ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2020
Просмотров: 711
Скачиваний: 5
Т.е. если
0
x
, но
0
x
, то
0
x
f
, а если
0
x
, но
0
x
, то
0
x
f
.
А возможно это только в том случае, если при
0
x
0
x
f
.
Для случая, если функция
x
f
имеет в точке
2
x
минимум теорема доказывается
аналогично.
Теорема доказана.
Следствие.
Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой
точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум.
Красноречивый пример этого – функция
3
x
y
, производная которой в точке
0
x
равна
нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.
Определение.
Критическими точками
функции называются точки, в которых
производная функции не существует или равна нулю.
Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования
экстремума, но этого недостаточно.
Пример:
x
x
f
Пример:
3
х
x
f
В точке
0
x
функция имеет минимум, но В точке
0
x
функция не имеет ни
не имеет производной. максимума, ни минимума, ни произ-
водной.
Вообще говоря, функция
x
f
может иметь экстремум в точках, где производная не
существует или равна нулю.
Теорема.
(Достаточные условия существования экстремума)
Пусть функция
x
f
непрерывна в интервале
b
a
,
, который содержит
критическую точку
1
x , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может
быть, самой точки
1
x ).
Если при переходе через точку
1
x слева направо производная функции
x
f
меняет
знак с “+” на “-“, то в точке
1
x
x
функция
x
f
имеет максимум, а если производная
меняет знак с “-“ на “+” то функция имеет минимум.
Доказательство.
Пусть
1
1
0
)
(
0
)
(
x
x
при
x
f
x
x
при
x
f
По теореме Лагранжа:
x
x
x
x
f
x
f
x
f
1
1
1
,
.
Тогда: 1) Если
1
x
x
, то
1
x
;
0
f
;
0
1
x
x
f
, следовательно
0
1
x
f
x
f
или
1
x
f
x
f
.
2) Если
1
x
x
, то
1
x
0
f
;
0
1
x
x
f
, следовательно
0
1
x
f
x
f
или
1
x
f
x
f
.
Т. к. ответы совпадают, то можно сказать, что
1
x
f
x
f
в любых точках вблизи
1
x
,
т.е.
1
x
– точка максимума.
Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично.
Теорема
доказана.
На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при
нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:
1)
Найти критические точки функции.
2)
Найти значения функции в критических точках.
3)
Найти значения функции на концах отрезка.
4)
Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.
Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков.
Пусть в точке
1
x
x
0
1
x
f
и
1
x
f
существует и непрерывна в некоторой
окрестности точки
1
x
.
Теорема.
Если
0
1
x
f
, то функция
x
f
в точке
1
x
x
имеет максимум, если
0
1
x
f
и минимум, если
0
1
x
f
.
Доказательство.
Пусть
0
1
x
f
и
0
1
x
f
. Т.к. функция
x
f
непрерывна, то
f
(x
1
) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки
1
x
.
Т.к.
0
x
f
x
f
, то
x
f
убывает на отрезке, содержащем точку
1
x
, но
0
1
x
f
, т.е.
0
1
x
f
при
1
x
x
и
0
1
x
f
при
1
x
x
. Это и означает, что при
переходе через точку
1
x
x
производная
x
f
меняет знак с “+” на “-“, т.е. в этой точке
функция
x
f
имеет максимум.
Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.
Если
0
1
x
f
, то для выяснения характера особенности точки требуется
дальнейшее исследование.
Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.
Определение.
Кривая обращена выпуклостью
вверх
на интервале
b
a
,
, если все ее
точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная
выпуклостью вверх, называется
выпуклой
, а кривая, обращенная выпуклостью вниз –
называется
вогнутой
.
На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.
Теорема 1.
Если во всех точках интервала
b
a
,
вторая производная функции
x
f
отрицательна, то кривая
x
f
y
обращена выпуклостью вверх (выпукла).
Доказательство.
Пусть
b
a
x
,
0
. Проведем касательную к кривой в этой точке.
Уравнение кривой:
x
f
y
;
Уравнение касательной:
).
)(
(
)
(
0
0
0
x
x
x
f
x
f
y
Следует доказать, что
)
)(
(
)
(
)
(
0
0
0
x
x
x
f
x
f
x
f
y
y
.
По теореме Лагранжа для
:
)
(
)
(
0
x
f
x
f
x
c
x
x
x
x
f
x
x
c
f
y
y
0
0
0
0
),
)(
(
)
)(
(
.
)]
(
)
(
)[
(
0
0
x
f
c
f
x
x
y
y
По теореме Лагранжа для
:
)
(
)
(
0
x
f
c
f
c
c
x
x
x
x
c
c
f
y
y
1
0
0
0
1
),
)(
)(
(
Пусть
0
x
x
тогда
x
c
c
x
1
0
. Т.к.
0
0
x
x
и
0
0
x
c
, и кроме того по
условию
0
)
(
1
c
f
, следовательно,
0
y
y
.
Пусть
0
x
x
тогда
1
1
x
c
c
x
и
0
0
x
x
,
0
0
x
c
, т.к. по условию
,
0
)
(
1
c
f
то
0
y
y
.
Аналогично доказывается, что если
0
)
(
1
c
f
на интервале
b
a
,
, то кривая
x
f
y
вогнута на интервале
b
a
,
.
Теорема доказана.
Определение.
Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется
точкой перегиба
.
Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.
Теорема 2.
Пусть кривая определяется уравнением
x
f
y
. Если вторая
производная
0
)
(
a
f
или
)
(
a
f
не существует и при переходе через точку
a
x
)
(
x
f
меняет знак, то точка кривой с абсциссой
a
x
является точкой перегиба.
Доказательство.
1) Пусть
0
)
(
x
f
при
a
x
и
0
)
(
x
f
при
a
x
. Тогда при
a
x
кривая выпукла, а при
a
x
кривая вогнута, т.е. точка
a
x
– точка перегиба.
2)
Пусть
0
)
(
x
f
при
b
x
и
0
)
(
x
f
при
b
x
. Тогда при
b
x
кривая обращена
выпуклостью вниз, а при
b
x
– выпуклостью вверх. Тогда
b
x
– точка перегиба.
Теорема доказана.
Схема исследования функций
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного
представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:
1)
Область существования функции.
Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.
2)
Точки разрыва. (Если они имеются).
3)
Интервалы возрастания и убывания.
4)
Точки максимума и минимума.
5)
Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.
6)
Области выпуклости и вогнутости.
7)
Точки перегиба. (Если они имеются).
8)
Асимптоты. (Если они имеются).
9)
Построение графика.
Применение этой схемы рассмотрим на примере.
Пример.
Исследовать функцию
1
2
3
x
x
y
и построить ее график.
Находим область существования функции. Очевидно, что
областью определения
функции является область (-
; -1)
(-1; 1)
(1;
).
В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются
вертикальными
асимптотами
кривой.
Областью значений
данной функции является интервал (-
;
).
Точками разрыва
функции являются точки х = 1, х = -1.
Находим
критические точки
.
Найдем производную функции
2
2
2
4
2
2
4
2
4
2
2
3
2
2
)
1
(
3
)
1
(
2
3
3
)
1
(
2
)
1
(
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
Критические точки: x = 0; x = -
3
; x =
3
; x = -1; x = 1.
Найдем вторую производную функции
4
2
2
2
4
2
2
3
)
1
(
)
1
(
4
)
3
(
)
1
)(
6
4
(
x
x
x
x
x
x
x
x
y
4
2
3
2
4
2
4
3
)
1
(
)
4
4
)(
3
(
)
1
2
)(
6
4
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4
2
3
5
5
7
3
5
3
5
7
)
1
(
12
12
4
4
6
12
6
4
8
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
2
2
4
2
2
2
4
2
2
4
4
2
3
5
)
1
(
)
3
(
2
)
1
(
)
1
)(
3
(
2
)
1
(
)
3
2
(
2
)
1
(
6
4
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.
-
< x < -
3
, y
< 0, кривая выпуклая
-
3
< x < -1, y
< 0, кривая выпуклая
-1 < x < 0, y
> 0, кривая вогнутая
0 < x < 1, y
< 0, кривая выпуклая
1 < x <
3
, y
> 0, кривая вогнутая
3
< x <
, y
> 0, кривая вогнутая
Находим промежутки
возрастания
и
убывания
функции. Для этого определяем знаки
производной функции на промежутках.
-
< x < -
3
, y
> 0, функция возрастает
-
3
< x < -1, y
< 0, функция убывает
-1 < x < 0, y
< 0, функция убывает
0 < x < 1, y
< 0, функция убывает
1 < x <
3
, y
< 0, функция убывает
3
< x <
, y
> 0, функция возрастает
Видно, что точка х = -
3
является точкой
максимума
, а точка х =
3
является точкой
минимума
. Значения функции в этих точках равны соответственно 3
3
/2 и -3
3
/2.
Про вертикальные
асимптоты
было уже сказано выше. Теперь найдем
наклонные
асимптоты
.
;
1
1
1
1
lim
1
lim
2
2
2
x
x
x
k
x
x
0
1
1
1
lim
1
lim
1
lim
1
lim
2
2
2
3
3
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
b
x
x
x
x
Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.
Построим график функции:
- 2
- 1
1
2
- 4
- 3
- 2
- 1
1
2
3
4
Ниже рассмотрим несколько примеров исследования методами дифференциального
исчисления различных типов функций.
Пример: Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
3
3
1
x
y
и построить ее график.
1. Областью определения данной функции являются все действительные числа (-
;
).
2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.
3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1;
с осью Ох: y = 0; x = 1;
4. Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет.
Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b;
;
1
1
1
lim
1
lim
1
lim
)
(
lim
3
3
3
3
3
3
3
x
x
x
x
x
x
x
f
k
x
x
x
x
;
0
1
1
)
1
(
lim
)
1
(
lim
)
)
(
(
lim
2
3
3
2
3
3
3
3
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
kx
x
f
b
x
x
x
Итого: у = -х – наклонная асимптота.
5. Возрастание и убывание функции, точки экстремума.
2
3
/
2
3
3
)
1
(
3
1
x
x
y
.
Видно, что у
0 при любом х
0, следовательно, функция убывает на всей области
определения и не имеет экстремумов. В точке х = 0 первая производная функции равна
нулю, однако в этой точке убывание не сменяется на возрастание, следовательно, в точке х =
0 функция скорее всего имеет перегиб. Для нахождения точек перегиба, находим вторую
производную функции.
3
5
3
)
1
(
2
x
x
y
y
= 0 при х =0 и y
=
при х = 1.
Точки (0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к. y
(1-h) < 0; y
(1+h) >0; y
(-h) > 0;
y
(h) < 0 для любого h > 0.
6. Построим график функции.