Файл: Finmat.doc

Составим уравнение эквивалентности:

откуда

.

Искомая ставка равна взвешенной средней арифметической, в качестве весов берутся размеры ссуд.

Если проценты сложные, то уравнение эквивалентности будет выглядеть так:

,

отсюда средняя ставка сложных процентов

.

Пример 5.2. Выданы две ссуды P₁ = 1 тыс. руб., P₂ = 2 тыс. руб. Первая выдана под 10% годовых, вторая - под 15%, сроки ссуд одинаковы и равны 2 годам.

Р е ш е н и е. Найдем среднюю процентную ставку, если ставки простые:

.

Средняя процентная ставка для сложных ставок

.

6. Доходность ссудных и учетных операций

с удержанием комиссионных

За открытие кредита, учет векселей и другие операции кредитор часто взимает комиссионные, которые повышают доходность операции, так как сумма фактически выданной ссуды сокращается.

Пусть ссуда в размере P выдана на срок n. При её выдаче удерживаются комиссионные. Величина комиссионных Pg, где g - доля комиссионных в относительных единицах.

Пусть для начала сделка предусматривает начисление простых процентов по ставке i. При определении доходности этой операции в виде годовой ставки сложных процентов i_эф исходим из того, что наращение величины P - Pg по этой ставке должно дать тот же результат, что и наращение P по ставке i.

,

отсюда

.

Пример 6.1. При выдаче ссуды на 180 дней под 8% годовых (проценты простые) кредитором удержаны комиссионные в размере 0,5% суммы кредита. Какова эффективность ссудной операции в виде годовой ставки сложных процентов? (К=365).

Р е ш е н и е. Доходность ставки

(9,27%).

Предположим, что необходимо охарактеризовать доходность в виде ставки простых процентов. Имеем:

;

.

Если рассмотреть предыдущий пример, то эффективная ставка простых процентов составит:

.

Если ссуда выдается под сложные проценты и доходность мы определяем в виде ставки сложных процентов, то исходное уравнение для определения i_эф.с. имеет вид

.

Если доход извлекается из операции учета по простой учетной ставке, а доходность мы определяем в виде ставки сложных процентов, то балансовое уравнение имеет вид

.

Пример 6.2. Вексель учтен по ставке d =10% за 160 дней до его оплаты. При выполнении операции учета с владельца векселя удержаны комиссионные в размере 0,5%. Временная база учета 360 дней. Какова эффективность ссудной операции в виде годовой ставки сложных процентов?

Р е ш е н и е. Эффективность ссудной операции в виде годовой ставки сложных процентов равна

.

7. Налог на полученные проценты

В ряде стран проценты облагаются налогом, что, естественно, уменьшает реальную наращенную сумму.

Обозначим наращенную сумму до выплаты налогов через S, а с учетом выплаты как . Пусть ставка налога на проценты равна g. В случае простых процентов налог равен Ig = P i n g. Найдем наращенную сумму после выплаты налогов

=S-(S-P)g = S(1-g)+Pg = P(1+in)(1-g)+Pg = P+Pin(1-g) = P(1+in (1-g)).

---

Таким образом, учет налога сводится к сокращению процентной ставки: вместо ставки i фактически применяется ставка i (1-g).

В долгосрочных операциях при начислении налога на сложные проценты возможны следующие варианты:

1) налог начисляется за весь срок сразу, то есть на всю сумму процентов;

2) сумма налога определяется за каждый истекший год. Тогда ежегодная сумма налога будет величиной переменной, так как сумма процентов увеличивается во времени.

В первом случае сумма налога равна , а наращенная сумма после выплаты налога .

Рассмотрим второй случай. Обозначим налог за год t как G_t. Тогда

.

За первый год налог составит G₁ =Pig ;

за второй G₂ =P(1+i)ig;

за n-й G_n =P(1+i)^n-1ig.

Налог за n лет

.

Пример 7.1. Пусть ставка налога на проценты равна 2%. Процентная ставка - 8% годовых, срок начисления - три года. Первоначальная сумма ссуды 1 000 руб. Определить наращенную сумму с учетом выплаты налога на проценты.

