Файл: Виленкин Рассказы о множествах.pdf

Глава I. Множества и действия
над ними

Что такое множество

В этой главе будет рассказано о том, что такое множества и ка-

кие действия можно выполнять над ними. К сожалению, основно-
му понятию теории — понятию множества — нельзя дать строго-
го определения. Разумеется, можно сказать, что множество — это
«совокупность», «собрание», «ансамбль», «коллекция», «семейство»,
«система», «класс» и т. д. Однако все это было бы не математиче-
ским определением, а скорее злоупотреблением словарным богат-
ством русского языка.

Для того чтобы определить какое-либо понятие, нужно прежде

всего указать, частным случаем какого более общего понятия оно
является. Для понятия множества сделать это невозможно, потому
что более общего понятия, чем множество, в математике нет.

Поэтому вместо того, чтобы дать определение понятию множе-

ства, мы проиллюстрируем его на примерах.

Часто приходится говорить о нескольких вещах, объединенных

некоторым общим признаком. Так, можно говорить о множестве всех
стульев в комнате, о множестве всех атомов на Юпитере, о множе-
стве всех клеток человеческого тела, о множестве всех картофелин
в данном мешке, о множестве всех рыб в океане, о множестве всех
квадратов на плоскости, о множестве всех точек на данной окруж-
ности и т. д.

Предметы, составляющие данное множество, называются его

эле-

ментами

. Для того чтобы указать, что данное множество

A

состоит

из элементов

x, y, . . . , z

, обычно пишут

A

=

{

x, y, . . . , z

}

.

Например, множество дней недели состоит из элементов {понедель-
ник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}, множе-
ство месяцев — из элементов {январь, февраль, март, апрель, май,
июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь}, множество

6

Глава I. Множества и действия над ними

арифметических действий — из элементов {сложение, вычитание,
умножение, деление}, а множество корней квадратного уравнения

x

2

−

2

x

−

24 = 0

— из двух чисел:

−

4

и 6, то есть имеет вид

{−

4

,

6

}

.

Фигурные скобки в обозначении множества показывают, что эле-

менты объединены в одно целое — множество

A

. Тот факт, что эле-

мент

x

принадлежит множеству

A

, записывают с помощью знака

∈

так:

x

∈

A

. Если же данный элемент

x

не принадлежит множеству

A

,

то пишут

x

∈

A

. Например, если

A

означает множество всех четных

натуральных чисел, то

6

∈

A

, а

3

∈

A

. Если

A

— множество всех ме-

сяцев в году, то май

∈

A

, а среда

∈

A

.

Таким образом, когда мы говорим о множестве, то объединяем

некоторые предметы в одно целое, а именно в множество, элемен-
тами которого они являются. Основатель теории множеств Георг
Кантор подчеркнул это следующими словами: «

Множество есть

многое, мыслимое нами как единое

». Собственно говоря, элемен-

ты множества могут и не быть реально существующими предмета-
ми — в богословских трактатах всерьез изучаются взаимоотношения
в множествах архангелов, злых духов и т. д.

Для того чтобы наглядно представить себе понятие множества,

академик Н. Н. Лузин предложил следующий образ. Представим
прозрачную непроницаемую оболочку, нечто вроде плотно закры-
того прозрачного мешка. Предположим, что внутри этой оболочки
заключены все элементы данного множества

A

, и что кроме них

внутри оболочки никаких других предметов не находится. Эта обо-
лочка с предметами

x

, находящимися внутри нее, и может служить

образом множества

A

, составленного из элементов

x

. Сама же эта

прозрачная оболочка, охватывающая все элементы (и ничего дру-
гого кроме них), довольно хорошо изображает тот акт объединения
элементов

x

, в результате которого создается множество

A

.

Если множество содержит конечное число элементов, то его на-

зывают

конечным

, а если в нем бесконечно много элементов, то

бес-

конечным

. Так, множество деревьев в лесу конечно, а множество

точек на окружности бесконечно.

Как задают множества

Возможны различные способы задания множества. Один из них

состоит в том, что дается полный список элементов, входящих
в множество. Например, множество учеников данного класса

Как задают множества

7

определяется их списком в классном журнале, множество всех
стран на земном шаре — их списком в географическом атласе, мно-
жество всех костей в человеческом скелете — их списком в учебнике
анатомии.

