Файл: финансовая математика.doc

На рис. 5 цифра 3 (1,5 года) означает начало ренты. Начало выплат у отложенной ренты сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени. Ясно, что сдвиг по времени никак не отражается на величине наращенной суммы. Иное дело - современная стоимость ренты А.

Пусть рента выплачивается спустя k лет (или периодов) после начального периода времени. На рис.5 начальный период обозначен цифрой 0, а современная стоимость обычной ренты - А. Тогда современная величина отложенной на k лет ренты А_k равна дисконтированной величине А, то есть

А_k = А(1+ i )^-k = R·а (n;i) (1+ i )^-k . ( 19 )

Пример. Найдите текущее значение отложенной ренты с выплатами по 100 тыс. руб. в конце каждого полугодия, если первая выплата произойдет через два года, а последняя - через пять лет. Проценты начисляются по ставке 20 % за полгода.

Решение. Начало ренты через три полугодия. Первая выплата производится в конце четвертого полугодия, а последняя - в конце. Всего 7 выплат. Из формулы (18) при k = 3; n = 7; i = 0,2 , получим:

А₃ = 100·= 208599 руб.

Пример. Найдите величину ежегодных выплат отложенной на два года ренты сроком 5 лет, современное значение которой 430 тыс. руб. Проценты начисляются по ставке 21 % годовых.

Решение. Из формулы (19) находим:

R = А_k (1+ i )^k _/а(n;i)_.

При k = 2; n = 5; i = 0,21 , получим:

R = 430 ·1,21²= 215163 руб.

Нами был рассмотрен метод расчета наращенной суммы и современной величины, когда выплаты по ренте производятся один раз в году и начисление процентов происходит также один раз в году. Однако в реальных ситуациях (в контрактах) могут предусматриваться и другие условия поступления рентных платежей, а также порядок начисления на них процентов.

5.4. Годовая рента при начисление процентов m раз в году

В этом случае рентные платежи вносятся 1 раз в году. Начисление процентов будет производиться по ставке j_/m , где j - номинальная (годовая) ставка сложных процентов. Величина наращенной суммы получится из формулы (16) , если в ней положить

i = (1+ j_/m )^m - 1 (см. (11)).

В результате получим:

(20)

Пример. Страховая компания, заключившая договор с фирмой на 3 года, ежегодные страховые взносы в размере 500 тыс. руб. помещает в банк под 15% годовых с начислением процентов по полугодиям. Определите сумму, полученную страховой компанией по этому контракту.

Решение. Полагая в формуле (20) m = 2; n = 3; R = 500; j = 0,15 , получим:

S = 500 = 1 746 500 руб.

5. P - срочная рента

Рентные платежи вносятся P раз в году равными суммами, а начисление процентов производится один раз в конце года (m = 1). В этом случае член ренты будет равен R_/P, а формула для наращенной суммы получается из формулы (16), в которой ставка за период i_P находится из условия финансовой эквивалентности (всего периодов P·n):

(1 + i ) = (1 + i_P)^P , i _P = (1+ i )^1/P – 1.

Подставляя полученную ставку за период i_P в (16), имеем:

(21)

Пример. Страховая компания принимает установленный годовой страховой взнос 500 тыс. руб. дважды в год в течение 3 лет. Банк, обслуживающий страховую компанию, начисляет ей сложные проценты из расчета 15 % годовых один раз в году. Определите сумму, полученную компанией по истечении срока договора.

Решение. Здесь R = 500; n = 3; P = 2; m = 1. По формуле (21) находим:

S = ·= 1779 тыс. руб.

5.6. Вечная рента

Под вечной рентой понимается рента с бесконечным числом платежей. Очевидно, что наращенная сумма такой ренты бесконечна, но современная величина такой ренты равна A = R/i. Для доказательства этого факта используем формулу (17) для конечной ренты:

A = R[1-(1+i)^-n]/i.

Переходя в этой формуле к пределу при n  , получим, что A = R/i.

Пример: Фирма арендует здание за $5 000 в год. Какова выкупная цена здания при годовой ставке процента 10 %?

Решение. Выкупная цена здания есть современная величина всех будущих арендных платежей и равна A = R/i = 50 000 дол.

5.7. Объединение и замена рент

Общее правило объединения рент: находятся современные величины рент (слагаемых) и складываются, а затем подбирается рента - сумма с такой современной величиной и нужными остальными параметрами.

