Файл: Методы математической статистики в психолого-педагогических исследованиях.pdf

Вариант 2:

Н₀: корреляция между иерархиями А и Б не отличается от нуля.

Н₁: корреляция между иерархиями А и Б достоверно отличается от нуля.

Ограничения критерия:

1. По каждой переменной должно быть представлено не менее пяти наблюдений. Верхняя граница выборки определяется имеющимися таблицами критических значений (табл. I, приложение), а именно N≤40.

2. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена r_s при большом количестве одинаковых рангов по одной или обеим сопоставляемым переменным дает огрубленные значения. В идеале оба коррелируемых ряда должны представлять собой две последовательности несовпадающих значений. В случае, если это условие не соблюдается, внести поправку на одинаковые ранги.

Расположение табличных значений признака:

Алгоритм

Расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена r_s

1. Определить, какие два признака или две иерархии признаков будут участвовать в сопоставлении как переменные А и В.

2. Проранжировать значения переменной А, начисляя ранг 1 наименьшему (или наибольшему) значению в соответствии с правилами ранжирования (см. Приложение 5). Занести ранги в первый столбец таблицы по порядку номеров испытуемых или признаков.

3. Проранжировать значения переменной В в соответствии с теми же правилами. Занести ранги во второй столбец таблицы по порядку номеров испытуемых или признаков.

4. Подсчитать разности d между рангами А и В по каждой строке таблицы и занести в третий столбец таблицы.

5. Возвести каждую разность в квадрат: d². Эти значения занести в четвертый столбец таблицы.

6. Подсчитать сумму квадратов ∑d².

7. При наличии одинаковых рангов рассчитать поправки:

Т_а = _∑(a³-a)

12

Т _b = _∑(b³-b)

12

где

a — объем каждой группы одинаковых рангов в ранговом ряду А;

b — объем каждой группы одинаковых рангов в ранговом ряду В.

8. Рассчитать коэффициент ранговой корреляции г_s по формуле:

а) при отсутствии одинаковых рангов:

r_s = 1 – 6 • __∑d²___

N •(N² -1)

б) при наличии одинаковых рангов:

r_s = 1 – 6 • __∑d² + T_a +T_b__

N •(N² -1)

где ∑d₂—- сумма квадратов разностей между рангами;

Т_а и T_b — поправки на одинаковые ранги;

N — количество испытуемых или признаков, участвовавших в ранжировании.

9. Определить по табл. I (Приложение) критические значения r_s для данного N. Руководствуясь указаниями, данными в п. 6.1, сформулировать ответ и сделать вывод^[21].

Пример решения задачи

У учащихся одиннадцатого класса (выборка в десять человек) было подсчитано количество ошибок, допущенных во всех контрольных работах по математике за учебный год.

В этой же группе проведен тест на определение уровня общего интеллекта. Данные занесены в таблицу.

Связано ли количество ошибок, допущенных учащимися, с уровнем их общего интеллекта?

Таблица 2.1.

Данные о количестве ошибок и показатели общего интеллекта испытуемых

Решение

Сформулируем гипотезы:

Н₀: корреляция между количеством ошибок, допущенных учащимися в контрольных работах, и показателями их общего интеллекта не отличается от нуля.

Н₁: корреляция между количеством ошибок, допущенных учащимися в контрольных работах, и показателями их общего интеллекта отличается от нуля.

Определим эмпирическое значение r _{s эмп} по формуле:

r_s = 1 – 6 • __∑d² + T_a +T_b__

N •(N² — 1)

Для нахождения ∑d² составим вспомогательную таблицу, в которой проведем ранжирование каждого ряда значений, вычислим разность соответствующих рангов, квадрат разности.

Таблица 2.2

Вспомогательная таблица для расчета «суммы d-квадрат»

∑d² = 314,5. Выполним поправку на одинаковые ранги:

T_a = ∑(a³-a) = (3³-3) = (27-3) = 2

12 12 12

T_b = ∑(b³-b) = (2³-2) = (8-2) = 0,5

12 12 12

Подставим полученные данные в формулу.

r_s = 1 – 6 • 314,5 + 2 + 0,5 = 1 – 6 • 317 = 1 – 6 = -0,9

N •(N² — 1) 990

Табличные значения для n =10 r_{S 0},₀₅ = 0,64; r_{S 0},₀₁= 0,79.

Сравним эмпирическое значение критерия с табличными значениями.

