1.11. Дюрация и показатель выпуклости облигации.

Для облигации, не имеющей кредитного риска, всегда существует процентный риск. Это риск уменьшения цены облигации вследствие изменения процентных ставок на рынке. Чувствительность цены облигации к изменению процентных ставок характеризуется величиной . Ранее установлено, что на относительное изменение цены облигации при изменении ее внутренней доходности влияют уровень начальной доходности, купонная ставка, срок до погашения. Однако существует показатель, который позволяет оценить возможные значения величины , не производя вычислений цены облигации до и после изменения процентных ставок.

Рассмотрим облигацию, по которой через t₁ , t₂,…, t_n лет от текущего момента времени t = 0 обещают выплатить денежные суммы С₁, С₂,…, С_n соответственно. Предположим, временная структура процентных ставок в этот момент такова, что безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Тогда рыночная стоимость облигации равна

P(r) = . (11.1)

Предположим, временная структура процентных ставок мгновенно изменилась так, что безрисковые процентные ставки для всех сроков изменились на одну и ту же величину Δr. Тогда стоимость облигации станет равной

P(r + Δr) = . (11.2)

Δr > 0 означает увеличение процентных ставок, Δr < 0 – уменьшение. Приращение стоимости ΔP(r) = P(r + Δr) - P(r) является положительной величиной при Δr < 0 и означает рост стоимости облигации при снижении процентных ставок на рынке. Отрицательное значение величины ΔP(r) = P(r + Δr) - P(r) означает падение цены облигации при увеличении процентных ставок на величину Δr > 0. Такой же смысл имеет знак относительного приращения стоимости облигации . Относительное приращение стоимости облигации при изменении процентных ставок на величину Δr равно

= , (11.3)

где P(r) и P(r + Δr) рассчитываются по формулам (11.1) и (11.2). Рассмотрим, как можно оценить величину , не используя точных вычислений по формуле (11.3).

Считая Δr достаточно малым по абсолютной величине, получим по формуле Тейлора

ΔP(r) = P(r + Δr) - P(r) ≈ P^/(r)Δr

или с учетом членов разложения второго порядка

ΔP(r) = P(r + Δr) - P(r) ≈ P^/(r)Δr + P^//(r)(Δr)².

Члены более высокого порядка считаются незначительными при определении чувствительности цены облигации к изменению процентных ставок на рынке. Для относительных приращений цены облигации имеем

≈ (11.4)

или

≈ . (11.5)

Так как P(r) = , то P^/(r) = = и

P^//(r) = = ,

где С_i (0) = , i = 1, 2, …, n - приведенные к моменту t = 0 платежи по облигации. Тогда

= ,

= .

Определение. Число

D = (11.6)

называется дюрацией облигации, или дюрацией Маколея.

Дюрация облигации представляет собой средневзвешенный срок выплат по облигации, где весами являются текущие стоимости выплат С_i(0), деленные на рыночную цену облигации P(r). Таким образом, коэффициент выражает долю рыночной цены облигации, которая будет получена через t_i лет, i = 1, 2, …, n. Сумма коэффициентов в формуле (11.6) равна единице:

---

.

Определение. Число

C = (11.7)

называется показателем выпуклости облигации.

Таким образом,

= ,

= .

Тогда из формул (11.4) и (11.5) получаем

≈ (11.8)

или

≈ + . (11.9)

Проанализируем эти выражения. Так как чувствительность цены облигации к изменению процентных ставок характеризуется величиной , то из (11.8) следует, что дюрация облигации оценивает чувствительность цены облигации к изменению временной структуры процентных ставок. Следовательно, дюрацию облигации можно рассматривать как меру процентного риска облигации – чем больше дюрация, тем больше процентный риск облигации.

