Файл: финансовая математика.doc

В финансовой практике встречаются ситуации, когда кредитный контракт предусматривает выплату займа разовым платежом. В этом случае, особенно при значительных размерах кредита, заемщик для своевременного погашения долга создает страховой фонд.

Рассмотрим планирование фонда с постоянными срочными взносами. Пусть создание страхового фонда производится путем внесения в банк ежегодных взносов R, на которые начисляются сложные проценты по ставке i. Одновременно происходит начисление процентов на величину долга по простой ставке g. В этом случае срочная уплата составит:

Y = Ag + R, (23)

где A - величина долга. Найдем величину R. Поскольку фонд должен быть накоплен за n лет, то взносы образуют обычную ренту с параметрами R, n, i (см. п. 5 ). Так как накопленная сумма (наращенная сумма ренты) должна быть равна величине основного долга A, то A= R×s(n;i). Тогда величина ежегодного взноса равна:

R = A / s(n;i).

Подставляя это значение в (23), получим:

Y = A g + A / s(n;i), (24)

т.е. в фонд систематически вносится сумма, равная R = A / s(n;i). Если условия контракта предусматривают присоединение процентов к сумме основного долга, то срочная уплата определяется следующим образом:

Y = A (1 + g) ⁿ / s(n;i).

Накопленные за k лет средства фонда определяются по формулам наращенных сумм обычных рент или рекуррентно:

S_k₊₁= S_k(1 + i) + R. (25)

Пример. Фирма получила кредит 50 млн. руб. на 4 года под 8% годовых в банке А. Погашение долга производится разовым платежом. Одновременно с получением кредита фирма начала создавать страховой фонд, открыв счет в банке Б, где на взносы начисляются 10% годовых. Определите ежегодные расходы фирмы по амортизации долга при условии, что в погасительный фонд вносятся ежегодно равные суммы.

Решение. Параметры финансовой операции:

A = 50,0; g = 8 %; i = 10 %; n = 4, s(4;0,1)= 4,6410;

Находим величину ежегодных взносов в страховой фонд:

R = 50/ 4,6410 = 10,7735 млн. руб.

Процентные платежи по долгу I = A  g = 50  0,08 = 4 млн руб. Накопления на конец года в фонде (для банка Б) рассчитаем по формуле (25):

S₁= R = 10,7735 млн. руб. (S₀= 0),

S₂= 10,7735  1,1 + 10,7735 = 22,6244 млн руб.

S₃= 22,6244  1,1 + 10,7735 = 35,6603 млн руб.

S₄= 35,6603  1,1 + 10,7735 = 49,9998 » 50,0 млн руб.

План погашения представим в виде таблицы:

год	I	R	S_k	Y _k
1	4,0000	10,7735	10,7735	14,7735
2	4,0000	10,7735	22,6244	14,7735
3	4,0000	10,7735	35,6603	14,7735
4	4,0000	10,7735	49,9998	14,7735
Итого	16,0000	43,0940	-	59,0940

В данной ситуации фирма-заемщик сумела с выгодой для себя реализовать кредитную операцию, т.к. i > g. В результате общая сумма расходов по погашению долга составила 59,0940 млн руб., что значительно меньше, чем, если бы фирма погасила долг разовым платежом. Экономия составила:

DD = 50 ( 1 + 0,08 × 4 ) - 59,0940 = 6,9060 млн. руб.

Замечание: более сложные схемы погашения долга см. в [1], [3].

6.3. Погашение ипотечной ссуды

Ипотечную ссуду выдают под залог имущества (земли, дома и т.п.) на длительный срок. В случае невозврата ссуды в установленный срок заложенное имущество становится собственностью кредитора. Здесь мы рассмотрим традиционную ипотечную ссуду, которая погашается равными ежемесячными выплатами и на которые также ежемесячно начисляются проценты.

Пусть размер ссуды D, выдана она на срок n лет под годовую ставку сложных процентов i. Равные ежемесячные выплаты размером R образуют ренту с частотой платежей и начислением процентов 12 раз в году. Ее наращенная сумма к концу k-го года составит Rs(12k, i/12) и для определения R имеем уравнение

R s(12n, i/12) = D(1+i/12)¹²ⁿ,

где n - срок ипотечной ссуды. Легко определить на конец любого года остаток, который еще предстоит выплатить. Определим остаток R_k на конец k-го года. К концу k-го года наращенная величина ссуды есть D(1+i/12)¹²^k, а наращенная величина выплат ренты равна Rs(12k,i/12). Значит остаток R_k= =D(1+i/12)¹²^k- R s(12k, i/12).