Р е ш е н и е. При начислении простых процентов за весь срок получим: наращенная сумма без уплаты налогов

S=P(1+in)=1 000(1+0,083)=1 240 руб.,

с учетом их выплаты в конце срока

S^’ = P(1+n(1-g)i) = 1 000(1+30,980,08) = 1235,2 руб. ,

сумма налога

1 240 -1 235,2 = 4,8 руб.

Начислим теперь сложные проценты. Рассмотрим случай, когда сумма налога определяется за каждый истекший год.

Наращенная сумма без уплаты налогов

S = P(1+i)ⁿ = 1 0001,08³  1 259,71 руб.

Налог за t-й год равен G_t = P(1+i)^t-1ig, тогда

Тогда за первый год G₁ = 1 0001,08⁰0,080,02 = 1,60 руб.,

за второй год G₂ = 1 0001,080,080,02 = 1,728 руб.,

за третий год G₃ = 1 0001,08²0,080,02 = 1,8662 руб.

Сумма налога G за три года равна 5,19 руб. Наращенная сумма после выплаты налога составляет 1 254,52 руб.

8. Расчет наращенных сумм в условиях инфляции

Инфляционные процессы, характерные для экономики многих стран, требуют того, чтобы они учитывались в финансовых расчетах.

Пусть за рассматриваемый промежуток времени стоимость потребительской корзины возросла с величины S до S₁ руб., тогда стоимость потребительской корзины изменилась на величину

.

Величина называется уровнем инфляции. Она показывает, на сколько процентов выросли цены за рассматриваемый период времени.

Величина  = называется темпом инфляции, тогда

) .

Величина 1 +  = I называется индексом инфляции. Индекс инфляции показывает, во сколько раз выросли цены за рассматриваемый период.

Пусть  - годовой темп инфляции и пусть имеется некоторая сумма S. Для того чтобы сохранилась покупательская способность, сумма S должна составлять:

через один год S₁ = S(1+),

через два года S₂ = S(1+)²,

через n лет S_n = S(1+)ⁿ .

За рассматриваемый период (n лет) индекс инфляции составит I_n=(1+)ⁿ . Таким образом, инфляционный рост цен подчиняется закону сложного процента.

Пример 8.1. Цены за каждый месяц растут на 8%. Найдите годовой уровень инфляции.

---

Р е ш е н и е. По условию месячный темп инфляции  = 0,08, тогда индекс цен за год

I₁ =(1+)ⁿ = 1,08¹²  2,5182,

но

I₁ =1+₁,

где ₁ - темп инфляции за год.

Следовательно, ₁=1,5182, и годовой уровень инфляции составляет 151,82%.

Если цены в текущем периоде повышаются на _t% относительно уровня, сложившегося в предыдущем периоде, то индекс цен за три месяца равен 1,081,061,05 = 1,20204, уровень инфляции составит 20,204%, а темп инфляции за три месяца равен  = 0,20204.

Пусть i - безынфляционная ставка, отражающая реальную доходность операции; i_ - процентная ставка, которая учитывает инфляцию. Тогда наращенная сумма S на первоначальный капитал P за год составит:

S = P(1+ i_) или S = P(1+i)(1+),

отсюда

(1+ i_) = (1+i)(1+),

i_ = i++i - формула Фишера.

Годовую ставку i, чтобы учесть инфляцию, нужно увеличить на величину +i, эта величина называется инфляционной премией.

Можно сделать следующие выводы:

1. если ставка сложных процентов, в которую вложена инфляция, равна темпу инфляции (i_ =), то реальная доходность операции равна нулю;

2. если i_ < , то i < 0, т.е. финансовая операция убыточна;

3. если i_ >  , то i > 0, т.е. финансовая операция приносит реальный доход.

Пример 8.2. Кредит в 10 000 руб. выдан на два года. Реальная доходность должна составлять 11% годовых (проценты сложные). Расчетный уровень инфляции 16% в год. Определить ставку процентов при выдаче кредита, а также наращенную сумму.

Р е ш е н и е. Найдем годовую ставку процентов, учитывающую инфляцию:

i_ = i++i = 0,11+0,16+0,110,16 = 0,2876.