Пусть ≈ + и показатель выпуклости С таков, что вторым слагаемым нельзя пренебречь по сравнению с первым. Следовательно, чем больше показатель выпуклости, тем хуже дюрация облигации оценивает величину . И наоборот – чем меньше С, тем более верным является приближенное равенство (11.8). Следовательно, чем меньше С, тем лучше дюрация облигации оценивает чувствительность цены облигации к изменениям временной структуры процентных ставок. Таким образом, показатель выпуклости облигации можно интерпретировать как показатель того, насколько точно дюрация облигации оценивает величину .

Таким образом, в момент t = 0 дюрация облигации является мерой ее процентного риска при следующих условиях:

1) в начальный момент времени безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r (кривая доходностей является горизонтальной);

2) процентные ставки для всех сроков изменились мгновенно в этот же момент на одну и ту же величину Δr (кривая доходностей переместилась параллельно самой себе);

3) Δr мало;

4) показатель выпуклости облигации мал, т.е. справедлива формула (11.8).

На рис. 1.11.1 показана зависимость стоимости облигации P(r + Δr) от доходности (r + Δr). Кривая 1 построена по формуле (11.2) для точного поведения цены. Из формул (11.8) и (11.9) получим выражения для приближенного поведения цены:

P(r + Δr) ≈ P(r) , (11.10)

P(r + Δr) ≈ P(r) + . (11.11)

Зависимость (11.10), описывающая изменение цены только с помощью дюрации облигации, является линейной относительно (r + Δr) (кривая 2). Зависимость (11.11), описывающая изменение цены облигации с помощью дюрации и показателя выпуклости, является квадратичной (кривая 3).

Рис. 1.11.1

Пример 11.1. Дана 6% - ная купонная облигация номиналом 1000 д.е., по которой обещают производить купонные выплаты каждые полгода в течение 3 лет. Безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и составляют 8% в год. Определить:

1. Дюрацию и показатель выпуклости облигации;

2. Относительное изменение цены облигации при изменении процентных ставок на величину Δr = 0,01; 0,02; – 0,01 по формулам: (11.3) – точное значение, (11.8) – приближенное с учетом только дюрации облигации, (11.9) - приближенное с учетом дюрации и показателя выпуклости облигации.

Здесь значения параметров облигации следующие: A = 1000 д.е., f = 0,06, m = 2, T = 3 года, r = 0,08.

---

1. Результаты расчета дюрации и показателя выпуклости облигации приведены в таблице:

Номер платежа	Срок платежа ti	Сумма платежа Ci	Ci(0)		ti	ti (ti +1)
1	0,5	30	28,867513	0,030339	0,015170	0,022754
2	1	30	27,777778	0,029194	0,029194	0,058388
3	1,5	30	26,729179	0,028092	0,042138	0,105345
4	2	30	25,720165	0,027031	0,054063	0,162189
5	2,5	30	24,749240	0,026011	0,065028	0,227596
6	3	1030	817,647208	0,859332	2,577997	10,311990
		Сумма	951,491083	1,000000	2,783589	10,888262

Таким образом, цена облигации P(0,08) = 951,491 д.е., ее дюрация D = 2,784 года, показатель выпуклости C = 10,888 лет².

2. Расчеты относительного изменения цены по формулам (11.3), (11.8), (11.9) для трех значений Δr приведены в таблице:

Δr		0,01	0,02	-0,01
	Формула (11.3)	-0,025314	-0,049736	0,026248
	Формула (11.8)	-0,025774	-0,051548	0,025774
	Формула (11.9)	-0,025307	-0,049681	0,026241

Отрицательные значения соответствуют падению цены при увеличении процентных ставок, положительные – ее росту при снижении процентных ставок. Из расчетов видно, что чем меньше величина Δr по абсолютной величине, тем ближе значения, получаемые по формулам (11.3) и (11.8). Значит, тем меньше ошибка в оценке изменения цены только с помощью дюрации облигации.

Свойства дюрации и показателя выпуклости облигации.

1. Дюрация облигации не превосходит срока до ее погашения Т.

