Глава 4

Теоретические методы исследования систем управления

Основные базовые методы Метод линейного программирования Метод точечной итерполяции ,' Метод Монте-Карло (статических испытаний) Метод точечной интерполяции Графические методы

4.1. Основные базовые методы

Теоретические методы исследования основаны на использовании методологий и методических положений различных научных тео­рий. К этой классификационной группе следует отнести следующие основные базовые методы исследования:

• формализации,

• аксиоматизации,

• идеализации,

• восхождения от абстрактного к конкретному,

• моделирования.

МЕТОД ФОРМАЛИЗАЦИИ

Метод формализации основан на изучении исследуемых объек­тов путем отображения их в знаковой форме при помощи искусст­венных языков, например, математического, экономико-математического, экономико-статистического и т.п. Он взаимосвязан с другими теоретическими методами (моделирования, абстрагиро­вания, идеализацией и т.п.) и способами, выделенными в иных классификационных группах.

Формализация обладает рядом достоинств, например:

1) обеспечивается обобщенность подхода к решению проблем;

2) символика придает краткость, однозначность и четкость фик­сации значений;

3) однозначность символики (нет двусмысленности обычного языка);

1

Глава 4

4) возможность формирования знаковых моделей исследуемых объектов и замены при этом изучения реальных элементов СУ и процессов смоделированными.

По существу, данный метод включает совокупность способов:

• аналитические, в частности математические методы инте­грального, дифференциального и вариационного исчислений, тео­рии вероятностей, теории игр, поиска максимумов и минимумов функций (в том числе методы математического программирования, например, линейного и динамического, математической логики, теории множеств);

• статистические, в том числе методы математической стати­стики, исследования операций и массового обслуживания, теории информации;

• графические, включая методы теории графов, номограмм, диаграмм, гистограмм, графиков и т.п.

МЕТОДЫ АКСИОМАТИЗАЦИИ, ИДЕАЛИЗАЦИИ, ВОСХОЖДЕНИЯ ОТ АБСТРАКТНОГО К КОНКРЕТНОМУ

Метод аксиоматизации базируется на анализе объектов исследо­вания, при котором выделяют некоторые основные исходные утвер­ждения, не требующие доказательств, и на их базе образуют произ­водные понятия и выводят другие аксиомы. При этом главное, что­бы все утверждения не входили в противоречие друг с другом.

Метод идеализации предполагает изучение элемента или компо­нента системы, наделенного некими гипотетическими идеальными свойствами, что позволяет упростить исследования и получить ре­зультаты путем математических вычислений с любой заранее задан­ной точностью.

Идеализация — это мысленное создание объектов, несущест­вующих в действительности или практически неосуществимых. Цель идеализации: лишить реальные объекты исследования некото­рых присущих им свойств и наделить (мысленно) их определенны­ми нереальными и гипотетическими свойствами. При этом дости­жение цели осуществляется:

---

1) многоступбнчатым абстрагированием (например, абстрагиро­вание от процессов, происходящих в СУ, приводит к понятию «черного ящика», подлежащего изучению);

2) мысленным переходом к предельному случаю в развитии како­го-либо свойства системы (например, к абсолютной надежности ТСУ);

3) простым абстрагированием (например, признавая требования к кандидатам на выдвижение идеальными, что в идеале требуется для организации).

_ш

чр

Использование методов идеализации возможно только при со­блюдении определенных ограничений;

Метод восхождения от абстрактного к конкретному основан на получении результатов исследования на базе перехода от логическо­го изучения абстрактно расчлененного исследуемого объекта к це­лостному конкретному его познанию.

МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ

Метод моделирования используется при исследовании объекта на основе его модели, отражающей структуру, наиболее существен­ные связи, отношения и т.п. Результаты исследования моделей ин­терпретируются на реальный объект. Под моделями, как правило, понимаются мысленные или материальные системы, замещающие объект познания и служащие источником новой информации и зна­ний о нем. По существу, модели — это аналоги, сходство которых с оригиналом существенно, а различие несущественно.

Таким образом из определения модели следует:

• конкретное воплощение модели в виде системы (представле­ние ее абстрактно или в виде материального объекта) не является важным для результатов исследования, так как более значимо соот­ветствие ее оригиналу;

• главное назначение модели — замещать исследуемый объект, чтобы получить новую информацию и знания о нем.

Следовательно, моделирование — метод исследования СУ на основе построения ее модели и изучения ее свойств, связей отно­шений.

Модели можно классифицировать по следующим основаниям.

1. Способ представления — материальные (физические, т.е. сов­падающие; предметно-математические) и. символические (языко­вые). Материальные физические модели соответствуют оригиналу, но могут отличаться от него размерами, диапазоном изменения па­раметров и т.п. Символические модели абстрактны и основываются на описании их различными символами, в том числе в виде фикса­ции объекта на чертежах, рисунках, графиках, схемах, текстов, ма­тематических формул и др. При этом они могут быть: по принципу построения — вероятностными (стохастическими) и детерминиро­ванными; по приспособляемости — адаптивными и неадаптивны­ми; по изменению выходных переменных во времени — статиче­скими и динамическими; по зависимости параметров модели от переменных — зависимыми и независимыми.

