Файл: Виленкин Рассказы о множествах.pdf

Области и границы

135

Чтобы показать, какие «очевидные» утверждения оказались

неверными, приведем некоторые примеры Брауэра (при этом мы
используем полученные позднее упрощения).

Брауэр построил ограниченную область, граница которой (в

обычном понимании этого слова) не являлась континуумом. Для
этого он взял бутылку и начал вытягивать ее горлышко, наматывая
его на окружность (рис. 63). В результате получилась область, огра-
ниченная двумя спиралями и бутылкой. Но эта граница не является
континуумом; чтобы получить континуум, надо к нашим спиралям
прибавить окружность, на которую они наматываются.

Если же добавить к границе окружность, то получится новое

осложнение: точки границы нельзя будет соединить с точками об-
ласти линиями конечной длины.

Области и границы

F

Раз мы уже заговорили об областях и границах, уточним соответ-

ствующие понятия. Ведь поскольку жорданово определение линии
оказалось не слишком удачным, то и определение области надо дать
заново.

Назовем

открытым множеством

на плоскости любое мно-

жество, являющееся суммой кругов с отброшенными границами.
В частности, дополнение до любого плоского континуума являет-
ся открытым плоским множеством. Все обычные плоские области
(внутренность крута, квадрата, треугольника и т. д.) являются от-
крытыми множествами (на плоскости). Кроме того, они связны:
любые две их точки можно соединить ломаной линией, не выходя
из этой области. Эти свойства и определяют плоскую область.

Плоской областью называют связное множество точек плоско-

сти, являющееся суммой кругов с отброшенными границами

.

При этом число кругов может быть произвольным. Однако мож-

но доказать, что любую область можно составить из счетного мно-
жества кругов.

Круг с отброшенной границей называют

окрестностью

его цен-

тра

a

. Разумеется, каждая точка имеет бесконечно много окрестно-

стей.

Точку

a

на плоскости называют

граничной

для области

G

, ес-

ли в любой окрестности точки

a

есть как точки из области

G

, так

и точки, ей не принадлежащие (рис. 64).

136

Глава III. Удивительные функции и линии

Совершенно так же определяют открытые множества, области

и граничные точки областей в пространстве. Разница заключается

Рис. 64

лишь в том, что вместо кругов с от-
брошенной границей берут шары с от-
брошенной граничной сферой.

Наряду с понятием окрестности

точки (на плоскости или в простран-
стве) нам понадобится еще понятие

относительной окрестности точки

,

принадлежащей некоторому множе-
ству

A

. Так называют множество

точек окрестности, принадлежащих
множеству

A

, то есть пересечение

обычной окрестности этой точки с са-
мим множеством

A

. Например, ес-

ли

A

линия, изображенная на рис. 65,

а

G

— окрестность точки

a

, то относительной окрестностью этой точ-

ки является кусок линии от точки

b

до точки

c

. Если множество

A

Рис. 65

Рис. 66

состоит из нескольких точек, то у каждой его точки есть относитель-
ная окрестность, состоящая только из этой точки. Чтобы получить
ее, надо взять обычную окрестность точки, не содержащую осталь-
ных точек множества (рис. 66).

Большие ирригационные работы

Теперь мы расскажем о втором, еще более удивительном приме-

ре Брауэра. Нарисуем карту какой-нибудь страны и сопредельных

Большие ирригационные работы

137

с ней стран. Почти каждая точка границы этой страны принадле-
жит двум и только двум странам: данной и одной из сопредельных.
Поэтому в каждой точке границы стоят два пограничника — один
из этой страны, а другой — из сопредельной. Есть на карте несколь-
ко точек, где сходятся три страны (рис. 67). В таких точках стоят
уже три пограничника. Но таких мест на карте — лишь конечное
число. И кажется совершенно очевидным, что такие точки не могут
заполнить всю границу страны, то есть что не может быть трех об-
ластей (трех стран), имеющих одну и ту же общую границу. Иными
словами, кажется очевидным, что три пограничника из трех разных
стран не могут стоять в каждой точке границы.

Рис. 67

Рис. 68

А Брауэр построил такие три области. Чтобы понять этот при-

мер, представим себе, что в океане есть остров, на котором находятся
два озера с пресной водой. Только в одном озере вода холодная,
а в другом теплая. Теперь проведем следующие ирригационные ра-
боты. В течение первых суток проведем каналы от океана и от обоих
озер так, чтобы каждый из этих каналов был слепым (то есть только
заливом соответствующего водоема), чтобы эти каналы нигде не со-
прикасались друг с другом и чтобы в результате расстояние каждой
точки суши до океанских вод, а также до вод обоих озер было мень-
ше 1 километра (рис. 68).