Действительно,

,

где P(r) – рыночная стоимость облигации в момент t = 0, r – ее внутренняя доходность.

2. Дюрация чисто дисконтной облигации равна сроку до ее погашения.

Действительно, для чисто дисконтной облигации имеем

,

где A – номинал облигации. Тогда дюрация облигации равна

.

3. Если облигация не является чисто дисконтной, то чем больше внутренняя доходность облигации, тем меньше ее дюрация и показатель выпуклости.

Доказательство. Рассмотрим облигацию, по которой через t₁ , t₂,…, t_n лет от текущего момента времени t = 0 (0 < t₁ < t₂ < … < t_n ) обещают выплатить денежные суммы С₁, С₂,…, С_n соответственно. Безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Покажем, что дюрация D и показатель выпуклости C облигации - это убывающие функции r. Согласно определению

.

Рассмотрим производную

= .

Используем обозначения

, , .

Покажем, что a² – bc < 0 методом математической индукции по числу платежей n.

Основание индукции n = 2.

a² – bc = =

= , где t₂ > t₁.

Предположим, что утверждение верно для ( n – 1 ) платежей по облигации, т.е.

= .

Пусть теперь число платежей по облигации равно n. Рассмотрим

a² – bc = =

= ( ) – ,

где < 0 по предположению индукции.

---

, где 0 < t₁ < t₂ <…< t_n.

Следовательно a² – bc < 0 для всех целых n > 1. Значит, .

Согласно определению, показатель выпуклости равен

.

Тогда

C = D + B,

где – дюрация облигации, . Следовательно, , где . Покажем, что .

.

Используем обозначения

, , , .

Покажем, что ab – dc < 0 методом математической индукции по числу платежей n.

Если n = 2, то

, где 0 < t₁ < t₂.

Положим, для ( n – 1 ) платежей по облигации, т.е.

.

Для n платежей по облигации имеем

.

по предположению индукции, =

= =

, где 0 < t₁ < t₂ <…< t_n.

Значит, ab – dc < 0 для всех целых n > 1. Следовательно . Тогда . Свойство доказано.

4. Если все платежи по облигации отсрочить на t₀ лет, не изменяя ее внутренней доходности r, то дюрация облигации увеличится на t₀ лет, а показатель выпуклости – на (t₀² + 2 t₀D + t₀ ) лет².

Доказательство. Дюрация исходной облигации

.

Дюрация облигации с отсроченными платежами

= .

Таким образом,

= D + t₀. (11.12)

Показатель выпуклости исходной облигации

.

Показатель выпуклости облигации с отсроченными платежами равен

= C + 2 t₀D + t₀² + t₀ .

Таким образом,

= C + (t₀² + 2 t₀D + t₀ ). (11.13)

Свойство доказано.

5. Если до погашения облигации остается больше одного купонного периода, то при заданном значении внутренней доходности r дюрация облигации и показатель выпуклости тем больше, чем меньше купонная ставка.

Доказательство. Покажем, что дюрация облигации и показатель выпуклости – убывающие функции купонной ставки f .

Формула (11.6) для дюрации купонной облигации, продающейся через время после купонной выплаты с доходностью к погашению r, когда до погашения остается n купонных выплат, имеет вид:

. (11.14)

Цена облигации

.

Используем обозначения

. (11.15)

Тогда

.

Рассмотрим производную дюрации по купонной ставке f.

,

так как и по условию n > 1. Таким образом, .

Показатель выпуклости купонной облигации равен

. (11.16)

Используем те же обозначения (11.15). Тогда

C = .

Рассмотрим производную

.

Отсюда

.

Таким образом, . Свойство доказано.

6. Зависимость дюрации облигации от срока до погашения при неизменных f и r, где f и r – купонная ставка и внутренняя доходность облигации соответственно, сформулируем в виде следующих утверждений. Пусть D_n – дюрация облигации, платежи по которой выплачиваются m раз в год и до погашения которой остается n купонных периодов. Тогда

6а. .