2. Способ построения — теоретические, формальные, эмпириче­ские, комбинированные.

Теоретические методы исследования систем управления 2

2

Глава 4

3. Тип языка описания — текстовые, графические, математиче­ские, смешанные.

---

Использование метода моделирования целесообразно в тех слу­чаях, когда СУ вообще недоступна для непосредственного исследо­вания или когда исследование невозможно из-за моральных издер­жек или нецелесообразно по причинам существенных величин рис­ков негативных последствий в СУ социального, экологического и экономического характера, или если СУ либо исследуемый ее объ­ект являются достаточно сложными, трудоемкими и дорогостоящи­ми для изучения.

Реализация метода моделирования для решения задач исследо­вания в большинстве случаев включает:

• постановку задачи;

• выбор или разработку новой модели;

• исследование модели;

• интерпретирование знаний с исследуемой модели на ее ори­гинал.

К совокупности методов моделирования относят такие методы как статистического имитационного моделирования, моделирова­ния операций по схемам случайных процессов и статистических испытаний — метод Монте-Карло и ряд других.

4.2. Метод линейного программирования

СУЩНОСТЬ МЕТОДА

Задачу управления отмечает особенность: возможность не одно­го, а множества различных решений. Это обусловлено наличием в указанных задачах множества способов организации какого-либо процесса, приводящих к достижению определенной цели. Тем не менее задачу управления можно ставить как задачу нахождения хо­тя бы одного из возможных способов достижения поставленной цели. Но такая постановка вопроса обычно бывает недостаточной. Следует вести речь о множестве решений и выбирать то из них, которое с некоторой принятой точки зрения является наилучшим.

При рассмотрении вариантов решения можно наложить на них добавочные требования, степень выполнения которых будет слу­жить основанием для выбора. Очевидно, что достижение цели тре­бует определенных ресурсов (финансовых, материальных, времен­ных, энергетических и т.п.), и для каждого варианта достижения целевых установок необходимы разные объемы этих ресурсов. По­

Теоретические методы исследования систем управления_2

этому в большинстве случаев выбирают тот вариант, который обес­печивает достижение цели с наименьшими затратами. Иногда осно­ванием для выбора управленческого варианта выступают ограничения, налагаемые на систему управления (надежность, наличие финансовых средств и т.п.). Здесь необходимо решать задачи оптимизации, т.е. на­ходить минимальное или максимальное значение выбранного крите­рия управления при наличии определенных ограничений.

Для более наглядного представления возможных ограничений вспомним о том, что управление предприятием осуществляется при наличии определенных ограничений спроса на рынке, на производ­ственные мощности, технологические процессы и т.п. В общем случае можно при управлении предприятием выделить два вида ог­раничений:

• законы и условия природы и другой внешней среды, в кото­рых осуществляется управление;

---

• ограниченность ресурсов, используемых при управлении, ко­торые в силу особенностей той или иной системы не могут или не должны превосходить некоторых пределов.

При математической формулировке задачи управления эти ог­раничения представляются обычно алгебраическими, дифференци­альными или разностными уравнениями или неравенствами, связы-рающими переменные, описывающие состояние системы. Задачу управления можно считать сформулированной математически, если: сформулирована цель управления, выраженная через критерий управления; определены ограничения первого вида, представляю­щие собой системы дифференциальных или разностных уравнений, определяющих возможные способы развития системы; определены ограничения второго вида, представляющие собой систему алгеб­раических уравнений или неравенств, выражающих ограниченность ресурсов или иных величин, используемых при управлении.

Управление, которое удовлетворяет всем поставленным ограни­чениям и обращает в минимум (максимум) критерий управления, называют обычно оптимальным управлением. Линейное програм­мирование является составной частью теории оптимизации, изу­чающей методы нахождения условного экстремума функций многих переменных.

Наличие компьютерной техники и программного обеспечения создали в настоящее время реальные предпосылки широкого ис­пользования метода линейного программирования для целей исследо­вания СУ и принятия оптимальных управленческих решений. Дан­ный метод достаточно глубоко проработан и широко проверен на практике при решении различных задач оптимального планирования.

3

Глава

ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДА

С приемлемой точностью методом линейного программирова­ния может решаться задача выбора рационального типа оргтехники и определения оптимальной потребности в таких средствах. Его применение позволяет проводить расчеты по различным критериям оптимизации выбираемых типов оргтехники с соответствующими целевыми функциями. Наиболее целесообразными и необходимыми критериями оптимизации при решении такой задачи могут быть:

• максимум выполняемой работы на рубль годовых приведен­ных затрат или минимум годовых приведенных затрат на единицу выполняемой работы;

• минимум годовых приведенных затрат;

• максимум производительности;

• максимум единовременных затрат;

• минимум занимаемой площади.

