Файл: Метод экспертных оценок и область его применения (Методы экспертных оценок. Понятие экспертных оценок).pdf

Свойства коэффициента конкордации:

a)0≤ Ŵ ≤1;

б) Ŵ = 1 тогда и только тогда, когда все m анализируемых упорядочений совпадают;

в) если m ≥ 3 и анализируемые ранжировки генерируются подобно случайному независимому m-кратному извлечению из множества всех n возможных упорядочений n объектов, то связи между ними нет и W = 0;

г) пусть τ^(S)(m) - среднее значение коэффициента Спирмэна, подсчитанное по значениям m(m- 1)/2 коэффициентов τ ^(S)k_ik_j. (i,j = 1, 2,..., m; i≠j), характеризующих ранговую связь между всеми возможными парами переменных (x^(ki), x^(kj)) из анализируемого набора (x^(k1), x^(k2),…, x^(km) ); тогда (8)

в частности, из (8) следует для случая m = 2, что

(8΄)

т.е. коэффициент конкордации, исчисленный для двух переменных, пропорционален парному ранговому коэффициенту корреляции Спирмэна.

То, что шкала измерения W(m) не включает в себя отрицательных значений, объясняется следующим обстоятельством. В отличие от случая парных связей при анализе m(m ≥ 3) порядковых переменных противоположные понятия согласованности и несогласованности утрачивают прежнюю симметричность (относительно нуля); упорядочения, произведенные в соответствии с переменными x^(k1), x^(k2),…, x^(km), могут полностью совпадать, но не могут полностью не совпадать.

Формула (8) получена в предположении отсутствия объединенных рангов в каждом из анализируемых упорядочений. Если же таковые имеются, то формула должна быть модифицирована:

(8΄)

где поправочный формуле (2коэффициент Т^(kj) (соответствующий переменной x^(kj) подсчитывается по)).

Для того чтобы определить, как ведут себя выборочные значения Ŵ(m) коэффициента конкордации при повторении выборок заданного объема n (из одной и той же генеральной совокупности) при отсутствии какой-либо связи между анализируемыми m переменными.

Предположим, что каждому объекту конечной генеральной совокупности (состоящей из N элементов) приписан какой-то определенный ранг по каждой из m рассматриваемых переменных. Так, например, если m = 3 и объекту О_i приписана тройка (x_i⁽¹⁾ = N, x_i⁽²⁾ = 1, x_i⁽³⁾ = 2), то это означает, что по переменной x_i⁽¹⁾он стоит на последнем (N-м) месте в упорядоченном ряду всех объектов генеральной совокупности, по переменной x⁽²⁾ - на первом и по переменной x⁽³⁾ - на втором.

---

Тогда по исходным данным {(x_i⁽¹⁾, x_i ⁽²⁾,…, x_i^(m))}_1=1,N помощью формулы (8) может быть вычислен теоретический (генеральный) коэффициент конкордации W(m), характеризующий степень тесноты ранговой связи между переменными x⁽¹⁾, x ⁽²⁾,…, x^(m). Однако исследователю известны значения (x⁽¹⁾, x⁽²⁾,…, x^(m)) лишь для части объектов генеральной совокупности, а именно для случайной выборки объектов объема n(n<N). После естественной перенумерации рангов, сохраняющей правило упорядочения объектов, но переводящей масштаб измерения рангов в шкалу (1,2,...,n) (для этого минимальный из оказавшихся в выборке рангов по каждой переменной объявляется рангом, равным 1, следующий по величине - рангом, равным 2, и т.д.), может быть вычислен (по той же формуле (8)) выборочный коэффициент конкордации W(m). Извлекая другую выборку объема n из той же самой генеральной совокупности, мы получим, вообще говоря, другое значение выборочного коэффициента W(m) и т.д.

Как сильно могут отклоняться от нуля выборочные значения коэффициента конкордации Ŵ(m) в ситуации, когда значение теоретического коэффициента конкордации W(m) свидетельствует о полном отсутствии ранговой связи между анализируемыми переменными х⁽¹⁾,х⁽²⁾,...,х^(m)? Для малых значений m и n(2 ≤ m ≤ 20, 3 ≤ n ≤ 7) ответ на этот вопрос может быть получен с помощью таблицы значений величины S. Обозначенная в ней величина S есть не что иное, как:

(9) 

«Входами» в эту таблицу является тройка чисел (m, n, S), «выходом» - вероятность того, что величина S может быть такой, какой она является в нашей выборке, или большей в условиях отсутствия связи переменных в генеральной совокупности. Если окажется, что эта вероятность меньше принятой нами величины уровня значимости критерия а (например, α = 0,05), то гипотезу об отсутствии связи следует отвергнуть, т.е. признать статистическую значимость анализируемой связи. Таблица критических значений W(m) построена несколько иначе. В ней при уровне значимости α = 0,05 и в соответствии с «входами» (m, n) даны «критические» значения величины S, т. е. такие значения, при превышении которых следует отвергать гипотезу об отсутствии связей (признавать их статистическую значимость).

При n> 7 для проверки статистической значимости анализируемой связи следует воспользоваться фактом приближенной (n-1)-распределённости величины m(n - 1)*W(m), справедливым в условиях отсутствия связи в генеральной совокупности. Поэтому, если окажется, что /4/ 

---

m(n-1)W(m)>(n-1)

то гипотеза об отсутствии ранговой связи между переменными згi,...,х должна быть отвергнута (с уровнем значимости критерия, равным а); в (11.58) (n-1) - это 100а%-ая точка -распределения с (n-1)-й степенью свободы.

Строгих рекомендаций по построению доверительных интервалов для истинного значения W в условиях наличия ранговых связей в исследуемой генеральной совокупности к настоящему времени не имеется./4/

Преимущество коэффициента корреляции рангов состоит в том, что ранжировать можно и по таким признакам, которые нельзя выразить численно: можно проранжировать кандидатов на занятии определенной должности по профессиональному уровню. По умению руководить коллективом, по личному обаянию и т.п. при экспертных оценках можно ранжировать оценки разных экспертов и найти их корреляции друг с другом, чтобы затем исключить из рассмотрения оценки эксперта, слабо коррелированные с оценками других экспертов. Коэффициент корреляции рангов применяется для оценки устойчивости тенденции динамики. /5/

Недостатком коэффициент корреляции рангов является то, что одинаковым разностям рангов могут соответствовать совершенно иные разности значений признаков (в случае количественных признаков). /5/ 

Давайте рассмотрим примеры для прояснения работоспособности ранговых коэффициентов корреляции Спирмена, Кендалла и конкордации.

Пример 1

По данным 10-ти предприятий сельскохозяйственной отрасли эксперту необходимо определить зависимость между балансовой прибылью и объемом реализованной продукции. В таблице 1 указаны исходные данные по предприятию. 

Табл.1

№ предприятия	Объем реализованной продукции, млн. тг.	Балансовая прибыль предприятия, тыс. тг.	Ранжирование		Квадрат разности рангов
			х(1)	х(2)
1	1,5	75	2	1	1
2	4	200	5	8	9
3	5,2	120	7	5	4
4	8	210	10	10	0
5	6,3	170	8	7	1
6	3,8	110	4	4	0
7	1,2	85	1	3	4
8	4,5	130	6	6	0
9	7,5	205	9	9	0
10	2	80	3	2	1
Σ					20

---

Вычисления связи проводим по формуле ранговой корреляции Спирмэна: 

τ12(S)	=	1	-	6*20___	=	0,879
				1000-10

Данный результат свидетельствует о положительной ранговой связи между исследуемыми переменными.

Далее рассмотрим пример, в котором среди значений рангов признаков х⁽¹⁾ и х⁽²⁾встречается несколько одинаковых, образуются связные ранги, т.е. одинаковые средние номера.

Пример 2.

Десять однородных предприятий подотрасли были проранжированы вначале по степени прогрессивности их оргструктур (признак х⁽¹⁾), а затем - по эффективности их функционирования в отчетном году (признак х⁽²⁾). В результате были получены следующие данные (см. Табл.2): 

Табл.2

№ предприятия	Ранжирование		Квадрат разности рангов
	Сепень прогрессивности оргструктуры предприятия	Эффективность функционирования предприятия в отчетном году
1	1	1	0
2	2,2	2	0,04
3	2,2	4,3	4,41
4	4.3	4,3	0
5	4	4,3	0,09
6	6,5	4,3	4,84
7	6,5	8,5	4
8	8	8,5	0,25
9	9,5	8,5	1
10	9,5	10	0,25
Σ			14,88

Т⁽¹⁾=(1/12)*((2³-2)+(2³-2)+( 2³-2))=1,5

Т⁽²⁾=(1/12)*((4 ³-4)+(3³-3))=7,42

τ12(S)		=		(1/6)(1000-10)-14,8-1,5-7,42_________________					=	0,905
				√[(1/6)(1000-10)-2*1,5][(1/6)(1000-10)-2*7,42]
τ12(S)		=		1		-	6*14,88	= 0,91
							1000-10

Точная формула (3) дает τ₁₂^(S) = 0,905. Данный ответ подтверждает связь между проранжированными переменными.

Для вычисления рангового коэффициента корреляции Кендалла используем условие примера 1.

Анализ зависимость между балансовой прибылью и объемом реализованной продукции, при использовании формул (5) и (6) дает:

---

ν₁₂=1; ν₁₃= ν₁₄= ν₁₅= ν₁₆= ν₁₇= ν₁₈= ν₁₉= 0; ν_1.10=1;

ν₂₃=1; ν₂₄= ν₂₅=0; ν₂₆=1; ν₂₇=1; ν₂₈=ν₂₉= 0; ν_2.10=1;

ν₃₄=0; ν₃₅=1; ν₃₆=1; ν₃₇=1; ν₃₈=1; ν₃₉=0; ν_3.10=1;

ν₄₅=1; ν₄₆=1; ν₄₇=1; ν₄₈=1; ν₄₉=1; ν_4.10=1;

ν₅₆=1; ν₅₇=1; ν₅₈=1; ν₅₉=0; ν_5.10=1;

ν₆₇=1; ν₆₈=0; ν₆₉=0; ν_6.10=1;

ν₇₈= ν₇₉= ν_7.10=0;

ν₈₉=0; ν_8.10=1;

ν_9.10=1.

Следовательно ν(Х^(k),X^(j)) = 25.

Соответственно

τ^(K)_kj= 1 - (4*25/10*9)=0,1

Напомним, что коэффициент Спирмена в этом примере был равен 0,879,следовательно коэффициента корреляции Кендалла дает наиболее точные данные, чем коэффициент Спирмена.

Теперь определим тесноту связи между произвольным числом ранжированных признаков с помощью коэффициента конкордации.

Пример 3.

Определить тесноту связи между уставным капиталом, числом выставленных акций и числом занятых на предприятиях, выставивших акции на чековые аукционы в 2007 году. 

Табл.3

№ предприятия	Уставный капитал, тыс. тг.	Число выставленных акций	Число занятых на предприятии	Ранжировки			Сумма строк	Квадраты сумм
				Х	Х	Х
1	2356	658	155	6	6	4	16	256
2	1654	947	123	4	9	2	15	225
3	1478	564	189	3	5	8	16	256
4	4895	1546	190	10	10	9	29	841
5	2564	687	185	8	7	7	22	484
6	1365	425	145	1	1	3	5	25
7	1896	496	169	5	3	5	13	169
8	2547	689	176	7	8	6	21	441
9	2698	558	193	9	4	10	23	529
10	1456	495	115	2	2	1	5	25
Σ							165	3251

---