Е.В. Ширшов, Н.И. Петрик,

А.Г. Тутыгин, Т.В. Меньшикова

ФИНАНСОВАЯ

МАТЕМАТИКА

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

КНОРУС

Москва

2009

Министерство образования и науки Российской Федерации

Е.В. Ширшов, Н.И.Петрик,

А.Г.Тутыгин, Т.В. Меньшикова

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области финансов, учета и мировой экономики в качестве учебного пособия

КНОРУС

Москва

2009

УДК 681.140

ББК 65.26 Я 73

Ш30

Эксперт – М.С. Красс, д-р физ-мат. наук, проф. кафедры математического моделирования экономических процессов Финансовой академии при Правительстве РФ

Рецензенты – П.Д. Андреев, доц. кафедры математического анализа и геометрии Поморского государственного университета им. М.В. Ломоносова, канд. физ.-мат. наук;

В.А. Скрипниченко, проф. кафедры финансов, налогообложения и бюджета Всероссийского заочного финансово-экономического института, д-р экон. наук

Ширшов Е.В. Финансовая математика: Учебное пособие. – 5-е изд., перераб. и доп. / Е.В. Ширшов, Н.И. Петрик, А.Г. Тутыгин, Т.В. Меньшикова. – М.: Изд-во Кнорус, 2009. - 123 с.

Подготовлено кафедрами автоматизации обработки экономической информации, финансов и кредита, высшей математики.

В пособии систематизированы методы количественного финансового анализа. Приведены различные методы и способы разнообразных финансовых и кредитных расчетов. Подробно рассмотрены методы начисления процентов, обобщающие характеристики рентных платежей, методики определения эффективности краткосрочных и долгосрочных финансовых вложений.

Предназначены для студентов института экономики, финансов и бизнеса специальностей 061100 ²Менеджмент², 060500 ²Бухучет и аудит², 060400 ²Финансы и кредит², 060800 ²Экономика и управления в отраслях лесного комплекса² всех форм обучения.

Библиогр. 8 назв.

ISBN

© КНОРУС, 2009

ВВЕДЕНИЕ

В любом из современных курсов экономики используется математи­ческий аппарат. Профессиональное занятие бизнесом требует, прежде всего, умения оценивать все возможные варианты финансовых последствий при совершении любой сделки. Центральная проблема экономики — это про­блема рационального выбора, для этого необходимы определенные знания в области финансовых вычислений, основанные на теории и практике ко­личественного финансового анализа. Роль математических методов в эко­номике постоянно возрастает.

В первом разделе пособия рассмотрены основные понятия финансо­вого количественного анализа, приведены параметры финансовых вычис­лений — проценты, система процентных ставок, наращение процентов, дисконтирование платежей, финансовая эквивалентность платежей, влия­ние инфляционных процессов, консолидация платежей, аннуитеты, пока­зана их взаимосвязь.

---

Во втором разделе уделено внимание вопросам, относящимся к ко­личественному анализу разнообразных потоков платежей. Рассмотрены методы погашения долгов, ипотечное кредитование, операции с ценными бумагами, страхование.

Все разделы пособия содержат типовые примеры, что облегчает вос­приятие теоретического материала и делает его доступным для самостоя­тельного освоения и применения в практической деятельности как студентами, так и специалистами различных финансовых институтов. Изложение материала построено от простого к сложному, что позволяет сделать пра­вильный математический расчет в определенной хозяйственной ситуации и сделать выбор.

Пособие представляет интерес не только для студентов экономических вузов, бизнес-школ, колледжей, но и специалистов - сотрудников банков, ин­вестиционных компаний, пенсионных фондов и страховых компаний.

---

РАЗДЕЛ I. Основные понятия

финансовой математики

__________________________________________________________________________________________________

1. Основные виды процентов

Проценты процентные деньги - это абсолютная величина дохода (interest) от предоставления капитала в долг в любой ее форме выдача ссуды, покупка облигации, учет векселя, продажа товара в кредит и т.д.. Проценты обозначаются буквой I. Величина полученного дохода определяется исходя из:

1. величины вкладываемого капитала P;

2. срока n, на который вкладывается капитал;

3. размера и вида процентной ставки (обозначения i, d, j, f, ).