Пример. Найдите объединение двух рент: первая длительностью 5 лет с годовым платежом 1000, вторая - 8 и 800. Годовая ставка процента

8 %.

Решение. Современные величины рент равны:

A1 = R1 × a(5;0,08) = 1000  3,993 = 3993; A2 = R × a(8;0,08) = =8005,747=4598.

А = А1 + А2 = 3993 + 4598 = 8591.

Следовательно, у объединенной ренты современная величина А = 8591. Далее можно задать либо длительность объединенной ренты, либо годовой платеж, затем второй из этих параметров определим из формул для рент.

Задачи

1. На депозитный счет с начислением сложных процентов по ставке 80 % годовых будут ежегодно в течение 5 лет вноситься суммы по 500 тыс. руб. в начале каждого года. Определите накопленную сумму.

2. На депозитный счет в конце каждого квартала будут вноситься суммы по 12,5 тыс. руб., на которые также ежеквартально будут начисляться сложные проценты по номинальной годовой ставке 10 % годовых. Определите накопленную за 20 лет сумму. Ответ: 3 104 783 руб.

3. Вычислите сумму, которую необходимо положить на счет частного пенсионного фонда, чтобы он смог выплачивать своим участникам ежемесячно 10 млн. руб. Фонд может инвестировать свои средства по постоянной ставке 5 % в месяц.

(Указание: использовать модель вечной ренты ).

5.4. Бизнесмен арендовал коттедж за $10 000 в год. Какова выкупная цена коттеджа при годовой ставке 5 %. Ответ: $200 000.

5.5. В ходе судебного заседания выяснилось, что г-н А недоплачивал налогов 100 руб. ежемесячно. Налоговая инспекция хочет взыскать недоплаченные за последние два года налоги вместе с процентами (3 % ежемесячно). Какую сумму должен заплатить г-н А.

5.6. Для мелиоративных работ государство перечисляет фермеру $1000 в год. Деньги поступают на специальный счет и на них начисляют каждые полгода 5 % по схеме сложных процентов. Сколько накопится на счете через 5 лет.

5.7. Замените годовую пятилетнюю ренту с годовым платежом $1000 на ренту с полугодовым платежом по $600. Годовая ставка 5 %.

5.8. Замените годовую десятилетнюю ренту с годовым платежом $700 шестилетней годовой рентой. Годовая ставка 8 %.

5.9. Какую сумму необходимо положить в банк родителям студента, обучающегося в платном институте, чтобы раз в полгода в течение 4 лет банк перечислял в институт $420. Банковская ставка 8 % в год.

5. Погашение долга (кредита)

В этом параграфе дается применение теории рент к планированию погашения займа (долга).

Разработка плана погашения займа заключается в составлении графика периодических платежей должника. Расходы должника называются расходами по обслуживанию долга или амортизацией займа. Эти расходы включают как текущие процентные платежи, так и средства, предназначенные для погашения основного долга. Существуют различные способы погашения долга. Участники кредитной сделки оговаривают их при заключении контракта. В соответствии с условиями контракта составляется план погашения задолженности. Важнейшим элементом плана является определение числа выплат в течение года, т.е. определение числа срочных уплат и их величины.

1. . Погашение долга равными срочными уплатами

Расходы должника при расчете по этому методу постоянны на протяжении всего срока погашения долга. Обозначим через A- сумму долга, Y - срочная уплата, I_k - проценты по займу, R_k - расходы по погашению основного долга (k - номер периода погашения). Тогда очевидно, что

Y = I _k + R _k

При этом остаток основного долга и суммы процентных платежей уменьшаются от периода к периоду, R_k- увеличиваются. Срочные уплаты являются обычными рентами. Если задан срок погашения n, то легко находим величину срочной уплаты Y. Для этого приравняем сумму долга A к современной величине ренты (см. формулу (17)).

Y = A / a(n;i), (22)

где a(n;i) - коэффициент приведения годовой ренты со ставкой процента i и сроком n.

Пример. Банк выдал долгосрочный кредит в сумме 4 млн. руб. на 5 лет под 6% годовых. Погашение кредита должно производиться равными ежегодными выплатами в конце каждого года, включающими погашение основного долга и процентные платежи. Проценты начисляются раз в год. Определите величину ежегодной выплаты.

Решение. Здесь A = 4 млн. руб., n = 5 лет, i = 0,06. По формуле (22) находим величину ежегодной выплаты: