Файл: финансовая математика.doc

Решение. И в этом случае доходность - это процентная ставка i.

i = (S-P) / P = 10/40 = 0,25 = 25%.

Если на последовательных интервалах времени n₁ и n₂ используются простые ставки процентов i₁ и i₂ , то сумма процентов, начисленных за эти два интервала, будет равна

I = I₁ + I₂ = n₁ i₁ P+ n₂ i₂× P = P(n₁ i₁ + n₂ i₂ ) (3)

Наращенная сумма за время n₁ + n₂ составит:

S = P + I = (1 + n₁ i₁ + n₂ i₂ ) (4)

Когда число временных интервалов не два, а больше, в общем случае N , то сумма процентов, начисленных за N интервалов будет равна:

I = I₁ + I₂ + .. + I_N = n₁× i₁× P+ n₂× i₂× P + ... + n_N× i_N× P

или

I = P (n₁ i₁ + n₂ i₂ +...+ n _N i _N ). (5)

Количество же слагаемых типа n_k i_k в формуле для вычисления наращенной суммы также увеличится - их будет ровно столько, сколько интервалов, т.е.

S = P + I = ( 1 + n₁ i₁ + n₂ i₂ + ...+ n_N i_N ). (6)

Пример. Процентная ставка банка по вкладам, составлявшая в начале года 12 % годовых, через полгода была уменьшена до 10% , а еще через три месяца - до 8% годовых. Определите сумму процентов за год на вклад в 100 тыс. руб.

Решение. По формуле (5), для N = 3, имеем:

I = 100 000 (0,5 × 0,12 + 0,25× 0,1 + 0,25× 004) = 9500 (руб.).

Если срок финансовой сделки выражается в днях, то n = t / K , где t - срок в днях, K =360 и формула (2) принимает вид:

S = P (1+ i × t / K)

Задачи

1. Годовая ставка простых процентов равна 10,5 %. Через сколько лет начальная сумма удвоится? Решите задачу в общем виде, т.е. процентную ставку принять равной i.

1.2. Фирма получила в банке ссуду в размере 2 млн руб. под 50 % годовых на срок с 15 февраля до 15 апреля (год не високосный). Определите возвращаемую сумму. Ответ: 2,164 млн руб.

3. Выдан в кредит 5 млн руб на 6 месяцев под простые проценты по ставке 10 % в месяц. Найдите наращенное значение долга в конце каждого месяца. Покажите, что получившиеся суммы образуют арифметическую прогрессию.

4. Договор предусматривает следующие ставки простых процентов: а) за первый квартал - 20 % годовых, за второй квартал - 25 % годовых, за третий квартал - 22 % годовых;

б) за первый квартал - 10 % ежемесячно, за второй и третий кварталы-20 % ежемесячно, за четвертый квартал - 30 % ежемесячно.

Определите коэффициент наращения за год в каждом из двух вариантов.

3. На некоторую сумму ежемесячно в течение квартала начисляются простые проценты по ставке 9 % в первый месяц, 10 % - во второй, 11 % - в третий. Определите коэффициент наращения за квартал при реинвестировании. (Операция, при которой в момент каждого изменения ставки, наращенная к этому моменту сумма вкладывается вновь под простой процент, называется реинвестированием). Ответ: 1,319

4. Определите коэффициент наращения в предыдущей задаче без реинвестирования. Ответ: 1,30.

2. Дисконтирование

При дисконтировании решается задача, обратная вычислению наращенной суммы, т.е. по заданной заранее наращенной сумме S определить, какую сумму P надо инвестировать, чтобы через время t при постоянной ставке простого процента i получить сумму S. Из формулы (2) следует, что сумма P называется современным или приведенным значением

будущей суммы S. Операция вычисления современной стоимости будущей суммы денег называется математическим дисконтированием, а величина -

дисконтирующим множителем.

Разность D = S - P называют дисконтом суммы.

Пример. Заемщик получил кредит на 6 месяцев под 20 % годовых с условием вернуть 300 тыс. руб. Какую сумму получил заемщик в момент заключения договора?

Решение. Принимая год равным 360 дням, а 6 месяцев - 180 дням, получим

S = 300 / ( 1 + 0,20 × 180/360 ) = 272,73 тыс. руб.;

Пример. Какую сумму инвестор должен внести сегодня под простые проценты по ставке 50 % годовых, чтобы накопить 100 тыс. руб.: а) за полгода; б) за два года.

