Файл: Виленкин Рассказы о множествах.pdf

140

Глава III. Удивительные функции и линии

множество размерности нуль. Типичным нульмерным множеством
является множество, состоящее из одной точки или, в крайнем слу-
чае, из конечного числа точек. Но у каждой точки такого множества
есть относительная окрестность с пустой границей — сама эта точка
(см. рис. 66). Именно это свойство и принял Урысон за определение
множества размерности нуль.

Точнее говоря, это определение звучит следующим образом.

Множество

F

имеет размерность нуль, если любая его точка

имеет сколь угодно малую относительную окрестность с пустой
границей.

В большинстве случаев удается установить, что множество имеет

размерность нуль, построив для каждой точки сколь угодно малую
обычную окрестность, граница которой не содержит ни одной точ-
ки множества

F

(в этом случае граница относительной окрестности

наверняка пуста). Но есть нульмерные множества, лежащие в трех-
мерном пространстве, для точек которых такие обычные окрестно-
сти построить нельзя.

Слова «сколь угодно малую» добавлены в это определение по сле-

дующей причине. Если бы их не было, то, например, для любо-
го квадрата мы могли бы взять настолько большой круг, что весь
квадрат очутился бы внутри этого круга и ни одна точка квадрата
не попала бы на границу круга. И, не будь в определении этих слов,
получилось бы, что размерность квадрата равна нулю, а не двум,
как должно быть на самом деле.

Не только конечные, но и многие бесконечные множества име-

ют нулевую размерность. Возьмем, например, множество, состоя-

щее из точек на оси, имеющих координаты

0

,

1

,

1
2

,

1
3

, . . . ,

1

n

, . . .

Ясно, что у любой точки этого множества есть сколь угодно малая
окрестность, граница которой не содержит точек этого множества.
Единственное сомнение может вызвать точка 0. Но если взять ее
окрестность с радиусом

α

, где

α

— иррациональное число, то ни од-

на из точек множества не попадет на границу этой окрестности.

Нульмерно и множество

Q

точек на прямой с рациональными ко-

ординатами. Чтобы убедиться в этом, достаточно взять в качестве
окрестности точки

α

на

Q

промежуток с центром в этой точке,

длина которого иррациональна. Нульмерным является и канторово
множество (см. с. 107), и множество, полученное из квадрата выбра-
сыванием крестов (см. с. 132), и многие другие множества.

Работу надо не рецензировать, а печатать!

141

Можно строить аналогичным образом и нульмерные множества

не только на плоскости, но и в пространстве (при этом, конечно,
окрестность точки понимается как окрестность в пространстве).

Определив множества размерности нуль, Урысон перешел к од-

номерным множествам, то есть линиям. Здесь уже нет маленьких
окрестностей с пустой границей (см. рис. 69). Однако для обыч-
ных линий граница окрестности пересекается с самой линией лишь
в нескольких точках. А множество, состоящее из конечного числа
точек, имеет размерность нуль. Обобщая это замечание, Урысон сле-
дующим образом определил множества размерности единица.

Множество

F

имеет размерность единица, если оно не явля-

ется нульмерным, но у любой его точки есть сколь угодно малая
относительная окрестность, граница которой нульмерна.

Оказалось, что не только все обычные линии (окружности, отрез-

ки прямых, эллипсы и т. д.) имеют размерность единица по Урысону,
но и все канторовы линии имеют ту же размерность. Поэтому можно
было определить понятие не только плоской, но и пространственной
линии:

Линией называется континуум размерности единица.

А теперь было уже ясно, как определять поверхности, трехмер-

ные тела и вообще множества любой размерности. Поскольку Уры-
сон дает сначала определение размерности 0, затем с помощью этого
определения — определение размерности 1, затем точно так же —
определение размерности 2 и т. д., введенное Урысоном общее опре-
деление размерности называют

индуктивным

.

Работу надо не рецензировать, а печатать!

Урысон доказал много интереснейших теорем, связанных с вве-

денным им понятием размерности. Но одной самой главной теоре-
мы ему никак не удавалось доказать: не получалось доказательство
того, что самый обычный куб имеет размерность 3. После длитель-
ных усилий он нашел замечательный выход из положения, придумав
новое определение размерности. Мы не будем детально излагать это
определение, а поясним его на простейших фигурах.

