Файл: R6.doc

Матричний ряд (6.71), який складається з n² скалярних рядів збіжний на будь-якому кінцевому інтервалі . Так як, то в силу (6.69) кожен ізn²скалярних рядів мажорується збіжним рядом

Звідси випливає рівномірна збіжність матричного ряду на будь-якому кінцевому інтервалі і сума (6.71) є неперервною функцією на цьому інтервалі.

6.3.2. Матричний метод інтегрування однорідних стаціонарних систем

Припустимо, що в системі (6.67) матриця Апостійна. Тоді виконуються умови комутативності (6.68). Тому, згідно (6.70), маємо

. (6.75)

Розглянемо випадок , тоді

. (6.76)

Властивості матричної експоненти:

а) якщо АВ=ВА , то ;

б) якщо , то;

в) матриця є розвязком матричного диференціального рівняння (6.67) з початковими умовами . Тому розв'язок задачі Коші запишеться таким чином.

Таким чином , для знаходження загального розв'язку системи необхідно знайти матрицю .

Для цього представимо матрицю А у вигляді , деJ – жорданова форма матриці А. Тоді

. (6.77)

При обчисленні (6.77) враховується, що якщо – -та клітина Жордана

, (6.78)

то представимо її у вигляді

=, (6.79)

де

Знаходимо

. (6.80)

Матрицю можна знайти з допомогою ряду (6.71), так як. Це означає, що в ряді (6.71) відмінні від нуля тільки першічленів.

Розглянемо ряд прикладів, в яких матриця Жордана має різну структуру, тобто корені характеристичного рівняння будуть мати різний вигляд.

Приклад 6.5. Обчислити , якщо А =.

Розв'язання. Розглянемо характеристичне рівняння ,. Знайдемо невироджену матрицю, щоб, де:

, ,

тобто

і .

Остаточно маємо:

Приклад 6.6. Знайти , якщо А = .

Розв'язання. Знайдемо корені характеристичного рівняння . Оскільки, то. Визначимо матрицю:

, .

Тому .

Але . Тому.

Приклад 6.7. Знайти , якщо.

Розв'язання. Так як , то– жорданова форма. Аналогічно визначаємо

, .

Тому

Представимо

, тоді , де. Легко обчислити (згідно (6.71)), що

, .

Тому

6.3.3. Структура фундаментальної системи розв'язків. Метод Ейлера

Розглянемо лінійну систему звичайних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами в векторно – матричній формі

. (6.81)

Лінійно незалежні розв'язки, згідно Ейлеру, шукаємо у вигляді

, (6.82)

де h – власний вектор , – власне значення, тобто

, . (6.83)

Число повинно задовольняти характеристичне рівняння

. (6.84)

Розглянемо різні випадки:

а) корені характеристичного рівняння дійсні і різні. Тоді

(6.85)

система n – лінійно незалежних розвязків, так як в даному випадку кожному відповідають лінійно незалежні власні вектори;

б) характеристичне рівняння має пару комплексно спряжених коренів . Тоді коренювідповідає власний вектор. Це означає, що система (6.81) має комплексний розвязок