Представим данные на числовой прямой (в соответствии с алгоритмом Спирмена на оси откладывается абсолютное значение критерия r_{S эмп} = │- 0,9│ = 0,9).

Эмпирическое значение расположено в зоне значимости (r_{s эмп} >r_{s таб.}).

Ответ: Н₀ – отклоняется, принимается Н₁: корреляция между количеством ошибок, допущенных учащимися в контрольных работах, и показателями их общего интеллекта отличается от нуля на статистически значимом уровне (при p≤0,01).

С учетом отрицательного значения r_Sэмп доказано, что между исследуемыми психолого-педагогическими явлениями существует связь, выраженная обратно пропорциональной зависимостью.

Вывод: по данной выборке учащихся количество ошибок, допущенных ими в контрольных работах по математике, связано с уровнем развития общего интеллекта. Просматривается следующая закономерность: чем выше показатели уровня развития интеллекта, тем меньше ошибок допустил ученик в контрольных работах по математике.

2.3. Т-критерий Вилкоксона

Критерий применяется для сопоставления показателей, измеренных в двух разных условиях на одной и той же выборке испытуемых.

Он позволяет установить не только направленность изменений, но и их выраженность. С его помощью можно определить, является ли сдвиг показателей в каком-то одном направлении более интенсивным, чем в другом^[22].

Пример формулировки гипотез:

Вариант 1.

Н₀: сдвиг в сторону увеличения (уменьшения) показателей признака не является статистически значимым.

Н₁: сдвиг в сторону увеличения (уменьшения) показателей признака является статистически значимым.

Вариант 2.

Н₀: интенсивность сдвигов в типичном направлении не превышает интенсивности сдвигов в нетипичном направлении.

Н₁: интенсивность сдвигов в типичном направлении превышает интенсивность сдвигов в нетипичном направлении.

Ограничения критерия:

Минимальное количество испытуемых в группе с отсроченной диагностикой — 5 человек. Максимальное количество испытуемых — 50 человек.

5≤ n≤50

Расположение табличных значений признака:

Алгоритм

Подсчет критерия Т. Вилкоксона

1. Внести данные во вспомогательную таблицу (образец таблицы см. ниже).

2. Вычислить разность (сдвиг) между индивидуальными значениями во втором и первом замерах («после» — «до»). Подсчитать количество положительных и отрицательных сдвигов. (Нулевые сдвиги во внимание не принимаются.)

3. Определить, какие сдвиги будут считаться типичными, и сформулировать гипотезы.

4. Записать абсолютные величины сдвигов отдельным столбцом.

5. Провести ранжирование абсолютных величин сдвигов. Проверить совпадение полученной суммы рангов с расчетной.

6. Выделить (например, маркером) ранги, соответствующие сдвигам в «нетипичном» направлении.

7. Подсчитать сумму этих рангов по формуле:

Т=∑Ri,

где Ri — ранговые значения сдвигов с более редким знаком. Полученное число служит эмпирическим значением критерия.

8. Определить критические значения Т для данного n по табл. II (Приложение). Сравнение табличных значений с эмпирическим провести на числовой прямой.

9. Руководствуясь указаниями, данными в п. 6.1, сформулировать ответ и сделать вывод^[23].

Пример решения задачи

Психолог поставил задачу: определить эффективность проведения тренинга по снижению ситуативной тревожности у спортсменов перед соревнованиями. До и после занятия состоялось тестирование. Данные приведены в таблице. Дайте оценку эффективности тренинговых занятий.

Сравним показатели ситуативной тревожности спортсменов до и после учебного занятия.

Для этого используем статистический критерий Вилкоксона.

Составим вспомогательную таблицу, в которую занесем полученные результаты двух замеров экспериментальной группы и их разность. Подсчитаем количество сдвигов:

– положительных 0;

– отрицательных 15;

– нулевых 0.

Типичные сдвиги – отрицательные.

Составим гипотезы:

H₀: сдвиг в сторону уменьшения показателей ситуативной тревожности у спортсменов перед соревнованиями не является статистически значимым.

Н₁: сдвиг в сторону уменьшения показателей ситуативной тревожности у спортсменов перед соревнованиями является статистически значимым.

Далее переведем разности в абсолютные величины, проранжируем абсолютные величины разностей, начисляя большему значению меньший ранг.

Таблица 2.3

Вспомогательная таблица для расчета статистической значимости сдвига Т-критерия Вилкоксона