквивалентной при ставке – 15 % годовых.

7.5. По условиям контракта, заключенного 01.02, за полученные в кредит товары фирма должна заплатить через 120 дней - 1,5 млн руб., а затем через 240 дней еще 1,2 млн руб. Достигнуто соглашение с кредитором об изменении условий контракта. Платежи производятся равными суммами: первый платеж - через 90 дней, второй - через 180 дней. При расчете применяется простая ставка 10 % годовых. Определите величину каждого платежа. Ответ: 1,3361 млн руб.

7.6. Строительная фирма получила в банке долгосрочный кредит в размере 5 млн. руб. под 6 % годовых (проценты сложные), срок погашения - через 5 лет. Впоследствии стороны пересмотрели условия займа и выработали новые: через три года производится выплата 3 млн. руб., остальная сумма выплачивается через 4 года. Процентная ставка сохраняется прежней. Определите сумму окончательного платежа.

7.7. Заемщик должен уплатить кредитору 10 млн руб. через 5 лет. Стороны согласились изменить условия погашения долга: через 2 года выплачивается 3 млн руб., а оставшийся долг спустя 4 года после первой выплаты. Определите сумму окончательного платежа, если сложная процентная ставка равна 10 % годовых.

8. Анализ эффективности инвестиционных процессов

В условиях рыночной экономики инвестирование позволяет нарастить капитал. Для этого надо уметь анализировать инвестиционные процессы.

В инвестиционном проекте средства сначала вкладываются в какую-либо сферу (производство, строительство, торговля, ценные бумаги и т.д.) а затем они постепенно возвращаются, принося инвестору к концу срока проекта определенную прибыль.

Задача инвестора: на основе имеющихся на момент начала проекта данных о доходности вложений в различные сектора рынка и их прогнозе на период реализации проекта выбрать оптимальный вариант вложения имеющихся у него финансовых средств.

Хотя такая задача сложна и содержит в себе моменты неопределенности и риска, но даже простые модели позволяют многое прояснить, выяснить связи между параметрами инвестиционных процессов, допустимые диапазоны их изменения и т.д. и, в конечном счете, принять правильное решение.

Непосредственным объектом анализа инвестиционных процессов являются потоки платежей, в которых инвестиции отрицательны, доходы положительны.

8.1. Модель дискретного потока платежей

Рассмотрим модель детерминированного дискретного потока денежных расходов (капитальных вложений) и поступлений в инвестиционном процессе.

Пусть инвестиционный проект начинается в момент t=0 с капвложения R(0) рублей. Затем в моменты t_k происходят инвестиции в размере R(t_k ) или доходы в размере P(t_S ) руб.

Определение. Современной стоимостью PV (Present Value) потока платежей называется сумма приведенных к моменту t=0 величин этих платежей. В нашем случае современные стоимости инвестиций и доходов вычисляются cоответственно по формулам:

Здесь V(t_k) = (1+i)^-t_k - коэффициент приведения (дисконтирования).

Определение. Чистым приведенным доходом NPV (Net Present Value) называется алгебраическая сумма всех платежей, приведенных к моменту t=0 по ставке процента i:

NPV = VP_P - PV_R .

Чистый приведенный доход характеризует общий абсолютный результат инвестиционной деятельности. Ставка процентов, по которой производится дисконтирование, называется ставкой сравнения или спот-ставкой.

8.2. Модель непрерывного потока платежей

В коммерческой практике встречается случай, когда фирме приходится производить частые, но небольшие денежные расходы и поступления. Если баланс финансового потока подсчитывается также часто, то такие платежи при теоретическом финансовом анализе можно описать с помощью модели непрерывного потока платежей. Пусть на временном отрезке [0,T] расходы и доходы поступают с интенсивностью R(t) руб/год. На отрезке [t, t+t] величина потока платежей составит R(t) t руб. Приведенная величина этого потока на момент t = 0 на данном отрезке  R(t) V(t) t, где V(t)=(1+i)^-t. Суммируя по всему отрезку [0,T] и переходя к пределу при t  , получим:

Следовательно, чистый приведенный доход на отрезке [0,T] равен

Данная модель позволяет анализировать те этапы инвестиционного проекта, когда не было значительных вложений или поступлений.

Пример. Рассмотрим инвестиционный проект, реализация которого потребует Т=12 лет и предполагает следующий дискретно-непрерывный поток платежей (десятки. тыс. долл.):

С(0) = 5; С(1) =  10; С(12) = 6; r(t) = 3 при 3  t  12.

Найти NPV данного проекта при ставках сравнения i = 10 % и 15 %.

Решение.

NPV(10 %) = 1,44; NPV(15 %) = - 2,47.

8.3. Показатели эффективности инвестиций

Методы, которыми осуществляют оценку эффективности инвестиционного процесса, основаны на приведении финансовых потоков инвестиций к одному моменту времени, следовательно, важным моментом является выбор ставки сравнения, по которой производится дисконтирование. Какую ставку принять в данной ситуации - дело макроэкономического анализа и прогноза. В общем случае для решения таких задач применим и стохастический анализ и экономико-математическое моделирование. Для выбора вариантов инвестиционного проекта (ИП) применяемые методики чаще всего основаны на использовании четырех показателей:

1. Чистая современная стоимость (NPV);

2. Период (срок) окупаемости;

3. Внутренняя норма доходности;

4. Индекс рентабельности (рентабельность).

Каким образом вычисляется первый показатель, мы уже рассмотрели в предыдущем пункте. Отрицательное значение NPV говорит о нецелесообразности для инвестора данного варианта ИП. Среди вариантов с NPV0 выбирают тот, у которого NPV больше. Однако этот лучший с точки зрения NPV проект надо еще сравнить с вариантом вложения средств на банковский депозит, учитывая, что риск в этом случае меньше.

Рассмотрим пример, для которого последовательно вычислим все показатели эффективности ИП.

Пример (основной). Даны два варианта ИП А и Б, которые характеризуются следующими потоками платежей (все показатели отнесены на конец года) (см. рис. 8):

С_А = (-100; -150; 50; 150; 200; 200),

С_Б = (-200; -50; 50; 100; 100; 200).

Рис. 8

Первый показатель у каждого потока отнесен к первому году, следующий ко второму и т.д. При ставке сравнения i = 10% получим:

NPV_А = 162,2; NPV_Б = 57,7.

Следующий показатель - срок окупаемости (n_ок). Это срок, за который можно возвратить инвестированные в проект деньги. Рассмотрим определение срока окупаемости без учета фактора времени. В этом случае n_ок находим последовательным суммированием доходов и подсчетом времени до тех пор, пока сумма дохода не окажется равной сумме инвестиций.

Пример. Сравним по сроку окупаемости n_ок два варианта ИП из основного примера. Для варианта А суммируем годовые доходы: