ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2020
Просмотров: 706
Скачиваний: 5
- 2
- 1
1
2
- 2
- 1
1
2
Пример: Исследовать функцию
2
3
4
x
x
y
и построить ее график.
1. Областью определения функции являются все значения х, кроме х = 0.
2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.
3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x =
3
4
с осью Оу: x = 0; y – не существует.
4. Точка х = 0 является точкой разрыва
y
x
0
lim
, следовательно, прямая х = 0
является вертикальной асимптотой.
Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b.
1
4
1
lim
4
lim
)
(
lim
3
3
3
x
x
x
x
x
f
k
x
x
x
.
0
4
lim
4
lim
)
)
(
(
lim
3
2
3
x
x
x
x
kx
x
f
b
x
x
x
Наклонная асимптота у = х.
5. Находим точки экстремума функции.
3
8
1
x
y
; y
= 0 при х = 2, у
=
при х = 0.
y
> 0 при х
(-
, 0) – функция возрастает,
y
< 0 при х
(0, 2) – функция убывает,
у
> 0 при х
(2,
) – функция возрастает.
Таким образом, точка (2, 3) является точкой минимума.
Для определения характера выпуклости/вогнутости функции находим вторую
производную.
4
24
x
y
> 0 при любом х
0, следовательно, функция вогнутая на всей области
определения.
6. Построим график функции.
- 4
- 2
2
4
- 4
- 2
2
4
6
8
Пример: Исследовать функцию
3
)
1
(
x
x
y
и построить ее график.
1.
Областью определения данной функции является промежуток х
(-
,
).
2.
В смысле четности и нечетности функция является функцией общего вида.
3.
Точки пересечения с осями координат: с осью Оу: x = 0, y = 0;
с осью Ох: y = 0, x = 0, x = 1.
4.
Асимптоты кривой.
Вертикальных асимптот нет.
Попробуем найти наклонные асимптоты в виде y = kx + b.
x
x
x
x
x
f
k
x
x
3
)
1
(
lim
)
(
lim
- наклонных асимптот не существует.
5.
Находим точки экстремума.
1
6
9
4
3
3
1
3
3
(
2
3
2
3
4
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
Для нахождения критических точек следует решить уравнение 4х
3
– 9х
2
+6х –1 = 0.
Для этого разложим данный многочлен третьей степени на множители.
Подбором можно определить, что одним из корней этого уравнения является число
х = 1. Тогда:
4x
3
– 9x
2
+ 6x – 1 x - 1
4x
3
– 4x
2
4x
2
– 5x + 1
- 5x
2
+ 6x
- 5x
2
+ 5x
x - 1
x - 1
0
Тогда можно записать (х – 1)(4х
2
– 5х + 1) = 0. Окончательно получаем две
критические точки: x = 1 и x = ¼.
Примечание. Операции деления многочленов можно было избежать, если при
нахождении производной воспользоваться формулой производной произведения:
)
1
4
(
)
1
(
)
3
1
(
)
1
(
)
1
(
3
)
1
(
)
1
(
2
2
2
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
Найдем вторую производную функции: 12x
2
– 18x + 6. Приравнивая к нулю, находим:
x = 1, x = ½.
Систематизируем полученную информацию в таблице:
(-
; ¼)
1/4
( ¼ ; ½) 1/2
( ½ ; 1 )
1
(1 ;
)
f
(x)
+
+
+
0
-
0
+
f
(x)
-
0
+
+
+
0
+
f(x)
убывает
вып.вниз
min
возрастает
вып.вниз
пере
гиб
возрастает
вып.вверх
пере
гиб
возрастает
вып. вниз
6.
Построим график функции.
- 0. 5
0. 5
1
1. 5
- 0. 4
- 0. 2
0. 2
0. 4
Уравнения некоторых типов кривых в параметрической
форме.
Окружность.
Если центр окружности находится в
начале координат, то координаты любой ее
точки могут быть найдены по формулам:
2
0
sin
cos
r
y
r
x
Если исключить параметр t, то получим каноническое уравнение окружности:
2
2
2
2
2
2
sin
cos
r
r
y
x
Эллипс.
Каноническое уравнение:
1
2
2
2
2
b
y
a
x
.
В
C M(x, y)
t
О N P
Для произвольной точки эллипса М(х, у) из геометрических соображений можно
записать:
a
t
x
cos
из
ОВР и
b
t
y
sin
из
OCN, где а- большая полуось эллипса, а b-
меньшая полуось эллипса, х и у – координаты точки М.
Тогда получаем параметрические уравнения эллипса:
2
0
sin
cos
b
y
a
x
Угол
называется
эксцентрическим углом
.
Циклоида.
у
С
М
К
О Р В
а 2
а х
Определение.
Циклоидой
называется кривая, которую описывает некоторая точка,
лежащая на окружности, когда окружность без скольжения катится по прямой.
Пусть окружность радиуса
a
перемещается без скольжения вдоль оси
x
. Тогда из
геометрических соображений можно записать:
at
MB
OB
,
t
a
MK
PB
sin
, где
MCB
t
Тогда
t
t
a
t
a
at
y
t
a
t
a
a
CK
CB
KB
MP
y
sin
sin
cos
1
cos
Итого:
)
cos
1
(
)
sin
(
t
a
y
t
t
a
x
при
2
0
t
- это параметрическое уравнение циклоиды.
Если исключить параметр, то получаем:
a
x
a
y
ay
a
y
a
a
a
x
2
,
2
arccos
2
2
a
x
y
ay
a
y
a
a
x
0
,
2
arccos
2
Как видно, параметрическое уравнение циклоиды намного удобнее в использовании,
чем уравнение, непосредственно выражающее одну координату через другую.
Астроида.
Данная кривая представляет собой траекторию точки окружности радиуса R/4,
вращающейся без скольжения по внутренней стороне окружности радиуса R.
R/4
R
Параметрические уравнения, задающие изображенную выше кривую,