Файл: Finmat.doc

Как и в случае простых процентов, существуют два способа начисления сложных процентов: антисипативный и декурсивный.

В случае декурсивнного способа расчета сложных процентов начисление процентов на первоначальную сумму производится в конце периода наращения.

В конце первого периода (года) наращенная сумма равна:

S₁ = P + Pi = P(1 + i).

В конце второго периода (года) проценты начисляются на уже наращенную сумму

S₂ = P(1+i) + P(1+i)i = P(1+i)(1+i) = P(1+i)²

И так далее, в конце n-ого периода (года), наращенная сумма будет равна

S_n = P(1+i)ⁿ.

Величина (1+i)ⁿ является коэффициентом наращения сложных процентов (прил. II).

Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, то наращенную сумму можно найти смешанным методом

S = P(1+i)^[n](1+{n}i),

где [n] - целая часть числа n; {n}- дробная часть числа n.

В контрактах на получение кредитов часто предусматривается капитализация процентов по полугодиям, кварталам, иногда помесячно. В этом случае указывается годовая ставка j (номинальная). Тогда для начисления процентов m раз в году используется формула

.

Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, а начисление процентов производится m раз в году, то наращенная сумма может быть определена по смешанному методу

,

где mn - число полных периодов начисления процентов, {n}- дробная часть одного периода начисления процентов.

Пример 1.5. На сумму 600 руб. ежеквартально по ставке 12% годовых начисляются сложные проценты в течение 14 месяцев. Определить величину наращенной суммы двумя методами.

Р е ш е н и е. Общее число периодов начисления процентов составит:

mn = 4, {n}= 0,667.

Наращенная сумма

руб.

По смешанному методу начисления

руб.

Нестабильность экономической ситуации вынуждает банки использовать в кредитных сделках изменяющиеся во времени, но заранее фиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В этом случае наращенная сумма может быть определена по формуле:

,

где i_t - процентная ставка в периоде t, t = ; n_t - продолжительность периода.

Способ начисления сложных антисипативных процентов аналогичен методу при использовании простых антисипативных процентов.

В первом периоде наращенная сумма определяется по формуле

,

во втором

,

в n - м

,

где - коэффициент наращения при вычислении сложных антисипативных процентов; d - учетная ставка сложных процентов; n - число лет.

При наращении сложных процентов по учетной ставке несколько раз в году (m раз) наращенная сумма определяется по формуле

,

где f - номинальная учетная ставка; m - число период начисления процентов в течение года; n - число лет.

Пример 1.6. Срочный вклад в размере 800 руб. положен в банк на 2,5 года. По условиям договора начисления процентов производится один раз в году по сложной учетной ставке d = 15% годовых. Определить наращенную сумму.

Р е ш е н и е. Наращенная сумма составит

---

руб.

Если наращение по учетной ставке производить не один, а два раза в год (m = 2), то наращенная сумма будет равна:

руб.

1.4. Непрерывные проценты

Начисление процентов на первоначальный капитал может производиться столь часто, что этот процесс можно рассматривать как непрерывный.

При дискретном начислении процентов m раз в году по номинальной ставке j наращенная сумма

.

При m→∞.

.

где e^jn - коэффициент наращения при непрерывной капитализации процентов.

Если ставку непрерывных процентов j (силу роста) обозначить через , то величину наращенной суммы запишем в следующем виде:

.

Дискретные и непрерывные ставки наращения находятся в функциональной зависимости между собой. Из равенства коэффициентов наращения

следует, что

.

Пример 1.7. На первоначальный капитал в сумме 500 руб. начисляются сложные проценты - 8% годовых в течение 4 лет. Определить наращенную сумму, если начисление процентов производится непрерывно.

Р е ш е н и е. Найдем сначала силу роста σ, а потом наращенную сумму S:

В практических финансово-кредитных операциях непрерывные проценты применяются крайне редко. Они имеют теоретическое значение, используются в анализе сложных финансовых проблем при обосновании и выборе инвестиционных проектов.

2. Дисконтирование и его сущность

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды P. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется. Величину P, найденную дисконтированием наращенной суммы S, называют современной стоимостью. С помощью дисконтирования в финансовых операциях учитывается фактор времени. Разность S - P можно рассматривать не только как проценты, начисленные на P, но и как дисконт D с суммы S: D=S - P.

2.1. Математическое дисконтирование

Запишем формулу наращения по простой ставке процентов следующим образом

.

Величина = k_d - коэффициент дисконтирования по простым процентам.

Пример 2.1. Владелец векселя номинальной стоимости 400 руб. и сроком обращения один год предъявил его банку - эмитенту для учета за 90 дней до даты погашения. Банк учел его по ставке 12% годовых (проценты простые). Определить дисконтированную величину и величину дисконта, временная база К = 360.

