ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2020
Просмотров: 707
Скачиваний: 5
Если функция
x
f
имеет производную в некоторой точке
0
x
x
, то она имеет в этой
точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во-первых
функция может иметь разрыв в точке
0
x
, а во-вторых, даже если функция непрерывна в
точке
0
x
, она может быть в ней не дифференцируема.
Пример:
x
x
f
- имеет в точке
0
x
и левую и правую производную, непрерывна
в этой точке, однако, не имеет в ней производной.
Замечание.
Необходимым и достаточным условием существования производной
функции
x
f
в точке
x
является равенство односторонних производных, т.е.
)
(
)
(
0
0
x
f
x
f
В этом случае левая и правая касательные совпадают.
Основные правила дифференцирования.
1)
const
C
y
C
Cy
,
Доказательство.
Рассмотрим функцию
x
Cy
x
u
. Так как приращение функции
u
имеет вид
y
C
x
Cy
x
x
Cy
u
, то
x
y
C
x
u
и после перехода к пределу при
0
x
, получим
x
y
C
c
u
.
Обозначим далее
x
f
u
,
x
g
v
- функции, дифференцируемые в точке х.
2)
v
u
v
u
Доказательство.
Для суммы
v
u
w
имеем
v
u
w
, тогда
x
v
x
u
x
w
и после перехода к пределу при
0
x
, получим
v
u
v
u
.
Аналогично доказывается утверждение для разности функций.
3)
v
u
v
u
uv
Доказательство.
Обозначим
uv
w
. Тогда
v
x
v
v
x
x
u
x
u
x
x
u
x
v
x
v
x
x
v
x
x
u
x
v
x
x
u
x
v
x
x
u
x
v
x
u
x
x
v
x
x
u
w
Откуда
x
u
x
v
x
v
x
x
u
x
w
и после перехода к пределу при
0
x
получим
v
u
v
u
uv
w
.
4)
2
v
u
v
v
u
v
u
, если
v
0
Доказательство.
Приращение функции
)
(
)
(
x
v
x
u
x
w
равно
x
v
x
x
v
u
x
v
u
x
v
x
v
x
x
v
x
v
x
x
v
x
u
x
u
x
x
u
x
v
x
v
x
x
v
x
u
x
x
v
x
v
x
u
x
v
x
u
x
v
x
x
u
x
v
x
x
v
x
u
x
x
v
x
v
x
x
u
x
v
x
u
x
x
v
x
x
u
w
Тогда после деления последнего равенства на
x
и перехода в нем к пределу при
0
x
, получим
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
x
v
x
v
x
u
x
v
x
u
x
v
x
u
.
Производная сложной функции.
Теорема.
Пусть
x
f
y
;
y
g
u
, причем область значений функции y входит в
область определения функции u .
Тогда
x
f
u
g
x
u
)
(
Доказательство.
x
y
y
u
x
u
x
y
y
u
x
u
x
y
x
0
0
0
lim
lim
lim
( с учетом того, что если
0
x
, то
0
y
, т.к.
x
f
y
– непрерывная функция)
Тогда
x
f
u
g
x
u
)
(
. Теорема доказана.
Пример.
Найти производную функции
x
x
x
x
y
2
cos
2
1
sin
cos
.
Сначала преобразуем данную функцию:
x
x
y
2
cos
2
1
2
sin
2
1
.
2
cos
cos
sin
2
cos
2
sin
2
1
)
sin
(
cos
2
2
1
2
cos
2
2
1
2
sin
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
Пример.
Найти производную функции
1
2
2
2
x
e
x
y
x
.
2
2
2
4
2
2
3
3
5
3
2
2
2
2
2
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
2
2
2
2
2
)
1
(
)
2
(
)
1
)(
2
2
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
xe
x
e
x
e
x
xe
e
x
e
x
x
e
x
x
x
xe
x
xe
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Пример.
Найти производную функции
x
x
x
tg
y
sin
2
ln
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
tg
y
2
2
2
2
2
sin
cos
sin
cos
sin
sin
sin
cos
sin
2
cos
2
sin
2
1
sin
cos
sin
2
1
2
cos
1
2
1
Пример.
Найти производную функции
8
4
1
2
x
x
arctg
y
8
3
2
8
8
3
2
8
11
3
2
8
2
8
11
11
3
2
8
2
8
4
7
8
3
2
8
8
1
8
)
1
(
)
1
(
8
)
1
(
8
8
)
1
(
)
1
(
)
16
8
8
(
)
1
(
)
1
(
2
)
8
(
)
1
(
8
)
1
(
4
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
Пример.
Найти производную функции
x
e
x
y
x
ln
2
2
)
ln
2
ln
2
1
(
ln
)
1
(
2
ln
2
2
1
ln
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
xe
xe
x
x
xe
xe
x
x
e
x
xe
x
e
x
x
e
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
Логарифмическое дифференцирование.
Рассмотрим функцию
0
),
ln(
0
,
ln
ln
x
при
x
x
при
x
x
y
.
Тогда (ln
x
)
=
х
1
, т.к.
x
x
x
x
x
x
1
)
(
)
)
(ln(
;
1
ln
.
Учитывая полученный результат, можно записать
)
(
)
(
)
(
ln
x
f
x
f
x
f
.
Отношение
)
(
)
(
x
f
x
f
называется
логарифмической производной
функции f(x).
Способ
логарифмического дифференцирования
состоит в том, что сначала находят
логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле
)
(
)
)
(
(ln
)
(
x
f
x
f
x
f
Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения
производных сложных, особенно показательных или дробно-рациональных функций, для
которых непосредственное вычисление производной с использованием правил
дифференцирования представляется трудоемким.