Решение. Имеем ( в рублях) :

а) S = 100 000 / (1 + 0,5 × 0,5) = 80 000;

б) S = 100 000 / (1 + 0,5 × 2) = 50 000.

Второй вид дисконтирования называется банковским учетом. Суть его в следующем. Банк приобретает вексель у вкладчика до наступления срока платежа по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. учитывает вексель с дисконтом (скидкой).

При учете векселя применяется банковский учет. Для этого банк вводит учетную ставку d . Размер дисконта D = S× n × d, где d - годовая учетная ставка, n - срок от момента учета до даты погашения векселя в годах. Сумма, которую получит вкладчик при учете векселя, равна

P = S – S × n × d = S ( 1 - n × d).

Учет производится по банковскому правилу, т. е. К = 360 (число дней ссуды точное). Соотношение между учетной ставкой банка d и процентной ставкой i за один период следующее:

( 7)

Пример. Тратта (переводной вексель) выдан на сумму 100 тыс. руб. с уплатой 18 ноября. Владелец векселя учел его в банке 24 сентября по учетной ставке 20%. Определите сумму, полученную при учете.

Решение. Срок от момента учета до даты погашения равен 55 дням. Тогда искомая сумма равна:

P = S (1 - n × d ) = 100 000 ( 1 - 55/360 × 0,2 ) = 96 944,4 руб.

Дисконт составит 100 000 - 96 944,4 = 3 055,6 руб.

Задачи

2.1. Вексель, выданный на сумму 15 000 руб. с уплатой через 100 дней, с условием начисления простых процентов по ставке 10 % годовых, был учтен в банке за 50 дней до наступления срока по простой учетной ставке 15%. Определите полученную владельцем сумму при учете векселя и величину дисконта, полученную банком.

2.2. Владелец векселя в 100 тыс. руб. со сроком погашения 5 мес. учитывает его в банке спустя два месяца. Банк учитывает вексель за 94 тыс. руб. Определите дисконт D, d₃ - учетную ставку банка за 3 месяца, годовую учетную ставку d и учетную стоимость векселя за месяц до погашения. Ответ: D = 2 тыс. руб.; d₃ = 0,06; d = 0,24 ; P = 98 тыс. руб.

2.3. Вексель выписан 10 января 1998 года с датой погашения 10 октября 1998 года. Проценты по векселю начисляются по ставке 12 % в год. Определите учетную (выкупную) стоимость векселя, если вексель учтен в банке 10 мая 1998 года по учетной ставке 10 %. Ответ: 104,422 тыс. руб.

2.4. Выведите соотношение (7).

3. Сложные проценты

В отличие от простых процентов, база для начисления сложных процентов будет увеличиваться с каждым периодом начисления.

Если положить в банк сумму P и банк выплачивает сложные проценты по годовой ставке i, то через год сумма будет равна

S₁ = P + I = P + iP = P (1+ i),

где I = iP – процент, начисленный за первый год. В конце второго года вкладчик получит сумму:

S₂ = P+Pi+(P+Pi) i = P (1+ i)².

Присоединение начисленных процентов к их базовой сумме называется капитализацией процентов.

Несложно понять, что через n лет вкладчик получит сумму

S_n = P ( 1+ i )ⁿ. ( 8)

Формула (8) называется формулой сложных процентов. В общем случае в формуле (8) n - число периодов начисления (n может быть и нецелым), i - ставка за период. Величина (1 + i)ⁿ называется коэффициентом наращения.

Пример. Депозит в размере 500 тыс. руб. положен в банк на 3 года. Определите сумму начисленных процентов по простой и сложной ставках, если годовая ставка составляет 80 %.

Решение. По простой ставке I = P ·n ·i = 500 ·3 · 0,8 = 1200 тыс. руб.

По сложной ставке I = P[( 1+ i )ⁿ - 1] = 500 [(1+ 0,8)³ - 1] = 2416 тыс. руб.

Пример. Сберегательный банк начисляет ежегодно 8 % сложных. Клиент положил в банк 20 000 руб. Какая сумма будет на счету клиента через 6 лет и три месяца?

Решение. По формуле (8), где n = 6,25, P = 20 000, находим:

S = 20 000(1+0,08)^6,25 = 32 354,04 руб.

При дробном числе лет можно применять смешанный метод, который предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и по формуле простых процентов за дробную часть периода, т. е.

S_n = P ( 1+ i )^a ( 1 + i· b), ( 9 )

где a - целое число периодов (лет), b - дробная часть периода (года).