Великая перепись рыб

Но этот способ применим только к конечным множествам, да

и то далеко не ко всем. Например, хотя множество всех рыб в океане
и конечно, вряд ли его можно задать списком. А уж бесконечные
множества никак нельзя определять с помощью списка; попробуй-
те, например, составить список всех натуральных чисел или список
всех точек окружности — ясно, что составление этого списка никогда
не закончится.

В тех случаях, когда множество нельзя задать при помощи спис-

ка, его задают путем указания некоторого характеристического свой-
ства — такого свойства, что элементы множества им обладают, а все
остальное на свете не обладает. Например, мы можем говорить о мно-
жестве всех натуральных чисел. Тогда ясно, что число 73 принад-

лежит этому множеству, а число

3
4

или крокодил не принадлежат.

Точно так же

√

2

и планета Сатурн не принадлежат множеству всех

рациональных чисел, а

7

15

принадлежит этому множеству.

8

Глава I. Множества и действия над ними

В геометрии часто приходится иметь дело с множествами то-

чек, заданными теми или иными характеристическими свойствами.
Обычно, следуя древним традициям, множество точек с данным
характеристическим свойством в геометрии называют

геометри-

ческим местом точек

. Например, говорят так: «Окружностью

называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных
от данной точки этой плоскости». Это означает, что множество
точек плоскости, равноудаленных от данной точки этой плоскости,
совпадает с множеством точек некоторой окружности.

Крокодил не входит в множество натуральных чисел

Задание множеств их характеристическими свойствами иногда

приводит к осложнениям. Может случиться, что два различных ха-
рактеристических свойства задают одно и то же множество, то есть
всякий элемент, обладающий одним свойством, обладает и другим,
и обратно. Например, множество толстокожих сухопутных живот-
ных, имеющих два бивня, совпадает с множеством толстокожих жи-
вотных, имеющих хобот, — это множество слонов.

В геометрии свойство «точка

M

равноудалена от сторон угла

AOB

» задает то же точечное множество, что и свойство «угол

AOM

равен углу

M OB

» (здесь рассматриваются точки плоскости, лежа-

щие внутри угла

AOB

, см. рис. 1). А в арифметике свойство «целое

число делится на 2» задает то же множество, что и свойство «по-
следняя цифра целого числа делится на 2».

Иногда бывает трудно доказать равносильность двух характери-

стических свойств. Попробуйте, например, доказать, что следующие
свойства задают одно и то же множество точек, лежащих в одной
плоскости с треугольником

ABC

:

Как задают множества

9

а) основания перпендикуляров, опущенных из точки

M

на сто-

роны треугольника

ABC

, лежат на одной прямой;

б) точка

M

лежит на окружности, описанной вокруг треуголь-

ника

ABC

(рис. 2).

(Совпадение этих множеств составляет содержание так называе-

мой теоремы Симсона и теоремы, обратной ей.)

Рис. 1

Рис. 2

Вообще, во многих математических теоремах речь идет о совпаде-

нии двух множеств, например множества равносторонних треуголь-
ников с множеством равноугольных треугольников, множества опи-
санных четырехугольников с множеством четырехугольников, сум-
мы противоположных сторон которых равны, и т. д. В некоторых
случаях проблема совпадения или различия двух множеств, задан-
ных своими характеристическими свойствами, не решена до сих пор.
Так, до сих пор неизвестно, совпадает ли множество

{

1093

,

3511

}

с множеством простых чисел

n

, для которых

2

n

−

2

делится на

n

2

.

Еще большие трудности при задании множеств их характеристи-

ческими свойствами возникают из-за недостаточной четкости обы-
денного языка, неоднозначности человеческой речи. Большое число
промежуточных форм затрудняет разграничение объектов на при-
надлежащие и не принадлежащие данному множеству. Пусть, напри-
мер, речь идет о множестве всех деревьев на земном шаре. В первую
очередь здесь надо определить, идет ли речь обо всех деревьях, кото-
рые существовали и будут существовать на Земле, или о деревьях,
существовавших в течение некоторого фиксированного промежут-
ка времени (например, с 1 мая по 1 сентября 1965 года). Но тогда
возникает вопрос, как быть с деревьями, спиленными за этот проме-
жуток времени? Кроме того, существует целый ряд промежуточных
форм между деревьями и другими растениями, и надо решить, какие
из них относятся к множеству деревьев, а какие нет.

Даже множество планет Солнечной системы определено не впол-

не однозначно. Наряду с большими планетами (Меркурием, Венерой,