Файл: Виленкин Рассказы о множествах.pdf

Н. Я. Виленкин

Рассказы о множествах

3-е издание

МЦНМО

2005

УДК 510.2
ББК 22.12

В44

Виленкин Н. Я.

В44

Рассказы о множествах. 3-е издание. — М.: МЦНМО,

2005. — 150 с.

ISBN 5-94057-036-4

В 70-х годах XIX века немецкий математик Г. Кантор создал

новую область математики — теорию бесконечных множеств. Че-
рез несколько десятилетий почти вся математика была перестрое-
на на теоретико-множественной основе. Понятия теории множеств
отражают наиболее общие свойства математических объектов.

Обычно теорию множеств излагают в учебниках для универ-

ситетов. В настоящей книге в популярной форме описываются
основные понятия и результаты теории множеств.

Книга предназначена для учащихся старших классов средней

школы, интересующихся математикой, а также для широких кру-
гов читателей, желающих узнать, что такое теория множеств.

ББК 22.12

Виленкин Наум Яковлевич

РАССКАЗЫ О МНОЖЕСТВАХ

Дизайн обложки Соповой У. В.

Издательство Московского центра непрерывного математического образования.
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11.

Лицензия ИД № 01335 от 24.03.2000 г.

Подписано к печати 03.11.2003 г.

Формат

60

×

88

/

16

. Печать офсетная. Объем 9.5 печ. л. Доп. тираж 2000 экз.

Заказ №

.

Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП «Полиграфические ресурсы».

ISBN 5-94057-036-4

c

Виленкин А. Н., 2005.

c

МЦНМО, 2005.

Предисловие ко второму изданию

О теории множеств мне довелось услышать, когда я учился

в восьмом классе. Однажды я попал на лекцию, которую прочел
для московских школьников И. М. Гельфанд — тогда начинающий
доцент, а ныне член-корреспондент АН СССР

1

. В течение двух

часов он рассказывал нам о совершенно невероятных вещах: что
натуральных чисел столько же, сколько и четных, рациональных
столько же, сколько и натуральных, а точек на отрезке столько же,
сколько и в квадрате.

Знакомство с теорией множеств было продолжено в годы обуче-

ния на механико-математическом факультете МГУ. Наряду с лекци-
ями и семинарами там существовал своеобразный метод обучения,
о котором, возможно, и не подозревали профессора и доценты. После
занятий (а иногда — что уж греха таить — и во время не слиш-
ком интересных лекций) студенты бродили по коридорам старого
здания на Моховой и обсуждали друг с другом интересные зада-
чи, неожиданные примеры и остроумные доказательства. Именно
в этих разговорах студенты-первокурсники узнавали от своих стар-
ших товарищей, как строить кривую, проходящую через все точки
квадрата, или функцию, не имеющую нигде производной, и т. д.

Разумеется, объяснения давались, как говорится, «на пальцах»,

и идти сдавать экзамен, прослушав эти объяснения, было бы непро-
стительным легкомыслием. Но ведь об экзамене не было и речи —
по учебному плану курс теории функций действительного перемен-
ного надо было сдавать еще через два года. Но как же потом, при
слушании лекций и сдаче экзаменов, помогала «коридорная» подго-
товка! По поводу каждой теоремы вспоминались интересные задачи,
которые приходилось решать раньше, остроумные сравнения, на-
глядные образы.

Мне захотелось рассказать читателю о теории множеств пример-

но в том же стиле, в каком я сам изучал ее, проходя «коридор-
ный» курс обучения. Поэтому основное внимание будет обращено
на то, чтобы сделать ясной постановку задач, рассказать о неожи-
данных и удивительных примерах, сплошь и рядом противоречащих

1

В настоящее время — академик РАН. —

Прим. ред.

4

Предисловие ко второму изданию

наивному представлению, которыми так богата теория функций дей-
ствительного переменного. И если, прочтя эту книгу, школьник стар-
ших классов или студент первых курсов университета или пединсти-
тута почувствует желание более глубоко изучить теорию множеств,
теорию функций действительного переменного, автор будет считать,
что его цель достигнута.

∗ ∗ ∗

Из серьезных курсов можно было бы рекомендовать следующие:

1

1.

Александров П

.

С

. Введение в теорию множеств и функций,

Гостехиздат, 1948.

2.

Колмогоров А

.

Н

.,

Фомин С

.

В

. Элементы теории функций

и функционального анализа, Изд-во МГУ, ч. 1, 1954, ч. 2, 1960;
Наука, 1981.

3.

Лузин Н

.

Н

. Теория функций действительного переменного,

Учпедгиз, 1948.

4.

Натансон И

.

П

. Теория функций вещественной переменной,

Гостехиздат, 1950; Наука, 1974.

5.

Хаусдорф Ф

. Теория множеств, ОНТИ, 1937.

6.

Куратовский К

.,

Мостовский А

. Теория множеств, «Мир»,

1970.

Много интересных задач по теории множеств собрано в книге

Ю. С. Очана «Сборник задач и теорем по теории функций действи-
тельного переменного» («Просвещение», 1965).

По некоторым вопросам, затронутым здесь, много интересных

сведений содержится в книге А. С. Пархоменко «Что такое линия»
(ГИТТЛ, 1954). В конце книги приведен ряд задач по теории функ-
ций действительного переменного, решение которых будет полезно
читателю. Отметим еще, что некоторые более трудные места можно
при первом чтении пропустить без ущерба для понимания дальней-
шего. Эти места мы отметили звездочками.

1

Список литературы обновлён. —

Прим. ред.