Пример. Пусть ссуда в $100 000 выдана на 10 лет под 3 % годовых. Определим ежемесячную выплату и остаток к концу 5-го года.

Решение. Определяем величину коэффициента s(120, 3/12), (например, с помощью компьютерной программы Mathcad):

s(120, 3/12) = [(1+ 0,0025)¹²⁰ - 1]/0,0025 = 139,74.

Ежемесячную выплату вычислим по формуле (26):

R = 100000 1,162/139,74 = 831,544.

Определим теперь остаток к концу 5 - го года. Наращенная величина ссуды к этому моменту равна 100000 (1+ 0,0025)⁶⁰ = 116 200. Наращенная величина произведенных выплат есть

715,61S(60; 0,25) = 864,647,

следовательно, остаток к концу 5- го года равен

R₅ = 864,647 - 831,544 = 33,103.

Задачи

6.1 Долг в сумме 1000 тыс. руб. необходимо погасить равными срочными уплатами в течение 5 лет. За заем выплачиваются проценты по ставке 10 % годовых. Определите величину ежегодной выплаты.

6.2 Долг в размере 100 тыс. руб. получен под 8 % годовых на 4 года. Одновременно с получением ссуды для ее погашения создан страховой фонд, в который делаются равные ежегодные взносы, На деньги, внесенные в фонд, выплачиваются 5 % годовых. Найдите ежегодную срочную уплату по долгу. Ответ: 31201,18 руб.

6.3 Фермер взял в банке 500 тыс. руб. под 10 % годовых на 5 лет. Для погашения долга он образовал страховой фонд, внося в него равные ежегодные взносы и получая на эти деньги 10 % годовых. Найдите ежегодную срочную уплату по долгу.

6.4 Решите предыдущую задачу при условии, что на деньги, вкладываемые в страховой фонд, начисляются 8 % годовых.

6.5 Владелец магазина получил в банке ссуду $20 000 сроком на 4 года. Банковская процентная ставка 10 % годовых. Для погашения ссуды владелец магазина создал страховой фонд, внося в него равные ежегодные взносы и получая на эти деньги проценты по ставке j₄=5%. Какова ежегодная срочная уплата по долгу?

7. Консолидация и замена платежей

В реальной ситуации нередко одна из сторон коммерческой сделки обращается к другой с предложением изменить условия ранее заключенных соглашений.

Наиболее часто предлагается изменить сроки платежей в сторону их увеличения, произвести объединение нескольких платежей в один (консолидировать платежи) с установлением единого срока погашения.

Принцип, на котором базируется такое изменение контракта, называется принципом финансовой эквивалентности обязательств, который предполагает неизменность финансовых отношений сторон до и после изменения контракта.

Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи приведены к одному моменту времени, оказываются равными. Рассмотрим рис. 6 S₁и S₂- суммы, приуроченные к моменту времени t = 2 и t = 4 соответственно.

Приведем обе суммы S₁и S₂ к начальному моменту времени по ставке приведения i, т.е. произведем дисконтирование этих сумм:

A₁= S₁(1 + i)^-2, A₂= S₂(1 + i)^-4.

Если A₁= A₂, то суммы S₁ и S₂ эквивалентны. Следовательно, замена суммы S₁ при t = 2 на сумму S₂ при t = 4 и наоборот, не изменит финансовых отношений сторон участников коммерческой сделки. Рассмотрим рис.7.

Здесь сравниваются два потока платежей: S₁, S₂ и P₁, P₂ по сложной процентной ставке i. Для того чтобы заменить суммы S₁ и S₂ на две другие, эквивалентные по своим финансовым последствиям, суммы P₁и P₂, применим принцип финансовой эквивалентности. Именно, приведем платежи S₁ и S₂ к начальному моменту времени (можно к любому другому) и сложим их:

S₁(1 + i)^-2 + S₂(1 + i)^-4. (27)

То же самое проделаем с платежами P₁и P₂:

P₁(1 + i)^-5 + P₂(1 + i)^-7. (28)

Приравнивая (27) и (28), получим уравнение эквивалентности:

S₁(1 + i)^-2 + S₂(1 + i)^-4 = P₁(1 + i)^-5 + P₂(1 + i)^-7. (29)

Очевидно, что данный метод распространяется на любое конечное число сумм. Если сравнение происходит по простой ставке i, то уравнение (29) примет вид:

S₁(1 + 2i)^-1 + S₂(1 + 4i)^-1 = P₁(1 + 5i)^-1 + P₂(1 + 7i)^-1.

В случае, когда несколько платежей S₁, S₂, S₃ со сроками n₁, n_2,n₃соответственно, заменяются одним S₀ со сроком n₀, то уравнение эквивалентности в случае простых процентов запишется в виде: