ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2020
Просмотров: 704
Скачиваний: 5
t
a
y
t
a
x
3
3
sin
cos
,
2
0
t
,
Преобразуя, получим:
3
2
2
2
3
2
3
2
3
2
sin
cos
a
t
t
a
y
x
.
Производная функции, заданной параметрически.
Пусть
T
t
t
t
y
t
x
0
,
)
(
)
(
Предположим, что эти функции имеют производные и функция
t
x
имеет
обратную функцию
x
t
.
Тогда функция
t
y
может быть рассмотрена как сложная функция
x
y
.
dx
x
dФ
dt
t
d
dx
dt
dt
dy
dx
dy
)
(
)
(
Т.к.
x
– обратная функция, то
dt
t
d
dx
x
dФ
)
(
1
)
(
Окончательно получаем:
)
(
)
(
)
(
)
(
t
t
dt
t
d
dt
t
d
dx
dy
Таким образом, можно находить производную функции, не находя непосредственной
зависимости
y
от
x
.
Пример.
Найти производную функции
1
2
2
2
2
b
y
a
x
Способ 1: Выразим одну переменную через другую
2
2
x
a
a
b
y
, тогда
2
2
2
2
2
)
2
(
x
a
a
bx
x
a
a
x
b
dx
dy
Способ 2: Применим параметрическое задание данной кривой:
t
b
y
t
a
x
sin
cos
.
atgt
b
t
a
t
b
dx
dy
sin
cos
x
2
= a
2
cos
2
t;
2
2
2
cos
a
x
t
;
1
1
cos
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
a
tgt
x
x
a
x
a
t
tg
t
tg
t
2
2
x
a
a
bx
dx
dy
Исследование функций, заданных параметрически.
Исследование и построение графика кривой, которая задана системой уравнений вида:
)
(
)
(
t
y
t
x
,
производится в общем то аналогично исследованию функции вида y = f(x).
Находим производные:
)
(
)
(
t
dt
dy
t
dt
dx
Теперь можно найти производную
)
(
)
(
t
t
dx
dy
.
Далее находятся значения параметра t, при которых хотя бы одна из производных
(t)
или
(t) равна нулю или не существует. Такие значения параметра t называются
критическими
.
Пусть
k
i
t
t
i
..
1
,
-
критические
точки.
Для
каждого
интервала
k
k
t
t
t
t
t
t
,
,
,
,
,
,
1
3
2
2
1
находим соответствующий интервал
k
k
x
x
x
x
x
x
,
,
,
,
,
,
1
3
2
2
1
и
определяем знак производной
dx
dy
на каждом из полученных интервалов, тем самым
определяя промежутки возрастания и убывания функции.
Далее находим вторую производную функции на каждом из интервалов и, определяя
ее знак, находим направление выпуклости кривой в каждой точке.
Для нахождения асимптот находим такие значения t, при приближении к которым или
х или у стремится к бесконечности, и такие значения t, при приближении к которым и х и у
стремится к бесконечности.
В остальном исследование производится аналогичным также, как и исследование
функции, заданной непосредственно.
На практике исследование параметрически заданных функций осуществляется,
например, при нахождении траектории движущегося объекта, где роль параметра t
выполняет время.