В следующую половину суток продолжим эти каналы так, что

они по-прежнему остаются слепыми и не соприкасаются между со-
бой, а расстояние от каждой точки суши до любого из трех каналов

становится меньше чем

1
2

километра. При этом, конечно, каналы

должны стать более узкими, чем ранее. В следующую четверть су-
ток каналы продолжаются дальше так, чтобы каждая точка суши

отстояла от любого канала меньше чем на

1
4

километра и т. д. С каж-

дым шагом каналы становятся все извилистее и извилистее, все уже

138

Глава III. Удивительные функции и линии

и уже. Через двое суток такой работы весь остров будет прони-
зан этими тремя каналами и превратится в канторову линию. Стоя
в любой точке этой линии, можно зачерпнуть, по желанию, соленой,
теплой пресной или холодной пресной воды. При этом воды не сме-
шиваются друг с другом. Если бы вместо океана и озер мы взяли
три страны, то получили бы ту удивительную картину, о которой
говорили вначале, в каждой точке границы можно поставить трех
пограничников по одному от каждой страны.

«Недиссертабельная» тема

Мы уже говорили, что у канторова определения был один недо-

статок: оно совсем не годилось для пространственных кривых. А уж
что такое поверхность в пространстве — никто не знал. Эту зада-
чу — выяснить, что такое пространственная кривая и поверхность
в пространстве, — поставил летом 1921 года перед своим двадцати-
трехлетним учеником Павлом Самуиловичем Урысоном маститый
профессор Московского университета Дмитрий Федорович Егоров
(как видно, он больше думал о математической значительности про-
блемы, чем, как теперь иногда говорят, о диссертабельности темы:
задача-то была одной из труднейших!).

Вскоре Урысон понял, что задача Егорова лишь частный случай

гораздо более общей проблемы: что такое размерность геометриче-
ской фигуры, то есть сколько измерений она имеет, почему надо
говорить, что отрезок или окружность имеют размерность 1, квад-
рат — размерность 2, а куб или шар — размерность 3? Вот как
вспоминал об этом периоде жизни П. С. Урысона его ближайший
друг, в те годы такой же молодой аспирант, а впоследствии ака-
демик, почетный президент Московского математического общества
Павел Сергеевич Александров:

«...Все лето 1921 года прошло в напряженных попытках най-

ти настоящее определение (размерности), причем П. С. [Урысон]
переходил от одного варианта к другому, постоянно строя приме-
ры, показывавшие, почему тот или иной вариант надо отбросить.
Это были два месяца действительно всепоглощающих размыш-
лений. Наконец, в одно утро в конце августа П. С. проснулся
с готовым, окончательным и всем теперь хорошо известным ин-
дуктивным определением размерности... В то же утро во время
купания в Клязьме П. С. рассказал мне свое определение раз-
мерности и тут же, во время этого разговора, затянувшегося

Индуктивное определение размерности

139

на несколько часов, набросал план всего построения теории размер-
ности с целым рядом теорем, бывших тогда гипотезами, за которые
неизвестно было, как и взяться, и которые затем доказывались
одна за другой в течение последующих месяцев. Никогда потом
я не был участником или свидетелем математического разго-
вора, который состоял бы из такого сплошного потока новых

Рис. 69

мыслей, как в то августовское
утро. Вся набросанная тогда про-
грамма полностью осуществилась
в

течение

зимы

1921/22

года;

к весне 1922 года вся теория раз-
мерности была готова...».

Основная

идея

определения

размерности по Урысону заключа-
ется в следующем. Чтобы отделить
часть линии от всей остальной
линии, обычно достаточно двух
или нескольких точек (на рис. 69
часть четырехлепестковой розы,
содержащая

центр,

отделяется

от остальной розы восемью точ-
ками). Но часть поверхности уже
невозможно отделить от всей поверхности несколькими точками —
для этого обязательно потребуется целая линия, — сколько бы точек
ни взять на поверхности, их всегда можно обойти. Точно так же
часть трехмерного пространства отделяется от всего остального
пространства поверхностью.

Все это надо было еще уточнить: на некоторых линиях для

отделения части требуется бесконечно много точек, но эти точки
не образуют в совокупности никакой линии. Урысону удалось точно
сформулировать все нужные определения. В каком-то смысле его
определения напоминали определения Евклида (оконечность ли-
нии — точки, оконечность поверхности — линии). Но это сходство
примерно такое же, как между греческой триерой и современным
океанским лайнером.

Индуктивное определение размерности

Расскажем теперь точнее, как же определяется размерность

геометрической фигуры по Урысону. Сначала выясним, что такое