Файл: R6.doc

Ця функція називається інтегралом.

Означення 6.8 (перше означення інтегралу). Функція , визначена наі яка не приводиться до сталої, називається інтегралом системи диференціальних рівнянь (6.2) в області, якщо при замінібудь-яким частинним розвязком цієї системи, вона приймає постійне значення.

На частинних розвязках системи (6.2) , тобто

.

Це записується таким чином

. (6.18)

Означення 6.9 (друге означення інтегралу). Функція неперервно диференційована в областіі така, щоне дорівнюють одночасно нулю в цій області, називається інтегралом системи диференціальних рівнянь (6.2) в області, якщо.

Співвідношення (6.18) еквівалентне наступному

.

Якщо функція є інтегралом в смислі другого означення, то вона буде інтегралом і в смислі першого. Обернене не вірно – може не мати частинних похідних.

Рівність називається першим інтегралом системи диференціальних рівнянь (6.2).

Означення 6.10. Сукупність перших інтегралів вигляду (6.15). яку можна розвязати відносно , в результаті чого в областіотримаємо загальний розвязок в формі (6.14) будемо називати загальним інтегралом системи диференціальних рівнянь (6.2) в області .

Перші інтеграли (6.15), які утворюють загальний інтеграл системи диференціальних рівнянь (6.2), є незалежними, якщо між функціями не існує співвідношення видуні при якому виборі функції.

Теорема 6.4. Якщо інтеграли мають неперервні частинні похідні, то для незалежності їх необхідно і достатньо, щоб якобіан від функційзане перетворювався тотожно в нуль

. (6.19)

Доведення витікає з відповідного розділу математичного аналізу: необхідною і достатньою умовою незалежності функційвідзміннихзаключається в тому, щоб хоча б один з функціональних визначників який можна утворити з стовпців таблиці

не дорівнює тотожно нулю.

Якщо ми маємо інтегралів, то вони будуть незалежними тоді і тільки тоді, коли хоча б один з функціональних визначників–го порядку, складений з стовпців таблиці

не дорівнює тотожно нулю.

Припустимо, що інтеграли мають неперервні частинні похідні за.

Теорема 6.5. Нормальна система рівнянь не може мати більш ніжнезалежних інтегралів.

Доведення. Твердження теореми рівносильно тому, що якщо відомо інтеграл системи диференціальних рівнянь (6.2),, то вони не можуть бути незалежними. Розглянемо два випадки.

а) – залежні, то і,– теж залежні.

б) – не залежні. Тоді. Так як,– інтеграли системи диференціальних рівнянь (6.2), то

,

……….

,

.

Ця система однорідних рівнянь показує, що вона має не нульовий розвязок . Тому

.

З математичного аналізу відомо, що в цьому разі , тобто функції– залежні.

Теорема 6.6. Якщо ,– незалежні інтеграли системи диференціальних рівнянь (6.2) в області, а– довільна функція, визначена в деякій області змінних, яка є областю значень функцій, коли, і яка має в цій області неперервні частинні похідні поне рівні нулю одночасно, то функція

(6.20)

також буде інтегралом системи диференціальних рівнянь (6.2).

Дійсно

в силу умови теореми, що ,.

6.1.5. Пониження порядку системи з допомогою перших інтегралів

Знаючи один перший інтеграл системи диференціальних рівнянь (6.2) можна понизити її порядок на одиницю.

Дійсно, нехай

(6.21)

– перший інтеграл.

Визначимо з (6.21)

. (6.22)

Підставивши(6.22) в рівняння будемо мати систему

(6.23)

порядку .

Якщо відомо перших інтегралів, то порядок системи диференціальних рівнянь (6.2) можна понизити наодиниць.

6.1.6 Системи диференціальних рівнянь в симетричній формі

Така система має вигляд

. (6.24)

Будь-яку систему нормальних рівнянь типу (6.2) можна записати в симетричній формі

. (6.25)

Якщо , тоді (6.24) можна записати в нормальній формі

, . (6.26)

При розвязанні систем в симетричній формі користуються властивістю: якщо

то.

Приклад 6.1.Розв'язати систему в симетричній формі

.

Розв'язування. Для знаходження загального інтегралу системи поступимо таким чином:

а) візьмемо і просумуємо чисельники та знаменники, отримаємо

;