Файл: Виленкин Рассказы о множествах.pdf

10

Глава I. Множества и действия над ними

Землей, Марсом, Юпитером, Сатурном, Ураном, Нептуном и Плу-
тоном) вокруг Солнца обращается около 1600 малых планет, так
называемых астероидов. Поперечники некоторых таких планет (Це-
реры, Паллады, Юноны и других) измеряются сотнями километров,
но есть и астероиды, поперечник которых не превышает 1 км. По ме-
ре улучшения методов наблюдения астрономы будут открывать все
более и более мелкие планеты, и наконец возникнет вопрос, где же
кончаются планеты и начинаются метеориты и космическая пыль.
Аналогичное затруднение было у одного героя Бабеля, вопившего
после налета банды Бени Крика: «Где начинается полиция и где кон-
чается Беня?» Как известно, мудрые одесситы отвечали ему, что по-
лиция кончается именно там, где начинается Беня Крик. Но вряд ли
фраза «Планеты кончаются именно там, где начинаются метеори-
ты» устроит кого-либо в качестве точного определения множества
планет Солнечной системы.

Впрочем, разница между планетами и метеоритами интересует

в основном астрономов. А вот разница между домом и хибаркой
существенна для обитателя любого жилища. Но легко представить
себе, что одно и то же здание получит от одного человека уважитель-
ное название «дом», а от другого — пренебрежительное прозвище
«хибарка». Разумеется, и отнесение того или иного здания к множе-
ству дворцов существенно зависит от того, кому поручено составить
список этого множества.

Точно так же рассмотрение множества всех стихотворений, опуб-

ликованных в России, осложняется наличием многочисленных про-
межуточных форм между стихами и прозой (ритмическая проза,
белые стихи и т. д.). Не слишком точно определено и множество лиц,
пользующихся правом бесплатного проезда по железным дорогам
страны. К этому множеству относятся, в частности, дети до 5 лет.
Но может случиться, что малолетнему пассажиру исполнится 5 лет
в пути, и тогда неясно, относится ли он к этому множеству (расска-
зывают, что один пунктуальный отец включил стоп-кран в момент,
когда его сыну исполнилось пять лет, чтобы точно определить остав-
шийся отрезок пути, за который ему следовало уплатить).

Тонкости возникают и в более простых случаях и связаны

с неточностью и несовершенством обычного языка. Пусть, на-
пример,

A

есть множество, состоящее из первых

n

натуральных

чисел,

A

=

{

1

,

2

, . . . , n

}

, где

n

— число букв первой строки основного

текста «Евгения Онегина». Такое определение можно понимать дво-
яко. С одной стороны, под числом

n

можно понимать совокупное

Брить или не брить?

11

количество всех вхождений букв в первую строку (так сказать,
общее количество типографских знаков в строке). Выпишем эту
строку и отметим различные вхождения одной и той же буквы
соответствующими порядковыми номерами:

М

1

,

О

1

,

Й

1

,

Д

1

,

Я

1

,

Д

2

,

Я

2

,

С

1

,

А

1

,

М

2

,

Ы

1

,

Х

1

,

Ч

1

,

Е

1

,

С

2

,

Т

1

,

Н

1

,

Ы

2

,

Х

2

,

П

1

,

Р

1

,

А

2

,

В

1

,

И

1

,

Л

1

.

Получается, что

n

= 25

и

A

=

{

1

,

2

, . . . ,

25

}

.

С другой стороны, под числом

n

можно понимать общее число

различных букв русского алфавита, встречающихся в первой строке.
Вот эти буквы:

М, О, Й, Д, Я, С, А, Ы, Х, Ч, Е, Т, Н, П, Р, В, И, Л.

Тогда получается, что

n

= 18

и

A

=

{

1

,

2

, . . . ,

18

}

.

Приведенный пример показывает, с какой тщательностью нужно

формулировать определение множества, чтобы избежать неясности
и двусмысленности, свойственных обычному нашему языку.

Брить или не брить?

Не всегда затруднения с определением состава множества зави-

сят только от недостатков языка. Иногда причина лежит гораздо
глубже. Приведем следующий пример. Как правило, сами множе-
ства не являются своими собственными элементами (например, мно-
жество всех натуральных чисел не является натуральным числом,
множество всех треугольников не является треугольником и т. д.).

Однако бывают и такие множества, которые содержат себя в ка-

честве одного из своих элементов. Скажем, множество абстрактных
понятий само является абстрактным понятием (не правда ли?). Так
как такие множества рассматриваются редко, назовем их

экстраор-

динарными

, а все остальные множества —

ординарными

.

Образуем теперь множество

A

, элементами которого являются

все ординарные множества. На первый взгляд кажется, что в этом
определении нет ничего плохого; не видно, почему фраза «множе-
ство всех ординарных множеств» хуже, чем фраза «множество всех
треугольников». Но на самом деле здесь возникает серьезное логи-
ческое противоречие. Попробуем выяснить, каким же является само
полученное множество

A

— ординарным или экстраординарным. Ес-

ли оно ординарно, то оно входит в себя как один из элементов (мы

12

Глава I. Множества и действия над ними

ведь собрали вместе все ординарные множества). Но тогда по опре-
делению оно является экстраординарным. Если же множество

A

экс-

траординарно, то по определению экстраординарности оно должно
быть своим собственным элементом, а среди элементов множества

A

есть лишь ординарные множества, экстраординарных множеств мы
не брали!