Наращенная сумма

S_ = 10 000(1+0,2876)² = 16579.

В случае если период n отличен от одного года, для простых ссудных процентов мы имеем

1+i_n= (1+in)I_n ,

Отсюда

i_ = .

Для сложных процентов

(1+ i_)ⁿ = (1+i)ⁿ  I_n ,

отсюда ставка сложных процентов, учитывающая инфляцию,

i_ = (1+i) .

Пример 8.3. Кредит 12 000 руб. выдан на 3 года. На этот период прогнозируется рост цен в 2,2 раза. Определить ставку процентов при выдаче кредита и наращенную сумму долга, если реальная доходность должна составлять 12% годовых по ставке сложных процентов.

Р е ш е н и е. Ставка сложных процентов, учитывающая инфляцию,

i_ =(1+i) = (1+0,12) = 0,4566 (45,66%).

Наращенная сумма долга

S_ =12 000(1+0,4566)³ = 37 085,3 руб.

Найдем номинальную ставку сложных процентов, учитывающую инфляцию:

выполнив преобразования, получим

- 1 .

Пример 8.4. При уровне инфляции 80% в год капитал вкладывается на один год под номинальную ставку 50%, начисление процентов ежемесячное. Какова реальная доходность этой операции.

Р е ш е н и е. По условию n=1, m=12,  =0,8, I=1,8, j_ =0,5. Нам нужно найти безынфляционную номинальную ставку сложных процентов, чтобы оценить реальную доходность операции. Из уравнения

находим j:

- 1 = 12  .

Вывод: финансовая операция убыточна.

9. Финансовая эквивалентность обязательств

Две суммы денег S₁ и S₂ , выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные стоимости, рассчитанные по одной и той же процентной ставке на один момент времени, одинаковы.

---

Пример 9.1. Имеются два обязательства. Условия первого - выплатить 400 руб. через четыре месяца; условия второго - выплатить 450 руб. через восемь месяцев. Можно ли считать их равноценными?

Р е ш е н и е. Применим простую ставку, так как платежи краткосрочные. Возьмем ставку сравнения 12%. Тогда современные стоимости этих платежей:

руб., руб.

Сравниваемые обязательства не являются эквивалентными при заданной ставке и не могут заменять друг друга.

Результат сравнения зависит от некоторой ставки. Существует критическая ставка i₀ , при которой P₁ = P₂ . Отсюда

и .

Для рассмотренного выше примера i₀ = 42,86%. Соотношение P₁ < P₂ справедливо для i < 42,86%; P₁ > P₂ при i > 42,86%.

Найти критическую ставку, если дисконтирование производится по сложной ставке (самостоятельно).

10. Консолидация платежей

Пусть платежи S₁, S₂, ..., S_m со сроками уплаты n₁, n₂, ..., n_m заменяются одним в сумме S₀ и сроком n₀. Решим задачу: задан срок n₀ , найти сумму консолидированного платежа.

Применим простые процентные ставки. Запишем уравнение эквивалентности:

,

где S_j - размеры объединяемых платежей со сроками n_j < n₀; S_k - размеры платежей со сроками n_k > n₀ .

В частном случае, когда n₀ > n_î , (j = ),

.

Пример 10.1. Два платежа 1 000 руб. и 500 руб. со сроками уплаты соответственно 150 и 180 дней объединяются в один со сроком 200 дней. Пусть стороны согласились на применение простой ставки, равной 10% годовых. Найдите консолидированную сумму долга. К=365.

Р е ш е н и е. Консолидированная сумма долга составит:

руб.

При объединении обязательств можно применить сложные ставки. В этом случае уравнение эквивалентности имеет вид

.

Пример 10.2. Платежи в 1 000 руб. и 2 000 руб. со сроками уплаты два и три года объединяются в один со сроком 2,5 года. При консолидации используется сложная ставка 20%. Найдите сумму консолидированного платежа.

Р е ш е н и е. Сумма консолидированного платежа составит:

S₀ = 1 0001,2^0,5 + 2 0001,2^-0,5 = 2 921,19 руб.