Р е ш е н и е. Сумма, полученная владельцем векселя в результате его учета:

Величина дисконта D = 400 - 388,35 = 11,65 руб.

2.2. Банковское дисконтирование

Банковское дисконтирование основано на использовании учетной ставки d, то есть проценты за пользование ссудой начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока ссуды.

При банковском дисконтировании современная стоимость P величины S определяется по формуле:

P = S(1 - dn),

---

отсюда D = Sdn.

Рассмотрим пример 2.1. По условию S = 400,  = 90, K = 360, возьмем учетную ставку d = 12%. Тогда дисконтированная величина

руб.

Величина дисконта

D = S - P = 400 - 388 = 12 руб.

В отдельных случаях может возникнуть ситуация, когда совмещают начисление процентов по ставке i и дисконтирование по ставке d. В этом случае наращенная величина ссуды будет определяться по формуле:

S = P(1+in)(1-dn),

где n - общий срок платежного обязательства; n - срок от момента учета обязательства до даты погашения долга, то есть n < n.

Пример 2.2. Долговое обязательство в сумме 2 000 руб. должно быть погашено через 90 дней по ставке 10% годовых. Владелец обязательства учел его в банке за 30 дней до наступления срока по учетной ставке 12%. Найти полученную после учета векселя сумму и величину дисконта.

В соответствии с приведенной выше формулой:

руб.

2.3. Дисконтирование по сложной процентной

и по сложной учетной ставкам

Современная стоимость P величины S находится в случае сложной процентной ставки по формуле

где - дисконтный коэффициент (коэффициент дисконтирования). Значения этого коэффициента табулированы (см. прил. III).

Величина дисконта

При начислении процентов m раз в году получим

,

где = - можно определить, используя прил.III.

Величина дисконта

.

Пример 2.3. Определить современную стоимость 20 тыс. руб., которые должны быть выплачены через 4 года. В течение этого периода на первоначальную сумму начислялись сложные проценты по 8% годовых: а) ежегодно; б) ежеквартально.

Р е ш е н и е. Если начисление процентов производилось 1 раз в конце года, то современная величина 20 тыс. руб. составляет:

P = 20(1 + 0,08)^-4 = 200,7350 = 14,70 тыс. руб.

Если же начисление процентов производилось ежеквартально, то

тыс. руб.

В учетных операциях широко применяется сложная учетная ставка.

В этом случае:

P = S (1 - d)ⁿ .

D = S - P = S (1 - (1 - d)ⁿ ) .

При дисконтировании m раз в году используется номинальная учетная ставка ƒ.

В этом случае:

P = S (1 - ƒ/m)^mn .

D = S (1 - (1 - ƒ /m)^mn ).

Пример 2.4. Долговое обязательство на сумму 6 тыс. руб. со сроком погашения через 2 года было передано в банк для учета. Дисконтирование производилось по ставке ƒ = 9% при m = 4. Определить величину дисконта.

Р е ш е н и е. На руки владелец обязательства получит следующую сумму:

P = 6 (1 - 0,09 / 4)^24 = 5,0013 тыс. руб.

Величина дисконта

D = 6000 - 5,0013 = 0,9987 тыс. руб.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 2.1. По муниципальной облигации номиналом 10 тыс.руб., выпущенной на 2,5 года, предусмотрен следующий порядок начисления процентов: первый год – 60%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 5%.

---

Требуется:

1. определить наращенную стоимость облигации по простой и учетной ставкам.

2. составить план наращения первоначальной стоимости по простым ставкам.

3. рассчитать наращенную стоимость облигации по сложной процентной и сложной учетной ставкам.

4. составить план наращения первоначальной стоимости по сложным процентам.

5. построить графики наращения стоимости по простым и сложным процентам на базе процентной и учетной ставкам.

6. проанализировать доходность вариантов наращения стоимости с позиций кредитора (держателя облигаций) и заемщика (эмитента облигаций).

Задача 2.2. Вексель, выданный на 120 дней, с обязательством уплатить 50 тыс. руб., учитывается по ставке 8 %.

Определить приведенную наращенную стоимость и размер дисконта при математическом дисконтировании и коммерческом учете.

Задача 2.3. Вексель на 100 тыс. руб., с обязательством уплатить через 180 дней с 8 простыми процентами годовых учтен банком за 60 дней до наступления срока платежа по учетной ставке 6 %.

Определить сумму, полученную векселедержателем, и размер дисконта в пользу банка.

Задача 2.4. Сберегательный сертификат номиналом 30 тыс.руб. под 60% годовых выдан на 180 дней и учтен за 120 дней до даты погашения по учетной ставке 75%.

Определить:

1. сумму, полученную держателем сертификата, при досрочном учете сертификата банком;

2. доходы держателя сертификата и банка;

3. выполнить проверку расчетом.