Если взять отрезок или окружность, то их можно разбить

на сколь угодно малые части так, что каждая точка принадлежит
не более чем двум кусочкам (рис. 70). При этом надо брать кусочки
вместе с их границами (то есть конечными точками). Квадрат уже

142

Глава III. Удивительные функции и линии

так разбить нельзя. На первый взгляд кажется, что при разбиении
квадрата на куски всегда будут точки, принадлежащие четырем

Рис. 70

частям (рис. 71

а

). Но если уложить ча-

сти так, как кладут кирпичи на стройке,
то удается добиться, чтобы каждая точка
принадлежала не более чем трем различ-
ным частям (рис. 71

б

). Точно так же

у куба есть разбиение на маленькие па-
раллелепипеды, при котором каждая точ-
ка принадлежит не более чем четырем
параллелепипедам.

Именно это свойство и принял Урысон

за новое определение размерности. Фигу-
ра называется имеющей размерность

n

,

если ее можно разбить на сколь угодно

малые замкнутые части так, чтобы ни одна точка не принадлежала

n

+ 2

различным частям, но при любом достаточно мелком раз-

биении найдутся точки, принадлежащие

n

+ 1

различным частям.

Используя это определение размерности, Урысон доказал, что раз-
мерность квадрата равна 2, куба — 3 и т. д. А потом он показал, что
это определение равносильно первоначально данному.

а

)

б

)

Рис. 71

Построенная Урысоном теория размерности произвела глубокое

впечатление на весь математический мир. Об этом ярко говорит
следующий эпизод. Во время заграничной командировки Урысон
сделал доклад о своих результатах в Гёттингене. До прихода наци-
стов к власти Гёттингенский университет был одним из основных

Работу надо не рецензировать, а печатать!

143

математических центров. После доклада руководитель гёттинген-
ской математической школы знаменитый Давид Гильберт сказал,
что эти результаты надо опубликовать в журнале «Mathematische
Annalen» — одном из главных математических журналов того вре-
мени. Через несколько месяцев Урысон снова делал доклад в Гёт-
тингене, и Гильберт спросил у редактора «Mathematische Annalen»
Рихарда Куранта, напечатана ли уже работа Урысона. Тот отве-
тил, что работа рецензируется. «Но я же ясно сказал, что ее надо
не рецензировать, а печатать!» — воскликнул Гильберт. После столь
недвусмысленного заявления статья была немедленно напечатана.

В течение трех лет продолжалась не имеющая равных по глу-

бине и напряженности научная деятельность Урысона (за это время
он опубликовал несколько десятков научных работ). Трагический
случай оборвал его жизнь — он утонул 17 августа 1924 года, купа-
ясь во время шторма в Бискайском заливе. За день до смерти он
закончил очередную научную работу.

После смерти П. С. Урысона остались многочисленные чернови-

ки и наброски неопубликованных результатов. Его ближайший друг
(и соавтор по многим работам) Павел Сергеевич Александров, отло-
жив на некоторое время свои исследования, подготовил эти работы
к печати, сделав тем самым и эти результаты Урысона достояни-
ем всех математиков. В настоящее время теория размерности стала
важной главой математики.

Заключение

Бесконечные множества обладают необычными свойствами.

По мере изучения этих свойств математикам пришлось все более
и более оттачивать свои рассуждения, все более подробно анализи-
ровать свои доказательства, и в ходе этого процесса возникла новая
важная отрасль математики — математическая логика. Долгое вре-
мя считали, что теория множеств и математическая логика — это
абстрактные науки, не имеющие никаких практических приложе-
ний. Но когда были созданы электронные вычислительные машины,
то оказалось, что вопросы программирования на этих машинах
тесно связаны с методами математической логики, и многие иссле-
дования, казавшиеся оторванными от жизни, приобрели важнейшее
практическое значение (так часто бывает в истории науки — еще
в начале тридцатых годов нашего века в иных книгах можно было
прочесть: «Уран практического значения не имеет»).

В настоящее время теория множеств является одной из основ

таких областей математики, как функциональный анализ, тополо-
гия, общая алгебра и т. д. Ведутся глубокие исследования и в самой
теории множеств. Эти исследования связаны с самыми основами
математики. В их ходе выяснилось, что тот «наивный» подход к по-
нятию множества, о котором говорилось в этой книге, далеко не все-
гда достаточен, что весьма плодотворным является аксиоматический
подход к теории множеств. Но все эти исследования далеко выходят
за рамки намеченного нами плана книги.