Получилось логическое противоречие — множество

A

не может

быть ни ординарным, ни экстраординарным. Впрочем, такие логи-
ческие противоречия возникают и в гораздо более простых случаях.
Например, одному солдату приказали брить тех и только тех сол-
дат его взвода, которые не бреются сами. Возник вопрос, как ему
поступать с самим собой. Если он будет брить себя, то его следует
отнести к числу солдат, которые бреются сами, а брить таких солдат
он не имеет права. Если же он себя брить не будет, то его придется
отнести к числу солдат, которые сами не бреются, а тогда по приказу
он должен себя брить.

Брить или не брить?

Брить или не брить?

13

Известны и другие примеры, когда множество, на первый взгляд

вполне определенное, оказывается определенным очень плохо, а луч-
ше сказать — совсем неопределенным. Например, пусть множество

A

состоит из всех рациональных чисел, которые можно определить при
помощи не более чем двухсот русских слов (включая сюда и слова
«нуль», «один», «два» и т. д.).

Так как множество всех русских слов конечно (для простоты

будем считать, что берутся лишь слова из словаря Ожегова и их
грамматические формы), то и множество таких чисел конечно.
Пусть это будут числа

r

1

, r

2

, . . . , r

N

. Определим теперь рациональ-

ное число

r

следующим образом:

r

= 0

, n

1

n

2

. . . n

N

,

где

n

i

(

i

-й десятичный знак числа

r

) равен 1, если

i

-й десятич-

ный знак числа

r

i

отличен от единицы, в противном же слу-

чае

n

i

= 2

.

Число

r

не совпадает с

r

1

, так как отличается от него первым

десятичным знаком, не совпадает с

r

2

, так как отличается от него

вторым десятичным знаком, и т. д. Поэтому число

r

не входит

в множество

A

. Между тем это число определено нами при помощи

не более чем двухсот слов.

С этим парадоксом тесно связан следующий:
Каково то

наименьшее целое число, которое нельзя определить

при помощи фразы, имеющей менее ста русских слов?

Такое число существует, поскольку число слов в русском языке

конечно, а значит, есть числа, которые нельзя определить фразой,
имеющей менее ста слов. Но тогда среди этих чисел есть наименьшее.

С другой стороны, такого числа не существует, ибо оно опреде-

ляется фразой из менее чем ста слов, напечатанной выше курсивом,
а по смыслу этой фразы оно не может быть определено подобным
образом.

F

А вот более сложный пример конечного множества, относи-

тельно которого оказывается невозможным сказать, содержит ли
оно данный элемент. Разделим все прилагательные в русском язы-
ке на два класса. К первому классу отнесем все прилагательные,
для которых выражающее их слово само обладает свойством, опи-
сываемым этим прилагательным, а ко второму — прилагательные,
не обладающие описываемым им свойством. Например, прилагатель-
ное «русское» отнесем к первому классу, так как слово «русское»
принадлежит к словарному запасу русского языка. К тому же классу

14

Глава I. Множества и действия над ними

отнесем и прилагательное «пятисложное», так как в слове «пяти-
сложное» именно пять слогов. А прилагательное «немецкое» отнесем
во второй класс, так как слово «немецкое» входит в словарный со-
став русского, а не немецкого языка. Во второй класс попадет и слово
«односложное», так как в этом слове не один, а пять слогов. Туда же
попадет и слово «синее», так как это слово само цветом не обладает,
а только выражает некоторый цвет.

Казалось бы, все в полном порядке и каждое прилагательное на-

шло свое место. Но для того, чтобы отличить полученные два класса
друг от друга, введем еще два прилагательных. Назовем все при-
лагательные первого класса «автологичными» (от греческих слов
«авто» — сам и «логос» — смысл, закон), а прилагательные второго
класса «гетерологичными» («гетерос» — другой). Слова «автологич-
ный» и «гетерологичный» являются прилагательными, и их надо
разместить по нашим классам. Слово «автологичный» можно от-
править в первый класс, и тогда оно будет обладать именно тем
свойством, которое само выражает, — ведь в первом классе собра-
ны именно автологичные слова. Но и во втором классе оно будет
смотреться неплохо (не обладая «гетерологичностью»). А вот сло-
во «гетерологичный», напротив, относить некуда — оно доставляет
те же трудности, что и взводный цирюльник.

Его нельзя отнести в класс автологичных слов, так как тогда

слово «гетерологичный» должно было бы само обладать свойством,
выражаемым этим словом, а это свойство заключается в том, что
ему надо быть не в первом, а во втором классе. Нельзя его отнести
и во второй класс, так как тогда оно должно было бы не обладать
выражаемым им свойством гетерологичности, а потому быть авто-
логичным, второй же класс автологичных слов не содержит.

F

В теории множеств накопилось много таких случаев, когда опре-

деление множества было внутренне противоречивым. Изучение во-
проса, при каких условиях это может иметь место, привело к глубо-
ким исследованиям в области логики, совершенно изменившим лицо
этой науки. Многие из этих исследований впоследствии были исполь-
зованы для построения теории быстродействующих вычислительных
машин, теории автоматов и т. д. Но эти исследования относятся уже
к математической логике, и мы оставим их в стороне.

Мы будем в дальнейшем рассматривать лишь множества, кото-

рые определены точно и без противоречий и состав которых не вызы-
вает сомнений (такие, как множество всех натуральных чисел, всех
квадратов на плоскости и т. д.).