Задача 2.5. Сберегательный сертификат номиналом 100 тыс. руб. выдан на два года и 90 дней под процентную ставку 60 %.

Определить сумму, полученную держателем сертификата при погашении займа.

Задача 2.6. Ставка по облигации номиналом 5 тыс. руб. – 6 %.

Определить число лет, необходимое для удвоения стоимости облигации, применив простые и сложные проценты: а) по процентной ставке; б) по учетной ставке.

Задача 2.7. За какой срок наращенная стоимость облигации номиналом 100 тыс. руб. достигает 140 тыс. руб. при условии, что на нее начисляются сложные проценты по ставке 10 % в году и поквартально? Расчеты выполнить по процентной и учетной ставкам.

3. Эффективная ставка при начислении

сложных процентов m раз в году

Эффективная ставка j – это годовая ставка сложных процентов, которую необходимо установить, чтобы получить такой же финансовый результат, как и при m - разовом начислении процентов в году по ставке j /m.

Наращенные суммы на один и тот же капитал равны:

P(1 + i_эф )ⁿ = P(1 + j /m)^mn ,

откуда

i_эф = (1 + j /m)^m - 1.

Пример 3.1. Определить эффективную ставку сложных процентов с тем, чтобы получить такую же наращенную сумму, как и при использовании номинальной ставки 8% при ежеквартальном начислении процентов (m = 4).

Р е ш е н и е. Эффективная ставка сложных процентов равна

i_эф = (1 + 0,08 /4)⁴ - 1  0,0824 (8,24%).

Рассмотрим наращение на основе сложной учетной ставки. Здесь также возникает понятие эффективной ставки, под которой будем понимать сложную годовую учетную ставку, эквивалентную номинальной учетной ставке при заданном значении m.

---

Наращенные суммы на один и тот же капитал равны

.

Следовательно, эффективная учетная ставка равна

.

4. Эквивалентность процентных ставок

Ставки, обеспечивающие равноценность последствий финансовых операций, называются эквивалентными.

Формулы для расчета наращенных сумм по простой ставке процентов и учетной ставке имеют вид

S₁ = P₁(1 + in); S₂ = P₂ (1/(1-dn)).

Наращенные суммы и капиталы равны, то есть S₁ = S₂ и P₁ = P₂ . Тогда равны будут и коэффициенты наращения:

1 + in = 1 /(1-dn).

Отсюда следует, что

.

Последние формулы верны, когда временные базы К равны.

Если же начисление процентов по ставке i производится при К = 365 дн., а по ставке d при К = 360 дн., то легко доказать, что формулы эквивалентности принимают вид:

,

Пример 4.1. Вексель учтен в банке по учетной ставке 8% в день окончания срока его обращения, равного 200 дням (К = 360). Определить доходность этой операции по ставке простых процентов (К = 365).

Р е ш е н и е. Эквивалентная ставка простых процентов, которая даст тот же финансовый результат, что и учетная ставка, составит:

.

При расчете эквивалентности ставок следует иметь в виду, что для каждого периода наращения необходимо рассчитать свою эквивалентную ставку.

Рассмотрим эквивалентность простой и сложной процентных ставок при начислении процентов один раз в год.

Приравняем коэффициенты наращения

.

Отсюда следует, что

.

Самостоятельно разобрать эквивалентность простой процентной ставки и сложной ставки при начислении процентов m раз в году, эквивалентность номинальной ставки сложных процентов при начислении процентов m раз в году и простой учетной ставки, эквивалентность сложных ставок и т.д.

5.Средние процентные ставки

Проблема эквивалентности ставок в некоторых случаях может быть решена с помощью равенства средних значений ставок.

Начнем с простой ставки. Пусть за периоды n₁, n₂, ..., n_m начисляются простые проценты по ставкам i₁, i₂, ..., i_m на один и тот же капитал P. Тогда на основе равенства коэффициентов наращения:

,

получим искомую среднюю

,

где - общий срок наращения.

Найденная характеристика представляет собой арифметическую среднюю взвешенную. Аналогичным способом получим среднюю учетную ставку

.

Рассмотрим сложные ставки. Из равенства коэффициентов наращения

следует

.

В этом случае вычисляется как взвешенная средняя геометрическая.

Пример 5.1. Допустим, для первых двух лет ссуды применяется ставка 8%, для следующих трех лет она составляет 10%. Найдите среднюю ставку за весь срок ссуды.

Р е ш е н и е. Средняя ставка за пять лет ссуды составит:

.

Рассмотрим случай, когда одновременно идет несколько однородных операций с разными ставками i_t и разными начальными суммами P_t , все суммы выданы на один и тот же срок n под простые проценты. Под какую ставку надо поместить чтобы получить тот же результат?

---