ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.12.2020
Просмотров: 2152
Скачиваний: 53
Примеры и упражнения
1.
Множество
A
состоит из целых чисел, делящихся на 4, множе-
ство
B
— из целых чисел, делящихся на 10, и множество
C
из целых
чисел, делящихся на 75. Из каких чисел состоит множество
ABC
?
2.
В библиотеке есть книги по разным отделам науки и искус-
ства. Обозначим множество всех книг в библиотеке через
A
, а мно-
жество всех математических книг (не только в данной библиотеке) —
через
B
. Охарактеризуйте множество
A
—
B
.
3.
Пользуясь правилами алгебры множеств, упростите выра-
жение
(
A
+
B
+
C
)(
A
+
B
)
−
[
A
+ (
B
−
C
)]
A.
4.
Множество
A
состоит из точек
M
(
x
;
y
)
плоскости, для кото-
рых
|
x
|
6
4
,
|
y
|
6
4
, множество
B
— из точек плоскости, для которых
x
2
+
y
2
6
25
, и множество
C
— из точек плоскости, для которых
x >
0
.
Изобразите множество
AB
−
C
.
5.
Докажите равенства
а)
(
A
−
B
)
−
C
= (
A
−
C
)
−
(
B
−
C
)
;
б)
(
A
−
B
) + (
B
−
C
) + (
C
−
A
) +
ABC
=
A
+
B
+
C
.
6.
Докажите включения
а)
AC
+
BD
⊂
(
A
+
B
)(
C
+
D
)
;
б)
(
B
−
C
)
−
(
B
−
A
)
⊂
A
−
C
;
в)
A
−
C
⊂
(
A
−
B
) + (
B
−
C
)
.
7.
Вытекает ли из
A
−
B
=
C
, что
A
=
B
+
C
?
8.
Вытекает ли из
A
=
B
+
C
, что
A
−
B
=
C
?
9.
Какие включения справедливы для множеств
а)
A
−
(
B
+
C
)
и
(
A
−
B
)
−
C
;
б)
A
+ (
B
−
C
)
и
(
A
+
B
)
−
C
;
в)
(
A
−
B
) +
C
и
A
+ (
C
−
B
)
?
10.
Пользуясь соотношениями 1)–26) на с. 40, упростите выра-
жение
[(
X
−
Y
)
0
(
X
0
+
Y
0
)]
0
.
11.
Установите взаимно однозначное соответствие между проме-
жутком
0
< x <
1
и всей числовой прямой.
12.
Установите взаимно однозначное соответствие между число-
выми множествами
0
6
x <
1
и
0
6
x <
∞
.
13*.
Установите взаимно однозначное соответствие между отрез-
ком
0
6
x
6
1
и промежутком
0
< x <
1
.
146
Примеры и упражнения
14.
Постройте взаимно однозначное отображение отрезка
0
6
x
6
1
на всю числовую прямую.
15*.
Постройте взаимно однозначное соответствие между мно-
жеством всех чисел отрезка
0
6
x
6
1
и множеством иррациональных
чисел того же отрезка.
16*.
Отобразите взаимно однозначно луч
0
6
x <
∞
на всю чис-
ловую прямую.
17.
Установите взаимно однозначное соответствие между точка-
ми плоскости и точками сферы, из которой выброшена одна точка.
18*.
Установите взаимно однозначное соответствие между точ-
ками плоскости и точками сферы.
19.
Установите взаимно однозначное соответствие между точка-
ми открытого квадрата
0
< x <
1
,
0
< y <
1
и точками плоскости.
20.
Установите взаимно однозначное соответствие между множе-
ством всех рациональных чисел отрезка
0
6
x
6
1
и множеством всех
точек плоскости, обе координаты которых рациональны.
21.
Установите взаимно однозначное соответствие между множе-
ством всех целых чисел и множеством всех квадратных трехчленов
с целочисленными коэффициентами.
22*.
Установите взаимно однозначное соответствие между мно-
жеством всех действительных чисел и множеством всех точек плос-
кости.
23.
Установите взаимно однозначное соответствие между мно-
жеством всех действительных чисел и множеством всех квадратных
трехчленов с действительными коэффициентами.
24.
Какова мощность множества всех четырехугольников на
плоскости, координаты всех вершин которых рациональны?
25.
Какова мощность множества всех многоугольников на плос-
кости, координаты всех вершин которых рациональны?
26.
Какова мощность множества всех выпуклых многогранни-
ков, координаты всех вершин которых рациональны?
27.
Какова мощность множества всех рациональных функций
с целочисленными коэффициентами в числителе и знаменателе?
28.
Какова мощность множества всех многочленов, коэффици-
ентами которых служат рациональные числа?
29.
Какова мощность множества всех последовательностей нату-
ральных чисел?
30.
Какова мощность множества всех конечных последователь-
ностей натуральных чисел?
Примеры и упражнения
147
31.
Какова мощность множества всех возрастающих последова-
тельностей натуральных чисел?
32.
Какова мощность множества всех многочленов третьей сте-
пени с действительными коэффициентами?
33.