Пример 10.3. Имеются два кредитных обязательства - 500 руб. и 600 руб. со сроками уплаты 1.10 и 1.01 (нового года). По согласованию сторон обязательства были пересмотрены на новые условия: первый платеж в размере 700 руб. должник вносит 1.02, остальной долг он выплачивает 1.04. При расчетах используется простая процентная ставка - 10% годовых. Необходимо определить величину второго платежа - S₀.

Р е ш е н и е. За базовую дату, то есть за дату приведения, примем 01.01 (нового года).

01.10 – 274-й порядковый день в году;

01.01 – 356-й или 1 день в новом году;

01.02 – 32-й день в году;

01.04 – 91-й день.

Запишем уравнение эквивалентности:

.

Решая уравнение, найдем, что S₀ = 428,82 руб.

За базу можно принять и другую дату, например 1.04. Тогда S₀=428,41 руб.

Отличие результатов, полученных при расчете S₀ на различные даты, неизбежно и обусловлено соотношением:

1 + ni  (1 + n₁i)(1 + n₂i),

где n = n₁ + n₂ .

При консолидации векселей в расчетах чаще всего используется учетная ставка. Записать уравнение эквивалентности для этого случая.

---

11. Аннуитеты (финансовые ренты)

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют аннуитетом или финансовой рентой.

Например, аннуитетом является последовательность получения процентов по облигации, платежи по потребительскому кредиту, регулярные взносы в пенсионный фонд и так далее.

Аннуитет характеризуется следующими параметрами:

1. величиной каждого отдельного платежа;

2. интервалом между платежами;

3. сроком от начала аннуитета до его конца (бывают вечные аннуитеты);

4. процентной ставкой.

Ведем обозначения:

R - величина годового платежа в аннуитете;

i - процентная ставка сложных процентов, используемая для расчета наращения или дисконтирования платежей;

A_k - современная стоимость k - ого платежа;

A - современная стоимость всего аннуитета;

S_k - будущая стоимость k - го платежа;

S - будущая стоимость всего аннуитета.

Обобщающими показателями аннуитета являются: современная стоимость всего аннуитета А и будущая стоимость всего аннуитета S.

Наращенная сумма - сумма всех членов потока платежей с начисленными на них процентами на конец срока

.

Современная стоимость - сумма современных стоимостей членов потока платежей:

.

Рассмотрим аннуитет постнумерандо, в котором платежи производятся в конце периодов. На вносимые платежи один раз в год начисляются проценты. Будущие стоимости членов аннуитета:

.

Будущая стоимость аннуитета

.

Величину называют коэффициентом наращения аннуитета, его обозначение - FVIFA (Future Value of Interest Factor of Annuity). Значения коэффициента наращения табулированы (см. приложение IV).

Итак, наращенная сумма аннуитета постнумерандо:

S = R×FVIFA_{i,n .}

Если платежи производятся в начале периодов, то речь идет об аннуитете пренумерандо.

Формула расчета наращенной суммы аннуитета пренумерандо имеет вид

Таким образом,

S¢ = S(1+i).

Если платежи вносятся в середине периода, то наращенная сумма аннуитета

.

Современная стоимость аннуитета постнумерандо

.

Величина называется коэффициентом приведения аннуитета, его обозначение (Present Value of Interest Factor of Annuity). Коэффициенты приведения аннуитета табулированы (см.прил.V).

Итак, формула расчета современной стоимости аннуитета постнумерандо

Аналогично современная стоимость аннуитета пренумерандо

.

Между наращенной и современной стоимостью аннуитета постнумерандо существует следующая зависимость:

.

Это означает, что если мы внесем в банк разовый платеж величиной А, то через n лет мы будем иметь наращенную сумму S, то есть аннуитет можно заменить разовым платежом.

Если платежи вносятся в середине периода, то современная стоимость

Пример 11.1. Определить современную стоимость и наращенную сумму аннуитета постнумерандо. Срок ренты 5 лет, разовый платеж 4 000 руб. вносится ежегодно. На поступившие взносы начисляются проценты по сложной ставке 8% годовых.

---