Файл: Методы математической статистики в психолого-педагогических исследованиях.pdf

Когда для каждого объекта в выборке измерено значение одной переменной, популяция и выборка называются одномерными. Если же для каждого объекта регистрируются значения двух или нескольких переменных, такие данные называются многомерными.

Одной из основных задач статистического анализа является получение по имеющейся выборке достоверных сведений об интересующих исследователя характеристиках генеральной совокупности. Поэтому важным требованием к выборке является ее репрезентативность, то есть правильная представимость в ней пропорций генеральной совокупности. Достижению репрезентативности может способствовать такая организация эксперимента, при которой элементы выборки извлекаются из генеральной совокупности случайным образом.

Обычно в статистике различают три типа значений переменных: количественные, номинальные и ранговые.

Значения количественных переменных являются числовыми, могут быть упорядочены и для них имеют смысл различные вычисления (например, среднее значение). На обработку количественных переменных ориентировано подавляющее большинство статистических методов^[7].

Значения номинальных переменных (например: пол, вид, цвет) являются нечисловыми, они означают принадлежность к некоторым классам и не могут быть упорядочены или непосредственно использованы в вычислениях. Для анализа номинальных переменных специально предназначены лишь избранные разделы математической статистики, например, категориальный анализ. Однако в ряде случаев для этой цели могут быть использованы и некоторые ранговые и количественные методы, если номинальные значения предварительно заменить на числа, обозначающие их условные коды^[8].

Ранговые или порядковые переменные занимают промежуточное положение: их значения упорядочены (состояние больного, степень предпочтения), но не могут быть с уверенностью измерены и сопо­ставлены количественно. К анализу ранговых переменных применимы так называемые ранговые методы.

Ранг наблюдения — это тот номер, который получит данное наблюдение в упорядоченной совокупности всех данных — после их упорядочивания по определенному правилу (например, от большего значения к меньшим)^[9]. Процедура перехода от совокупности наблюдений к последовательности их рангов называется ранжированием.

Ранговые и номинальные значения при вводе данных следует обозначать целыми числами.

1.3. Типы данных психолого-педагогического исследования

В целях классификации применимости статистических методов будем различать следующие типы исходных данных:

1. одна выборка — совокупность измерений одной количественной, номинальной или ранговой переменной, произведенных в ходе эксперимента, опроса или наблюдения^[10]. Для одной выборки используются статистические методы описательной статистики.

Выборка может быть: неупорядоченная и структурированная (упорядоченная).

2. несколько выборок — совокупность измерений нескольких количественных, номинальных или ранговых переменных, произведенных в ходе эксперимента^[11]. Выборки могут быть:

- независимые — получены в эксперименте независимо друг от друга;

- зависимые — значения данных переменных каким-то образом согласованы (связаны) друг с другом в имеющихся наблюдениях^[12].

Приведем типичные примеры зависимых переменных: рост человека связан с весом, потому что обычно высокие индивиды тяжелее низких; IQ (коэффициент интеллекта) связан с количеством ошибок в тесте, так как люди с высоким IQ, как правило, делают меньше ошибок, цена винчестера связана с его объемом и т.д.

Для экспериментальной педагогики характерна постановка исследований, преследующих цель выявления эффективности педагогических средств путем сравнения достижений или свойств одной и той же группы учащихся в разные периоды времени (такие группы получили название зависимых выборок) или разных групп учащихся (независимые выборки).

3. временной ряд или процесс — представляет собой значение количественной переменной (отклика), измеренные через равные интервалы значений другой количественной переменной (параметра)^[13]. Например, время измерения. В качестве исходных данных рассматриваются, как правило, значения переменной отклика.

4. связные временные ряды — синхронные по времени измерения одной переменной в разных точках (объектах) или же измерения нескольких переменных в одной точке (объекте)^[14];

5. многомерные данные — представляются для статистического анализа в виде прямоугольной матрицы. Это могут быть измерения значений переменных у нескольких объектов или в нескольких точках, или же это могут быть измерения значений переменных у одного объекта в различные моменты времени или при различных состояниях^[15].

ГЛАВА 2. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ В ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ИССЛЕДОВАНИИ

2.1. Статистические гипотезы и уровни статистической значимости

Полученные в результате психолого-педагогического эксперимента, проведенного на конкретной выборке, данные призваны послужить основанием для выводов о возможности распространения выявленных связей и зависимостей между компонентами предмета исследования на всю генеральную совокупность. Вместе с тем психолого-педагогические измерения, проведенные с помощью методов диагностики, всегда сопровождаются некоторой ошибкой, связанной с тем, что изучаемый предмет никогда точно не отражает своей сущности. Количественные данные представлены в виде случайных чисел, а результаты измерений имеют вероятностный характер^[16]. Отсюда появляется необходимость доказательства статистической достоверности (статистической значимости) полученных результатов. При наличии указанных характеристик данные, полученные при исследовании малой выборочной совокупности, можно распространять на всю генеральную совокупность (или признать выборку репрезентативной неотъемлемой частью генеральной совокупности).

Процедура признания свойств малой выборочной совокупности принадлежностью генеральной совокупности осуществляется при помощи статистических гипотез. Под статистической гипотезой понимается предположение о том, что различие (сходство) отдельных характеристик психолого-педагогического явления, измеренного на связанных или несвязанных выборках, является случайным (неслучайным)^[17].