Целевая функция, если принять в качестве критерия оптималь­ности минимума годовых приведенных затрат 3, для случая с че­тырьмя типами оргтехники Х\, Х₂, Х$, Х4, из числа которых должен осуществляться выбор, будет иметь следующий вид:

3\ Х\ + З2 Х2 + з3 Хт, + З4 Х4 — стремится к минимуму годовых приведенных затрат.

Система ограничений может быть записана следующим образом:

= (4-1)

г=1

при} = 1, 2, 3, . ., т; х, 0; I = 1, 2, 3, 4; х, — целое число, где а_и, Ъ_} — константы задачи;

---

т — количество ограничений.

В зависимости от условий ограничения могут быть наложены на средства для приобретения техники, занимаемую площадь, произ­водительность, массу, потребляемую мощность и т.п.

Результат реализации программы — рассчитанная величина це­левой функции (в данном случае минимума приведенных затрат) и оптимальное количество конкретных типов средств оргтехники, которые удовлетворяют требования принятой системы ограниче­ний. Использование программного обеспечения по использованию метода линейного программирования существенно снижает трудо­емкость расчетных работ и уменьшает сроки их выполнения, а так­же обеспечивает повышение объективности, обоснованности и эф­фективности принимаемых решений.

Теоретические методы исследования систем управления 119

4.3. Метод точечной интерполяции

СУЩНОСТЬ МЕТОДА

При исследовании СУ часто возникают вопросы определения максимумов и минимумов каких-либо функций (затрат, прибыли, эффектов, качества, конкурентоспособности и т.п., для которых имеются оптимумы и минимумы).

Сравнительно часто встречаются такие задачи:

1) достижение заданного уровня исследуемого параметра (функ­ции) при минимуме аргумента;

2) достижение максимально возможного значения функции при заданных допустимых величинах аргумента;

3) достижение при минимуме величины аргумента максимально возможного значения функции.

Решение данных задач может предусматривать получение эмпи­рической зависимости исследуемой функции от аргумента, которую просто описать соответствующей кривой различными математиче­скими методами. Для определения оптимальной величины иссле­дуемой функции с необходимой степенью точности практически достаточно трех-четырех точек аргумента. В этом случае для описа­ния кривой 3 = ДА'л) можно воспользоваться методом точечной ин­терполяции.

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДА

Если известны три точки К_н0, К_Н1, 1_Н2И соответствующие им значения функций 3₀, 3\, 3%, то оптимальная величина К_нот при минимуме 3 методом точечной интерполяции будет определяться по формуле

1г _ у (К„-Км0)-(32-Зн0)-(Кн2-КкаТ -(3] -3₀) ..

^нопт н0 2 -К*.-к_м)-(з₂-з₀)~(к_н2-к^Нь-ьЯ

Для более точного нахождения оптимальной величины К_новт можно воспользоваться кубической интерполяцией и наличием че­тырех узлов интерполяции (четырех точек с различными величина­ми К_н), определяемых К_но, К_н1, К_Н2, К_н3 с соответствующими им значениями функций Зо, 3\, 3₂, 3^. Тогда оптимальная величина -Кн.опт будет следующей:

^ноп_Т=ДнО+ ' * ' \ (4.3)

3 АЛ}

4

Глава 4

где Ц, =

где

\Ки1 ~^Кио1 ■\кя1 ~Кно)у1 ~3о

№«2 -'

_К-

''-Зо)

= • Ь\ - АЗ₂ ■ Ь₂ + А3₃ ■ Ъ₃,

А3[ = 3] - 3₀; А3₂ = 3₂ ~3₀; А3₃ = 3₃ - 3₀;

*1 ⁼ [(^н2 ~ КноУ ' (КнЗ ~ ^но)- (^нЗ ^_ КяоТ ' {Кп2 ~ ^но) Ь2 = [(^щ ~ КнО У ' {КнЗ ^- ^нО ) ^_ (^нЗ - -^нО ? ⁴ (Кн1 ~ ^"нО ) *3 = \{Кн1 ~ ^нО ^ ' {Кя2 ~ ^нО ) ~ (^н2 ~ ^"нО У ' {Кв1 ~ КяО )

(к"н, - Я_ио)^ • (к"н1 - ^„о)(31 - 3₀)

(*„2 - ■ {Кн2 - К_Н0){3₂ - 3₀] = ДЗ, • 6₄ - А3₂ • Ь5 + А3₃ ■ 6₆, (кн3 - А"_н0)? • (к_н3 - Кн0 ) (з3 - 3₀)

---

Смотрите также файлы

• транспортная задача.doc

• Конспект лекцій планування - МК1.doc

• звіт кабельні ліній практика.docx

• LAB1.doc

• LAB2.doc