Файл: R6.doc

б) якщо ж виберемо , то будемо мати.

Отже, загальний інтеграл системи запишемо у вигляді

6.2. Лінійні системи звичайних диференціальних рівнянь

6.2.1. Однорідні системи

Розглянемо лінійну однорідну систему звичайних диференціальних рівнянь

, (6.27)

або в матричній формі

. (6.28)

Тут – неперервна заматриця розмірності. Якщо функції– вектор-розв’язки системи (6.28),то і

, (6.29)

де – довільні сталі, теж є розв’язком системи (6.28).

Дійсно, введемо оператор

, (6.30)

який має властивості:

а) ;

б) .

З допомогою оператора систему диференціальних рівнянь (6.28) запишемо так

. (6.31)

Якщо , то в силу властивостей а), б) функція (6.29) також є розв’язком системи (6.28).

6.2.2. Лінійно незалежні розв’язки. Теореми про лінійно залежні і незалежні розв’язки

Означення 7.1. Вектор-розв’язки системи диференціальних рівнянь (6.28) називаються лінійно залежними на, якщо існують такі сталі, які не дорівнюють нулю одночасно, що

,

в противному випадку система розв’язків називається лінійно незалежною на .

Теорема 7.1. Якщо для всіх система векторів

(6.32)

лінійно залежна, то відповідні їм розв’язки системи диференціальних рівнянь (6.28) також лінійно залежні.

Доведення. Припустимо, що вектори (6.32) лінійно залежні, тобто

, (6.33)

де не всі дорівнюють нулю. Розглянемо вектор-функцію з тими ж сталими

. (6.34)

Вектор задовольняє системі диференціальних рівнянь (6.28) і , в силу (6.33),. На основі теореми існування і єдиності отримуємо, що

. (6.35)

Співвідношення (6.35) означає, що лінійно залежні.

Означення 7.2. Система лінійно незалежних розв’язків

(6.36)

системи диференціальних рівнянь (6.28) називається фундаментальною системою розв’язків або базисом цієї системи рівнянь.

Теорема 6.8.Система звичайних диференціальних рівнянь (6.28) має фундаментальну систему розв’язків. Якщо (6.36) – фундаментальна система розв’язків системи диференціальних рівнянь (6.28), то загальний розв’язок записується у вигляді

, (6.37)

де – довільні сталі.

Доведення. Доведемо першу частину теореми. Задамо систему з лінійно незалежних векторів. Побудуємо систему розв’язківдля системи диференціальних рівнянь (6.28) з початковими умовами. Так як векторилінійно незалежні, то в силу теореми (6.7) векторитакож є лінійно незалежними, тобто складають фундаментальну систему розвязків.

Доведемо другу частину теореми, тобто покажемо, що з допомогою формули (6.37) можна розв’язати будь-яку задачу Коші

. (6.38)

Покажемо, що розв’язок задачі (6.38) можна записати в вигляді

, (6.39)

де – постійні числа.

Числа визначаються з системи

, (6.40)

так як вектори лінійно незалежні, то по теоремі 6.7 векторитакож є лінійно незалежними. Тому визначник системи (6.40) відмінний від нуля. Таким чином, система (6.40) має єдиний розв’язок. Теорема доведена.

6.2.3 Інтегральна (фундаментальна) матриця

Введемо матрицю розміром, яка складається злінійно незалежних розв’язків системи (6.28)

. (6.41)

Ясно, що матриця задовольняє матричне диференціальне рівняння

. (6.42)

Матриця називається інтегральною, або фундаментальною.

Якщо – фундаментальна матриця розв’язків, то і, де– довільна неособлива матриця розмірності, також є фундаментальною. Дійсно

.

6.2.4 Визначник Вронського. Формула Якобі

Визначник називається визначником Вронського або вронськіаном системи (6.28).

На основі теореми 6.7 можна сказати:

а) якщо система векторів (6.36) лінійно залежна, то ;

б) якщо система (6.36) лінійно незалежна, то,і матрицябуде інтегральною.

Теорема 6.9.Припустимо, що матрицясистеми диференціальних рівнянь (6.28) має неперервні елементи на. Якщо матрицязадовольняє (6.28), то

, (6.43)

де . Рівність (6.43) називають формулою Якобі.

Доведення.Запишемо систему матричних диференціальних рівнянь (6.42) у вигляді

.

Тоді

, (6.44)

де – деякі визначники. Обчислимо визначник

.

З першого рядка віднімемо суму другого рядка, помноженого на , третього на, … . Отримаємо

.

Аналогічно показується, що

.

Таким чином, , звідки отримуємо формулу Якобі (6.43). Теорема доведена.

З формули (6.43) випливає, що якщо , тобто система функцій в точцілінійно залежна, то, якщо ж, то.

Теорема 6.10.Припустимо, що матрицязадовольняє диференціальне рівняння (6.42). Для того, щоб вона була інтегральною необхідно і достатньо, щоб

. (6.45)

Доведення. Достатність.Припустимо, що. Це означає, що векториє розв’язками системи диференціальних рівнянь (6.28) і лінійно незалежні, тобто– інтегральна матриця.