Какова мощность множества всех многочленов с действи-
тельными коэффициентами?
34.
Можно ли построить на плоскости континуум попарно непе-
ресекающихся окружностей?
35.
Можно ли построить на плоскости континуум попарно непе-
ресекающихся букв
Г
? Букв
N
?
36.
Можно ли построить на плоскости континуум попарно непе-
ресекающихся букв
А
? Букв
Б
?
37.
Какова мощность множества всех действительных чисел,
в десятичном разложении которых встречается цифра 7?
38.
Какова мощность множества всех действительных чисел,
в десятичном разложении которых не встречается цифра 5?
39.
Какова мощность множества действительных чисел, заклю-
ченных между 0 и 1, в десятичном разложении которых на втором
месте стоит цифра 6 и больше эта цифра не встречается?
40.
Докажите, что если
A
−
B
∼
B
−
A
, то
A
∼
B
(напомним, что
A
∼
B
означает, что
A
и
B
имеют одинаковую мощность).
41.
Докажите, что если
A
⊂
B
и
A
∼
A
+
C
, то
B
∼
B
+
C
.
42.
Верно ли утверждение: «Если
A
∼
C
,
B
∼
D
, причем
A
⊃
B
,
C
⊃
D
, то
A
−
B
∼
C
−
D
»?
43.
Верно ли утверждение: «Если
A
∼
B
,
C
⊃
A
и
C
⊃
B
, то
C
−
A
∼
C
−
B
»?
44.
Перенумеруем все рациональные точки отрезка
[0; 1]
. Мы по-
лучим последовательность точек
r
1
, r
2
, . . . , r
n
, . . .
. Построим окрест-
ность точки
r
1
, имеющую радиус
1
/
10
, окрестность точки
r
2
, име-
ющую радиус
1
/
20
, окрестность точки
r
3
, имеющую радиус
1
/
40
,
и т. д. Сложим все построенные окрестности. Содержит ли получен-
ное множество
M
весь отрезок?
45.
Оцените длину множества
M
из задачи 44.
46*.
Назовем
счетномерным кубом
множество всех последо-
вательностей действительных чисел
(
x
1
, . . . , x
n
, . . .
)
таких, что
0
6
x
n
6
1
. Докажите, что множество точек счетномерного куба
имеет мощность континуума.
47*.
Постройте непрерывную функцию, имеющую на каждом
отрезке бесконечно много максимумов и минимумов.
148
Примеры и упражнения
48*.
Множество
M
состоит из точек отрезка
[0; 1]
, которые мож-
но представить в виде десятичных дробей, ни один десятичный знак
которых не равен 3 и 8. Опишите, как получить это множество, по-
следовательно выбрасывая из отрезка промежутки.
49*.
Сделайте то же самое для точек, в десятичном разложении
которых не встречается комбинация 38 (в указанном здесь порядке).
50*.
Точка
a
называется предельной точкой для множества
M
,
если в любой ее окрестности есть бесконечно много точек этого мно-
жества. Докажите, что все предельные точки канторова множества
(см. с. 107) принадлежат этому множеству. Докажите, что и обратно,
каждая точка канторова множества является для него предельной.
То же самое сделайте для множеств из задач 48 и 49.
51.
Докажите, что каждая точка отрезка
[0; 1]
является предель-
ной для множества всех рациональных чисел таких, что
0
6
r
6
1
.
52.
Существуют ли предельные точки у множества целых чисел?
53.
Докажите, что дополнение к любому открытому множеству
на плоскости содержит все свои предельные точки.
54.
Докажите, что если множество содержит все свои предель-
ные точки, то его дополнение — открытое множество.
55.
Приведите примеры таких множеств на плоскости, которые
а) не имеют граничных точек;
б) имеют граничные точки, причем ни одна из них не при-
надлежит множеству;
в) содержат все свои граничные точки;
г) целиком состоят из граничных точек;
д) содержат только часть своих граничных точек.
56.
Приведите примеры множеств в пространстве со свойства-
ми а)–д) из задачи 55.
Оглавление
Предисловие ко второму изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Глава I.
Множества и действия над ними . . . . . . . . . . .
5
Что такое множество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Как задают множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Брить или не брить? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Пустое множество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Теория множеств и школьная математика . . . . . . . . . . . . . . .
16
Подмножества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Теория множеств и комбинаторика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Универсальное множество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Пересечение множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Сложение множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Разбиение множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Арифметика остатков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Вычитание множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Алгебра множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Планета мифов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
Булевы алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Глава II.
В мире чудес бесконечного . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
Тайны бесконечности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
Необыкновенная гостиница, или тысяча первое путеше-
ствие Йона Тихого . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Как сравнивать множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
На танцплощадке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
На каждый прилив — по отливу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
Равна ли часть целому? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
Счетные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Алгебраические числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
Восьмерки на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Неравные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Счетное множество — самое маленькое из бесконечных . . .
74
Несчетные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
Несостоявшаяся перепись . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
Несчетность континуума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
Существование трансцендентных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
На длинном и коротком отрезках поровну точек . . . . . . . . .
81
Отрезок и квадрат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82