6b. Если , то последовательность {D_n} является возрастающей.

6с. Если f < r, то можно указать число n₀ такое, что для облигаций с числом периодов до погашения n < n₀ последовательность {D_n} является возрастающей.

Доказательство. 6а. Согласно (11.14), дюрация облигации при τ = 0, когда до погашения остается n купонных периодов, равна

. (11.17)

Так как

,

то

,

где < 1. Поскольку , то получаем .

Так как обычно r мало, то

.

Тогда

. (11.18)

Заметим, что значение предела не зависит от купонной ставки облигации.

6b. Пусть . Для простоты будем считать, что платежи по облигации выплачиваются раз в год (m = 1) и до ее погашения остается n лет (τ = 0). Тогда дюрация купонной облигации равна

---

.

Используем обозначение . Тогда

.

Так как , , то

,

где a = (1 – p)(1 – p – fp). Покажем, что .

Рассмотрим разность

D_n+1 – D_n = =

= ,

где .

Покажем, что B > 0. Используем метод математической индукции по числу оставшихся до погашения облигации купонных платежей.

Основание индукции n = 0. Тогда

.

Заметим, что при n = 0 разность D₁ – D₀ = 1, т.к. D₁ = 1 - дюрация облигации за год до погашения, когда она уже является чисто дисконтной, D₀ = 0 - дюрация облигации в день погашения сразу после купонной выплаты.

Предположим, что B > 0 при n = k, т.е.

.

Пусть теперь n = k + 1. Рассмотрим

.

По предположению индукции B_k > 0.

,

так как , при . Следовательно, B_k+1 > 0. Отсюда B > 0 для любого целого неотрицательного n. Значит, D_n+1 – D_n > 0. Утверждение доказано.

На рис. 1.11.2 показана зависимость дюрации облигации от срока до погашения при , m = 1, τ = 0.

Рис. 1.11.2

6с. Пусть . Дюрация купонной облигации, платежи по которой выплачиваются раз в год (m = 1) и до погашения остается n лет (τ = 0), равна

.

Рассмотрим разность

D_n+1 – D_n = ,

где

,

a = (1 – p)(1 – p – fp), .

Преобразуем это выражение к виду:

. (11.19)

Легко убедиться, что если , то B > 0 (следовательно ). С другой стороны, если n достаточно велико, например , то B < 0 (следовательно,). Действительно,

.

Следовательно, существует срок, когда разность изменяет знак. В качестве приближенного значения такого срока можно взять (целую часть). Число получено при условии, что , когда выражение в квадратных скобках в (11.19) равно нулю. Равенство является приближенным с точностью до . Следовательно, чем ближе значения r и f , тем точнее полученное данным методом значение , что и подтверждается расчетами для r = 25% и ряда значений f.

f		(лет)	Значение n (лет), при котором Dn+1 - Dn меняет знак (точное)
3 %	9,7	9	12
5 %	10,3	10	12
10 %	12,3	12	13
15 %	16,5	16	17
20 %	29,0	29	30
23 %	66,5	66	67
24 %	129,0	129	129

Из выражения для n₀ следует, что чем ближе значения r и f , тем больше срок n₀. Кроме того, несложно убедиться, что чем больше купонная ставка f, тем больше n₀. Эти выводы подтверждаются приведенными расчетами. Элементы последнего столбца в этой таблице получены из непосредственных вычислений дюрации облигации для различных значений n по формуле (11.17). Пример таких вычислений для купонных ставок f₁ = 5% и f₂ = 10% показан в следующей таблице:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Df1	1	1,94	2,82	3,60	4,29	4,87	5,34	5,70	5,96	6,13	6,21	6,24	6,22	6,16	6,08
Df2	1	1,90	2,68	3,35	3,90	4,34	4,68	4,93	5,11	5,23	5,30	5,34	5,36	5,35	5,33

---