Наращение основной суммы S происходит за счет присоединения процентных денег к основному капиталу: S = P + I.

Коэффициентом наращения называется безразмерная величина, которая показывает, во сколько раз вырос капитал.

Период начисления - это промежуток времени, за который начисляются проценты. Период начисления может быть разбит на интервалы, по прошествии которых происходит начисление процентов.

Существуют два способа начисления процентов: декурсивный и антисипативный. При декурсивном способе проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из предоставляемого капитала P. Процентная ставка представляет собой отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода (процентов) к сумме имеющегося капитала на начало данного интервала. При антисипативном (предварительном) способе проценты начисляются в начале каждого интервала. Сумма процентных денег (дохода) определяется исходя из наращенной суммы. В этом случае процентная ставка представляет собой отношение суммы дохода, выплачиваемой за определенный интервал, к величине наращенной суммы. Такая процентная ставка называется учетной (в широком смысле).

При обоих способах начисления проценты могут быть либо простыми, либо сложными.

1.1. Простые проценты

Величина процентной ставки определяется как где I_Г - сумма процентов за год; P - сумма капитала, предоставляемого в кредит. Процентная ставка выражается десятичной дробью.

Для простых процентов доход за n лет

I = I_Г n .

Наращение основной суммы

S=P+ I = P+ Pin =P(1+in),

где 1 + in = k_н - коэффициент наращения.

Когда срок финансовой сделки не равен целому числу лет, период начисления равен отношению числа дней  функционирования сделки к числу дней в году K, то есть

n = .

В этом случае формула наращенной суммы примет вид

.

На практике применяются три варианта расчета процентов с использованием временной базы К.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (английская практика). Продолжительность года K (временная база) равна 365 (366) дням. Точное число дней ссуды  определяется путем подсчета числа дней между датой выдачи ссуды и датой ее погашения. Для подсчета числа дней можно воспользоваться прил. 1.

2. Обыкновенные (коммерческие) проценты с точным числом дней ссуды (французская практика). Величина  рассчитывается как в предыдущем случае, а временная база принимается равной K=360 дн.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская практика). В этом случае год делится на 12 месяцев по 30 дней в каждом и временная база K = 360 дн.

---

При точном и приближенном методах начисления процентов день выдачи и день погашения ссуды принимают за 1 день.

Пример 1.1. Банк выдал кредит 50 тыс. руб. 15 января. Срок возврата кредита 12 сентября. Процентная ставка установлена в размере 10 годовых. Год невисокосный. Определить сумму, подлежащую возврату.

Решение. Наращенную сумму долга S, подлежащую возврату, рассчитаем тремя методами.

1. По формуле точных процентов с точным числом дней ссуды. Точное число дней ссуды определим по прил. I. Порядковый номер 15 января - 15, порядковый номер 12 сентября - 255. Точное число дней ссуды  = 255 - 15 = 240 дн.

тыс. руб.

2. По формуле обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды.

 53, 333 тыс. руб.

3. По формуле обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды. Приближенное число дней ссуды: январь - 16 дней, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август- 307 дн., сентябрь - 12 дн.

Тогда

 = 16 + 307 + 12 - 1 = 237 дней.

тыс. руб.

Рассмотрим случай, когда на различных интервалах начисления процентов применяются различные простые процентные ставки. Наращенная сумма на конец срока определяется следующим образом:

,

где i_t - ставка простых процентов в периоде t, t=; n_t - продолжительность периода; .

Пример 1.2. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год - ставка 10%, в каждом последующем полугодовая ставка повышается на 1%. Необходимо определить коэффициент наращения за два года.

Р е ш е н и е. Находим коэффициент наращения

k_н= = 1 + 0,11 + 0,110,5 + 0,120,5 = 1,215.

Обычно к наращению по простым процентам прибегают при выдаче краткосрочных ссуд (на срок до одного года) или в случае, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору.