Определение.
Функция называется показательной, если независимая переменная
входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и
основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет
показательно – степенной.
Пусть
x
f
u
и
x
g
v
– функции, имеющие производные в точке
x
,
0
x
f
.
Найдем производную функции
v
u
y
. Логарифмируя, получим:
u
v
y
ln
ln
u
u
v
u
v
y
y
ln
u
v
u
u
v
u
y
v
ln
u
v
u
u
vu
u
v
v
v
ln
1
Пример.
Найти производную функции
x
x
x
x
x
f
cos
2
)
3
(
)
(
.
По полученной выше формуле получаем:
;
cos
;
3
2
x
x
v
x
x
u
Производные этих функций:
;
sin
cos
;
3
2
x
x
x
v
x
u
Окончательно:
)
3
ln(
)
sin
(cos
)
3
(
)
3
2
(
)
3
(
cos
)
(
2
cos
2
1
cos
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
Производная обратной функции.
Пусть требуется найти производную функции
x
f
y
при условии, что обратная ей
функция
y
g
y
f
x
1
имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.
Для решения этой задачи воспользуемся равенством
y
x
x
y
1
Переходя к пределу при
0
y
. Так как обратная функция дифференцируема, то из
0
y
следует, что
0
x
. Следовательно,
y
x
x
y
1
т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.
Выясним геометрический смысл производной обратной функции.
Так как
0
x
f
tg
, имеем
tg
ctg
tg
tg
y
x
x
y
1
2
1
1
1
Пример.
Найти формулу для производной функции
x
arctg .
Функция
x
arctg является функцией, обратной к функции
x
tg , т.е. ее производная
может быть найдена следующим образом:
;
;
arctgy
x
tgx
y
Известно, что
;
cos
1
)
(
2
x
tgx
y
По приведенной выше формуле получаем:
x
dy
arctgy
d
dx
arctgy
d
y
2
cos
/
1
1
)
(
;
/
)
(
1
Т.к.
;
1
1
cos
1
2
2
2
y
x
tg
x
то можно записать окончательную формулу для
производной арктангенса:
;
1
1
)
(
2
y
arctgy
Таким образом, получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и
других обратных функций, приведенных в таблице производных.
Производная функции, заданной параметрически.
Если функция
x
f
y
задана параметрически, т.е.
)
(
)
(
t
y
t
x
,
,
t
(здесь функции
t
и
t
полагаем дифференцируемыми), то ее производную
вычисляем по определению производной:
x
y
y
x
x
0
lim
(если он существует).
Т.к.
t
t
t
t
x
t
t
t
t
y
2
1
,
тогда
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
x
y
t
t
x
1
1
0
0
0
lim
lim
Итак
)
(
)
(
t
t
y
x
при
t
x
.
Производная функции, заданной неявно
Пусть значения двух переменных
x
и
y
связаны между собой уравнением вида
0
,
y
x
F
.
Пример:
0
1
2
2
y
x
,
0
ln
2
y
x
.
Определение.
Если функция
x
f
y
, определенная на некотором интервале
b
a
,
такова, что уравнение
0
,
y
x
F
при подстановке в него
x
f
y
обращается в тождество
относительно
x
, то функция
x
f
y
называется неявно заданной уравнением
0
,
y
x
F
.
Определение.
Если существует предел
x
y
x
F
y
x
x
F
x
)
,
(
)
,
(
lim
0
, то он
называется частной производной по переменному х функции
y
x
F
z
,
в точке
y
x
,
и
обозначается символами
x
z
или
y
x
F
x
,
.
Определение.
Если существует предел
y
y
x
F
y
y
x
F
y
)
,
(
)
,
(
lim
0
, то он называется
частной производной по переменному у функции
y
x
F
z
,
в точке
y
x
,
и
обозначается символами
y
z
или
y
x
F
y
,
.
Пусть имеем функцию двух переменных
y
x
F
z
,
, где
x
f
y
дифференцируемая
функция. Тогда
y
x
F
,
является функцией переменного
x
как сложная функция
x
f
x
F
z
,
Если переменная
x
получает приращение
x
, то переменная
x
f
y
также
принимает приращение
y
в силу непрерывности
x
f
. Откуда получим:
y
x
F
y
y
x
F
y
x
F
y
y
x
F
y
y
x
F
y
y
x
x
F
y
x
F
y
y
x
x
F
F
y
x
,
,
,
,
,
,
,
,
Тогда после деления равенства на
x
и перехода к пределу при
0
x
получим:
y
y
x
F
y
x
F
x
y
y
y
x
F
x
y
y
x
F
x
y
x
F
x
y
y
x
F
x
F
y
x
y
y
x
x
y
x
x
x
x
)
,
(
)
,
(
)
,
(
lim
)
,
(
lim
)
,
(
lim
)
,
(
lim
lim
0
0
0
0
0
Следовательно, для того чтобы вычислить производную функции
x
f
y
, заданной
неявно уравнением
0
,
y
x
F
, нужно приравнять нулю производную левой части как
производную сложной функции, считая
y
функцией
x
, т.е.
x
f
y
. При этом получим
равенство
0
y
F
F
y
x
или
y
x
x
F
F
y
,
0
y
F
.
Здесь
x
F
и
y
F
- частные производные
y
x
F
,
по переменным
x
и
y
соответственно.
Примеры
1.
0
2
2
2
a
y
x
.
0
2
2
y
y
x
,
0
,
y
y
x
y
.
2.
0
sin
yx
x
.
0
cos
x
y
y
x
,
0
,
cos
sin
cos
sin
cos
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
y
.