В практике статистических расчетов применяется два вида гипотез: нулевая Н₀ и альтернативная (рабочая) Н₁. Принято считать, что Н₀ — это гипотеза о сходстве (формулируется как отсутствие различий), а Н₁ — гипотеза о различии. Например, пусть в двух уравновешенных выборках, извлеченных из генеральной совокупности всех второклассников достаточно большой городской школы (2 «А» и 2 «Б» классы), средняя арифметическая показателей уровня развития невербального интеллекта (методика Е. Векслера) — М₁ и М₂ соответственно. Нулевая гипотеза исходит из предположения, что М₁ = М₂, то есть М₁ — М₂ = 0, что и определяет ее название – нулевая, альтернативная же гипотеза призвана прогнозировать обратное: М₁ ≠ М₂, то есть│М₁ – М₂│> 0.

Нулевая гипотеза определяет позицию исследователя, где он заявляет о вероятной несостоятельности своей ведущей идеи — нетрадиционного метода решения проблемы: различия между новым и традиционным методом объявляются равными нулю, в то время как в альтернативной гипотезе Н₁ делается предположение о преимуществе нового метода^[18].

Сущность проверки гипотез заключается в том, чтобы попытаться опровергнуть нулевую гипотезу и тем самым подтвердить альтернативную. Для этого при помощи статистического анализа необходимо установить, согласуются ли экспериментальные данные и выдвинутая гипотеза Н, допустимо ли отнести расхождение между гипотезой и этими данными за счет случайных причин? Ответы на поставленные вопросы осуществляются на основе понятия уровня значимости. Уровень значимости — это вероятность ошибочного отклонения гипотезы, хотя в действительности она оказывается верной. В гуманитарных науках используются в основном два уровня статистической значимости р ≤ 0,05 и p ≤ 0,01. Случайные события, вероятность которых определяется данными неравенствами, считаются практически невозможными, но если они происходят, то наступление этого рода событий следует рассматривать как неслучайное. Уровень значимости показывает, в скольких случаях из ста мы можем ошибиться, объявив изучаемое событие неслучайным. Так, при первом уровне, пятипроцентном (р = 0,05), допускается риск ошибки в выводе в пяти и меньше случаях из ста теоретически возможных таких экспериментов при случайном отборе испытуемых. При втором уровне, однопроцентном (р = 0,01), соответственно допуск составляет один случай из ста.

Для получения статистического вывода необходимо руководствоваться следующими правилами.

1. На основе эмпирических количественных данных находится эмпирическое значение, которое называется статистическим критерием, или статистикой (обозначим его условно С_эмп). Алгоритм для нахождения количественного показателя критерия определяется типом психолого-педагогической задачи (см. ниже).

2. Критерий С_эмп сравнивается с табличными критическими величинами, которые соответствуют уровням в 5 и 1% для выбранного статистического метода. Эти величины принято обозначать С_0,05 и С_0,01. Например, при решении задачи по определению статистической значимости сдвига с помощью алгоритма Вилкоксона (символическое обозначение критерия Т) табличные значения для двенадцати испытуемых будут следующими: Т_0,05 = 17 и Т_0,01 = 9.

3. Сравнение проводится при помощи «оси значимости», которая представляет собой прямую в виде оси абсцисс декартовой системы координат (нулевая точка подразумевается, но не отмечается). На числовой прямой откладываются табличные значения критерия, в результате получаются три зоны: зона значимости, зона неопределенности, зона незначимости^[19].

Т_эмп попадет в одну из трех указанных зон. Рассмотрим последовательно все варианты.

Вариант 1. Если, к примеру, Т_эмп = 7, то соответствующая ей точка на прямой попадает в зону значимости. В этом случае гипотеза Н₀ отклоняется, принимается гипотеза Н₁ – сдвиги являются статистическими значимыми при p ≤ 0,01, преимущество нового метода перед старым, традиционным, доказано.

Вариант 2. Если Т_эмп = 21, соответствующая ей точка попадает в зону незначимости. Принимается гипотеза Н₀ – сдвиги не обладают статистической значимостью при p≤0,01, нам не удалось доказать преимущества старого метода перед новым.

Вариант 3. Если Т_эмп = 12, соответствующая ей точка попадает в зону неопределенности. Здесь возможно принятие одного из двух решений:

а) исследователь может отклонить гипотезу Н₀ и принять альтернативную Н₁, считая полученную оценку достоверной на уровне р ≤ 0,05;

б) возможно принятие гипотезы Н₀ на уровне статистической достоверности р ≤ 0,01.

Формулировка вывода осуществляется с учетом вопроса в условии психолого-педагогической задачи (ситуации) или результирующей части общей гипотезы исследования.

2.2. Коэффициент ранговой корреляции r_s Спирмена

Метод ранговой корреляции Спирмена позволяет определить тесноту (силу) и направление корреляционной связи между двумя признаками или двумя профилями (иерархиями) признаков^[20].

Пример формулировки гипотез:

Вариант 1:

Н₀: корреляция между переменными А и Б не отличается от нуля.

Н₁: корреляция между переменными А и Б достоверно отличается от нуля.