На практике при инвестировании средств в краткосрочные депозиты прибегают к начислению процентов на уже наращенные в предыдущем периоде суммы, то есть происходит многоразовое наращение, именуемое реинвестированием, или капитализацией процентов. В этом случае наращенная сумма определяется по формуле

.

Пример 1.3. 200 руб. положены 1 марта на месячный депозит под 12% годовых. Какова наращенная сумма, если операция повторяется три раза?

Р е ш е н и е. Если начисляются точные проценты, то

руб.

Начисление обыкновенных процентов (германская практика) наращенная сумма

1.2. Простые учетные ставки

Простая учетная ставка - антисипативный способ начисления процентов. Суть его сводится к тому, что проценты начисляются в начале расчетного периода, при этом за базу (100%) принимается сумма погашения долга.

Введем обозначения:

d % - простая годовая учетная ставка;

d - относительная величина этой ставки;

D_г - сумма процентных денег за год;

D - сумма процентных денег за период, равный n.

Тогда простая учетная ставка

где S - наращенная сумма.

---

Сумма процентных денег за 1 год составит D_г = dS, а за период n D = D_г n = Sdn. Произведем преобразования:

S = P + D; S = P + Sdn; S - Sdn = P; P = S(1 - dn).

Получаем - основная формула для простых антисипативных процентов. Здесь - коэффициент наращения.

Можно также записать

.

Пример 1.4. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 310 руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что при начислении процентов используется простая учетная ставка и временная база K=360 дн.?

Р е ш е н и е. Первоначальная сумма долга - это величина P

руб.

На практике расчеты по простым учетным ставкам чаще всего применяются при учете векселей и других краткосрочных долговых обязательств.

Пример 1.5. Владелец векселя учел его в банке по простой учетной ставке 9% за 30 дней до срока погашения, получив при этом 70 тыс. руб. Определить номинал векселя.

Р е ш е н и е. Номинал векселя - это величина S

руб.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.1. За срок займа сумма обыкновенных процентов по банковскому векселю составила 15 тыс. руб.

Определить, используя прямое и обратное соотношение обыкновенных и точных процентов, сумму точных процентов при условии, что год високосный.

Задача 1.2. Годовая ставка при начислении обыкновенных процентов по депозитному 30 - дневному сертификату номиналом 100 тыс. руб. равна 10%. Год високосный.

Определить:

1) размер годовой ставки при начислении точных процентов, обеспечивающий доход, равный коммерческим процентам (использовать прямое и обратное соотношения обыкновенных и точных процентов).

2) сумму обыкновенных и точных процентов, выплаченных при погашении сертификата.

Задача 1.3. Переводный вексель выдан на сумму 500 тыс.руб. с уплатой 19 декабря. Векселедержатель учел вексель в банке 25 октября по учетной ставке 8%.

Определить сумму, полученную векселедержателем, и размер дисконта в пользу банка.

Задача 1.4. Сберегательный сертификат выдан на 180 дней под 60 % годовых с погашением по 50 тыс. руб. Год не високосный.

Определить доход держателя сертификата.

Задача 1.5. На какой срок должен быть выпущен сберегательный сертификат номиналом 10 тыс.руб., если сумма погашения при 8% годовых составляет 10,5 тыс.руб.? Год невисокосный.

Задача 1.6. Сберегательный сертификат номиналом 10 тыс.руб. выдан на 120 дней с погашением в сумме 12 тыс. руб.

Определить: 1) учетную ставку; 2) процентную ставку

За временную базу принять 360 дней.

Задача 1.7. По сберегательному сертификату, выданному на 210 дней, начисляется дисконт в размере 12% от суммы погашения. Год не високосный.

Определить: 1) учетную ставку; 2) процентную ставку.

1.3. Сложные проценты

Основное отличие сложных процентов от простых заключается в том, что база для начисления процентов меняется от одного расчетного периода к другому. Сумма начисленных в каждом периоде процентов добавляется к капиталу предыдущего периода, а начисление процентов в последующем периоде производится на эту, уже наращенную величину первоначального капитала. Механизм наращения первоначального капитала по сложным процентам называется капитализацией.

---