Файл: R6.doc

Необхідність.Нехай– фундаментальна матриця. В силу теореми (6.8) задача Коші

має єдиний розв’язок , девизначається з системи

. (6.46)

Оскільки система (6.46) має єдиний розв’язок, то . А тоді, в силу (6.43),. Теорема доведена.

З допомогою матриці загальний розв’язок лінійної системи можна записати у вигляді

, (6.47)

де .

6.2.5. Спряжені системи

Розглянемо дві системи

, (6.48)

, (6.49)

які називаються спряженими (тут Т – знак транспонування).

Для цих систем справедлива властивість

. (6.50)

Дійсно .

Якщо і– інтегральні матриці для систем (6.49), (6.50) відповідно,тобто

, (6.51)

, (6.52)

то

, (6.53)

де – постійна матриця. Дійсно

.

Якщо , то

. (6.54)

6.2.6. Неоднорідні системи

Розглянемо систему диференціальних рівнянь

, (6.55)

яка називається лінійною неоднорідною системою звичайних диференціальних рівнянь.

Теорема 6.11Якщо– розв’язок неоднорідної системи, тобто, а– розв’язок однорідної системи, то сумає розв’язком неоднорідної системи.

Доведення.Дійсно

.

Теорема 6.12.Загальний розв’язок неоднорідної системи (6.55) можна записати у вигляді суми загального розв’язку однорідного і частинного неоднорідного.

Доведення.Нехай– інтегральна матриця однорідної системи,– частинний розв’язок неоднорідної системи. Тоді

(6.56)

в силу теореми 6.11 – розв’язок системи однорідних диференціальних рівнянь (6.55).

Для доведення теореми досить показати, що система алгебраїчних рівнянь

, (6.57)

де – довільний початковий вектор, має єдиний розв’язок . Так як– інтегральна матриця, то в такому випадку вона має обернену на. Тому. Теорема доведена.

6.2.7. Метод варіації довільної сталої

Загальний розв’язок системи однорідних диференціальних рівнянь (6.28) запишемо у формі

, (6.58)

де – довільні сталі.

Розв’язок лінійної системи диференціальних рівнянь (6.55) шукаємо у вигляді

, (6.59)

де невідомі функції.

Підставляючи (7.33) в (7.29) отримаємо

Так як , то остаточно функціїшукаємо з системи диференціальних рівнянь

. (6.60)

Визначник системи (6.60) , якщо– фундаментальна система рівнянь. З (6.60) визначаємо

.

Звідки

.

Тому

(6.61)

– загальний розв’язок диференціального рівняння (6.55).

6.2.8. Формула Коші

Розглянемо задачу Коші

. (6.62)

Припустимо, що ми знаємо матрицю , яка нормована по моменту

. (6.63)

Шукаємо розв’язок задачі Коші (6.62) у вигляді

. (6.64)

Підставляючи (6.64) в (6.62) отримаємо

.

Звідки , тобто

.

Але , тому

.

Враховуючи, що , остаточно запишемо

. (6.65)

Формула (6.65) називається формулою Коші.

Приклад 6.2.Розв’язати систему звичайних диференціальних рівнянь

.

Розв'язання. Приведемо дану систему до диференціального рівняння другого порядку

.

Звідки отримаємо диференціальне рівняння

.

Запишемо та розв’яжемо характеристичне рівняння . Знайдемо. Тоді

,

– загальний розв’язок.

Приклад 6.3.Розв’язати систему звичайних диференціальних рівнянь

.

Розв'язання. Складемо і віднімемо почленно два рівняння, отримаємо

,

.

Звідки ,, тобто

– загальний розв'язок нашої системи.

Приклад 6.4.Перевірити, чи є першим інтегралом системи

(6.66)

функції а); б).

Розв'язання. Обчислимо повні похідні по t від заданих функцій на розв'язках системи (6.66).

а)– є інтегралом;

б)– не є інтегралом.

6.3. Однорідні лінійні системи диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами

6.3.1. Випадки інтегрованості лінійних систем в квадратурах

Розглянемо матричне диференціальне рівняння

, , (6.67)

де – задана матриця ,Y(x) – фундаментальна матриця .

Розглянемо випадок (Лапо–Данилевського), коли матриця ди­фе­рен­ці­аль­но­го рівняння (6.67) виражається через A(x).

Припустимо, що A(x) комутує з своїм інтегралом, тобто

, (6.68)

(6.69)

на будь-якому кінцевому інтервалі.

При цих умовах нормальна фундаментальна матриця має вигляд

. (6.70)

Дійсно, за визначенням маємо

, (6.71)

де

M=M(x)=. (6.72)

З (6.71) випливає, що Y(x₀) =E.

Якщо виконується умова (6.68), то матриця М(х) комутує з своєю похідною

.

Тому

.

По індукції можна вивести, що

, (6.73)

З урахуванням (6.73) продиференціюємо (6.71)

.

Таким чином

. (6.74)